Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.
Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.
1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:
x= ± arccos(a) + 2πk
2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:
3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений
4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk
5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk
Занимательная
математика
АЛГЕБРА И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА,
10 КЛАСС.
УРОК НА ТЕМУ:
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИ
Е УРАВНЕНИЯ.
Магометова Х.Н. МБОУ СОШ№1 с.Кизляр
Тригонометрические
уравнения.
ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ:
Что такое тригонометрические уравнения?
Простейшие тригонометрические уравнения.
Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
Однородные тригонометрические уравнения.
.
Примеры.
Тригонометрические
уравнения.
Что такое тригонометрические уравнения?
Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и
арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические
Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная
содержится под знаком тригонометрической функции.
уравнения в общем.
Повторим вид решения простейших тригонометрических
уравнений:
1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:
x= ± arccos(a) + 2 k π
2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:
3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют
решений
4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ kπ
5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ kπ
Для всех формул k целое
число
Тригонометрические
уравнения.
Пример.
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a,
T какая либо тригонометрическая функция.
Пример.
Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2
Решение:
а) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:
sin(t)=1/2. Решение этого уравнения будет: t=((1)^n)arcsin(√3 /2)+ n.π
π
Из таблицы значений получаем: t=((1)^n)× /3+ n.
π
Вернемся к нашей переменной: 3x =((1)^n)× /3+ n,
тогда x= ((1)^n)× /9+ n/3
π
Ответ: x= ((1)^n)× /9+ n/3, где nцелое число. (1)^n – минус один в
степени n.
π
π
π
π
π
Тригонометрические
уравнения.
Пример.
Пример.
Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x
Решение:
а) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней
уравнения сразу: x/5= ± arccos(1) + 2 k. Тогда x/5= k => x=5 k
π
Ответ: x=5 k, где k – целое число.
/3)= √3
π
π
π
π
π
/3=arctg(√3)+ k. Мы знаем что: arctg(√3)=
π
б) Запишем в виде: 3x
/3π
π
3x
Ответ: x=2 /9 + k/3, где k – целое число.
π
/3+ k => 3x=2 /3 + k => x=2 /9 + k/3
π
π
/3=
π
π
π
π
π
Тригонометрические
уравнения.
Пример.
Пример.
Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке [0;
].π
Решение:
Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2 k π
π
4x= ±
/4 + 2 k;
π
/16+ k/2;
x= ±
π
π
отрезок.
Теперь давайте посмотрим какие корни попадуют на наш отрезок.
При k<0 решение тоже меньше нуля, мы не попадаем в наш
При k=0, x=
π
/16, мы попали в заданный отрезок [0;
π
].
π
π
/2=9 /16, опять попали.
π
При к=1, x=
/16+
π
π
/16+ =17 /16, а тут вот уже не попали, а значит при
больших k тоже заведомо не будем попадать.
π
/16, x= 9 /16
π
π
При k=2, x=
Ответ: x=
Тригонометрические
уравнения.
Два основных метода решения.
Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но
существую и более сложные. Для их решения применяют метод ввода
новой переменной и метод разложения на множители. Давайте
рассмотрим примеры.
Пример
Решить уравнение:
Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой
переменной, обозначим: t=tg(x).
В результате замены получим:
Найдем корни квадратного уравнения: t=1 и t=1/3
Тогда tg(x)=1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое
уравнение, найдем его корни.
π
x=arctg(1) + k=
π π
π
/4+ k; x=arctg(1/3) + k.
Ответ: x=
π π
π
/4+ k; x=arctg(1/3) + k.
Тригонометрические
уравнения.
Пример.
Решить уравнение:
Решение:
Воспользуемся тождеством:
Наше уравнение примет
вид:
введем замену t=cos(x):
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то
cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=1/2: x= ± arccos(1/2) + 2 k; x=
π
Ответ: x= ±2 /3 + 2 k
π
±2 /3 + 2 k
π
π
π
Тригонометрические
уравнения.
Однородные тригонометрические уравнения.
Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются
однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.
Уравнения вида
однородными тригонометрическими уравнениями второй степени
Для решения однородного тригонометрического уравнения первой
степени разделим его на cos(x):
Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не
так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не
равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.
Тригонометрические
уравнения.
Пример.
Решить уравнение:
Решение:
Вынесем общий множитель:
Тогда нам надо решить два уравнеия:
cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
π
π
/2 + k;
cos(x)=0 при x=
Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на
cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=1 => x=arctg(1) + k=
π π
/4+ k
π
Ответ: x=
π
/2 + k и x=
π
π π
/4+ k
Тригонометрические
уравнения.
Однородные тригонометрические уравнения.
Как решать однородные тригонометрические уравнения второй
степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!
1) Посмотреть чему равен коэффициет а, если а=0 то тогда наше уравнение
примет види cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на
предыдущем слайде
2) Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате,
получим:
Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:
Тригонометрические
уравнения.
Пример.
Решить уравнение:
Решение:
Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:
Делаем замену переменной t=tg(x):
Найдем корни квадратного уравнения: t=3 и t=1
π
Тогда: tg(x)=3 => x=arctg(3) + k=arctg(3) + k
tg(x)=1 => x=
π
π
/4+ k
π
Ответ: x=arctg(3) + k и x=
π
π
π
/4+ k
Тригонометрические
уравнения.
Пример.
Решить уравнение:
Решение:
Преобразуем наше выражение:
Решать такие уравнение мы умеем:
x=
π
π
/4 + 2 k и x=5 /4 + 2 k
π
π
Ответ: x=
π
π
/4 + 2 k и x=5 /4 + 2 k
π
π
Тригонометрические
уравнения.
Пример.
Решить уравнение:
Решение:
Преобразуем наше выражение:
Введем замену tg(2x)=t
Решением нашего квардратного уравнения будут корни: t=2 и t=1/2
Тогда получаем: tg(2x)=2 и tg(2x)=1/2
2x=arctg(2)+ k => x=arctg(2)/2 + k/2
π
2x= arctg(1/2) + k => x=arctg(1/2)/2+ k/2
π
Ответ: x=arctg(2)/2 + k/2 и x=arctg(1/2)/2+ k/2
π
π
π
π
Тригонометрические
уравнения.
Задачи для самостоятельного решения.
1) Решить уравнение
а) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(x) = 1 г) tg(4x) = √3
д) ctg(0.5x) = 1.7
2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на
π π
/2;
отрезке [
].
3) Решить уравнение:
4) Решить уравнение:
5) Решить уравнение:
6)Решить уравнение:
10кл,тригон урав.pptx
