Презентация по математике 10 класс "Тригонометрические уравнения"

Занимательная математика АЛГЕБРА И НАЧАЛА  МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА,  10 КЛАСС. УРОК НА ТЕМУ: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИ Е УРАВНЕНИЯ.  Магометова Х.Н. МБОУ СОШ№1 с.Кизляр

Тригонометрические уравнения. ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ:  Что такое тригонометрические уравнения? Простейшие тригонометрические уравнения. Два основных метода решения тригонометрических уравнений. Однородные тригонометрические уравнения. . Примеры.

Тригонометрические уравнения. Что такое тригонометрические уравнения? Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и  арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические  Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная  содержится под знаком тригонометрической функции. уравнения в общем.  Повторим вид решения простейших тригонометрических  уравнений: 1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x)  = a имеет решение:  x= ± arccos(a) + 2 k π 2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)  = a имеет решение:  3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x)  = a и cos(x)  = a не имеют  решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+  kπ 5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение:  x=arcctg(a)+  kπ Для всех формул k­ целое  число

Тригонометрические уравнения. Пример. Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T­ какая либо тригонометрическая функция. Пример. Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2 Решение: а) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде: sin(t)=1/2. Решение этого уравнения будет: t=((­1)^n)arcsin(√3 /2)+  n.π π Из таблицы значений получаем: t=((­1)^n)× /3+  n. π Вернемся к нашей переменной: 3x =((­1)^n)× /3+  n,  тогда x= ((­1)^n)× /9+  n/3 π Ответ: x= ((­1)^n)× /9+  n/3, где n­целое число. (­1)^n – минус один в  степени n. π π π π π

Тригонометрические уравнения. Пример. Пример. Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x­  Решение: а) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней  уравнения сразу: x/5= ± arccos(1) + 2 k. Тогда x/5=  k => x=5 k π Ответ: x=5 k, где k – целое число. /3)= √3 π π π π π /3=arctg(√3)+  k. Мы знаем что: arctg(√3)=  π б) Запишем в виде: 3x­  /3π π 3x­  Ответ: x=2 /9 +  k/3, где k – целое число. π /3+  k => 3x=2 /3 +  k => x=2 /9 +  k/3 π π /3=  π π π π π

Тригонометрические уравнения. Пример. Пример. Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке [0;  ].π Решение: Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2 k π π 4x= ±  /4 + 2 k; π /16+  k/2; x= ±  π π отрезок. Теперь давайте посмотрим какие корни попадуют на наш отрезок. При k<0  решение тоже меньше нуля, мы не попадаем в наш  При k=0, x=  π /16, мы попали в заданный отрезок [0;  π ]. π π /2=9 /16, опять попали. π При к=1, x=  /16+  π π /16+  =17 /16, а тут вот уже не попали, а значит при  больших k тоже заведомо не будем попадать. π /16, x= 9 /16  π π При k=2, x=  Ответ: x=

Тригонометрические уравнения. Два основных метода решения. Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но  существую и более сложные. Для их решения применяют метод ввода  новой переменной и метод разложения на множители. Давайте  рассмотрим примеры. Пример Решить уравнение:  Решение: Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой  переменной, обозначим:  t=tg(x). В результате замены получим: Найдем корни квадратного уравнения: t=­1 и t=1/3 Тогда tg(x)=­1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое  уравнение, найдем его корни. π x=arctg(­1) + k= ­ π π π /4+ k; x=arctg(1/3) +  k. Ответ: x= ­ π π π /4+ k; x=arctg(1/3) +  k.

Тригонометрические уравнения. Пример. Решить уравнение:  Решение: Воспользуемся тождеством:   Наше уравнение примет  вид: введем замену t=cos(x):  Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=­1/2 Тогда cos(x)=2 и cos(x)=­1/2. Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то  cos(x)=2 не имеет корней.  Для cos(x)=­1/2: x= ± arccos(­1/2) + 2 k; x= π Ответ: x= ±2 /3 + 2 k  π  ±2 /3 + 2 k  π π π

Тригонометрические уравнения. Однородные тригонометрические уравнения. Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются  однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.  Уравнения вида однородными тригонометрическими уравнениями второй степени Для решения  однородного тригонометрического уравнения первой  степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не  так: Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не  равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Тригонометрические уравнения. Пример. Решить уравнение:  Решение: Вынесем общий множитель:   Тогда нам надо решить два уравнеия:   cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0 π π /2 +  k; cos(x)=0 при x=  Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на  cos(x): 1+tg(x)=0 => tg(x)=­1 => x=arctg(­1) + k= ­ π π /4+ k π Ответ: x=  π /2 +  k и x= ­ π π π /4+ k

Тригонометрические уравнения. Однородные тригонометрические уравнения. Как решать однородные тригонометрические уравнения второй  степени? Ребята, придерживайтесь этих правил всегда! 1) Посмотреть чему равен коэффициет а, если а=0 то тогда наше уравнение  примет види cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на  предыдущем слайде 2) Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате,  получим: Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Тригонометрические уравнения. Пример. Решить уравнение:  Решение: Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:   Делаем замену переменной t=tg(x): Найдем корни квадратного уравнения: t=­3 и t=1 π Тогда: tg(x)=­3 => x=arctg(­3) +  k=­arctg(3) +  k tg(x)=1 => x=  π π /4+  k π Ответ: x=­arctg(3) +  k и x=  π π π /4+  k

Тригонометрические уравнения. Пример. Решить уравнение:  Решение: Преобразуем наше выражение:   Решать  такие уравнение мы умеем: x= ­  π π /4 + 2 k и x=5 /4 + 2 k  π π Ответ: x= ­  π π /4 + 2 k и x=5 /4 + 2 k   π π

Тригонометрические уравнения. Пример. Решить уравнение:  Решение: Преобразуем наше выражение:   Введем замену tg(2x)=t  Решением нашего квардратного уравнения будут корни: t=­2 и t=1/2 Тогда получаем: tg(2x)=­2 и tg(2x)=1/2  2x=­arctg(2)+  k => x=­arctg(2)/2 +  k/2  π 2x= arctg(1/2) +  k => x=arctg(1/2)/2+  k/2 π Ответ: x=­arctg(2)/2 +  k/2  и x=arctg(1/2)/2+  k/2  π π π π

Тригонометрические уравнения. Задачи для самостоятельного решения. 1) Решить уравнение  а) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(­x) = ­1  г) tg(4x) = √3  д) ctg(0.5x) = ­1.7 2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на  π π /2;  отрезке [  ]. 3) Решить уравнение: 4) Решить уравнение: 5) Решить уравнение: 6)Решить уравнение: