Презентация по математике " Фракталы"

ФРАКТАЛЫ ФРАКТАЛЫ

Математика,  Математика, если на нее если на нее правильно правильно посмотреть, посмотреть, отражает не отражает не только истину, только истину, но и но и несравненную несравненную красоту. красоту.

Что нам даёт применение Что нам даёт применение фракталов? фракталов? Они позволяют намного упростить сложные  Они позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для процессы и объекты, что очень важно для моделирования. Позволяют описать моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и процессы и, самое нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов. главное, предсказать будущее таких объектов. Интерес к проблеме обусловлен так же  Интерес к проблеме обусловлен так же возросшей ролью фракталов в машинной возросшей ролью фракталов в машинной графике. Они незаменимы при генерации графике. Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. искусственных облаков, гор, поверхности моря. Красота мира фракталов привлекает многих —  Красота мира фракталов привлекает многих — от художников, и модельеров до биологов, от художников, и модельеров до биологов, физиков и математиков физиков и математиков

Классификация фракталов  Геометрические фракталы  Алгебраические фракталы  Стохастические фракталы

Снежинка Коха Снежинка Коха Из геометрических фракталов  Из геометрических фракталов очень интересным и довольно очень интересным и довольно знаменитым является первый - знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего на основе равностороннего треугольника. Каждая линия треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длина каждой итерацией длина кривой увеличивается на кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длины. Коха бесконечной длины. Получается, что наша Получается, что наша бесконечная кривая покрывает бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь ограниченную площадь

Треугольник Серпиньского Треугольник Серпиньского Для построения из центра  Для построения из центра равностороннего равностороннего треугольника "вырежем" треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту треугольник. Повторим эту же процедуру для трех же процедуру для трех образовавшихся образовавшихся треугольников (за треугольников (за исключением исключением центрального) и так до центрального) и так до бесконечности. Если мы бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из теперь возьмем любой из образовавшихся образовавшихся треугольников и увеличим треугольников и увеличим его - получим точную его - получим точную копию целого. В данном копию целого. В данном случае мы имеем дело с случае мы имеем дело с полным самоподобием. полным самоподобием.

Кривая дракона Кривая Коха В 1904 г. немецкий математик Хельга фон Кох построил кривую, которая в настоящее время носит его имя (кривая Коха).

Коврик Серьпиньского Коврик Серьпиньского  Построение Построение: берётся : берётся сплошной квадрат, сплошной квадрат, разрезается на 9 равных разрезается на 9 равных квадратов и удаляется квадратов и удаляется внутренность внутренность центрального квадрата. центрального квадрата. На втором шаге удаляется На втором шаге удаляется 8 центральных квадратов 8 центральных квадратов из 8 оставшихся квадратов из 8 оставшихся квадратов и т. д. После бесконечного и т. д. После бесконечного повторения этой повторения этой процедуры, от сплошного процедуры, от сплошного квадрата остаётся квадрата остаётся замкнутое подмножество замкнутое подмножество — коврик Серпиньского. — коврик Серпиньского.

Все множество Все множество Мандельброта в полной Мандельброта в полной красе у нас перед глазами красе у нас перед глазами Справа-небольшой участок  Справа-небольшой участок множества Мандельброта, множества Мандельброта, увеличенное до размеров увеличенное до размеров предыдущего рисунка. предыдущего рисунка.

Стохастические фракталы Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма"

Природа зачастую Природа зачастую создаёт создаёт удивительные и удивительные и прекрасные прекрасные фракталы, с фракталы, с идеальной идеальной геометрией и такой геометрией и такой гармонией, что гармонией, что просто замираешь от просто замираешь от восхищения. восхищения.

Природные фракталы Природные фракталы не имеют бесконечно не имеют бесконечно повторяющихся повторяющихся субструктур и не могут субструктур и не могут демонстрировать демонстрировать бесконечного бесконечного самоподобия. В этом самоподобия. В этом состоит особенность состоит особенность природных фракталов. природных фракталов.

Nautilus является  Nautilus является  одним из наиболее  одним из наиболее  известных примеров  известных примеров  фрактала в природе.  фрактала в природе.  Прекрасная  Прекрасная  иллюстрация  иллюстрация  последовательности  последовательности  Фибоначчи Фибоначчи

Молнии Молнии ужасают, ужасают, пугают и пугают и одновременно одновременно восхищают восхищают своей своей красотой. красотой. Фракталы Фракталы созданные созданные молнией не- молнией не- произвольны и произвольны и нерегулярны нерегулярны

Папоротник является хорошим Папоротник является хорошим примером фрактала среди примером фрактала среди флоры флоры

Павлины Павлины всем всем известны известны своим своим красочным красочным опереньем опереньем , в котором , в котором спрятаны спрятаны сплошные сплошные фракталы.. фракталы

Горные  расщелины,  береговые  линии хоть и  произвольны  по линиям, но  так же  фрактальны

Применение фракталов

Генерация изображений природных объектов

Построение фрактальных ландшафтов.

Механика жидкостей Моделирование пламени Явление турбулентности в потоке жидкости

Моделирование популяций

Фрактальные антенны

Фракталы в общественных процессах Торговля по фракталам. фрактальный анализ графика цен акций на фондовом рынке