Поделиться
ВАМ поклоняюсь,.pptx
ВАМ поклоняюсь, вас желаю, Числа! Свободные, бесплотные, как тени, Вы радугой связующей повисли К раздумиям с вершины вдохновенья!
Валерий Яковлевич Брюсов (русский писатель 1873-1924)
"
Какие числовые множества Вам знакомы?
N – натуральные числа
Z – целые числа
Q – рациональные числа
R – действительные числа
R
Q
N
Z
Вычислите:
?
проблемный вопрос:
существует ли числовое множество, на котором можно извлекать квадратные корни из отрицательных чисел?
В XVI веке
В связи с изучением
кубических уравнений
оказалось необходимым
извлекать квадратные корни
из отрицательных чисел.
Первым учёным,
предложившим ввести
числа новой природы
(мнимые числа), был
Джорж Кардано.
Комплексными числами
Полные гражданские права мнимым числам дал немецкий матема-тик Карл Фридрих Гаусс, который назвал их
komplex
`
Тема урока: Комплексные числа
R
Q
N
Z
N
R
C
C-множество комплексных чисел(соmplex)
Минимальные условия для существования комплексных чисел
С1 существует комплексное число, квадрат которого равен -1
С2 Множество комплексных чисел содержит все действительные числа
С3 Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (переместительному, сочетательному. распределительному).
х² + 1 = 0 ?
х² = –1
i
=
i – начальная буква французского слова
i² = –1
Число i - мнимая единица, i² = –1
Обозначение: z = a + bi
а- действительная часть комплексного числа z
в- мнимая часть комплексного числа z
а = Re z
в = Im z
Числа вида а+bi, где а R, в R
i-мнимая единица, называются комплексными числами (сложные,составные)
Определение:
Например, 5+3i , -2,5-2i , 10+0i , 6i , -1,7i , -8+0i.
Числа 6i , -1,7i называют чисто мнимыми, т.к. их действительная часть равна нулю.
Числа 10+0i=10, -8+0i=-8 называют действительными, т.к. их мнимая часть равна нулю.
А число 0 – действительное или мнимое?
0=0+0i
Задание 1 «Магическая таблица» С помощью таблицы узнайте имя итальянского алгебраиста, предложившего в 1545 ввод числа новой природы.. Для этого необходимо прочесть буквы, образованные пересечением номера столбца и номера строки.
0 1+3i 2+2i 3+i 2+0i 2+i 1 3+3i 3i
Действительная часть числа | |||||
Мнимая | 0 | 1 | 2 | 3 | |
0 | |||||
1 | |||||
2 | |||||
3 | |||||
д
а
о
к
н
л
р
р
о
и
д
о
ж
а
м
а
Продолжи
Числа Z1=a+bi и Z2=c+di будут равны, если
Числа Z1=a+bi и Z2=–а-bi называются
равны их действительные части и мнимые части, т.е. a=c и b=d
противоположными
Устно:
Найти x и y из равенства: 3y + 5xi = 15 – 7i;
Какие арифметические операции можно выполнять с комплексными числами?
9-i
-4,4-6i
-11-4i
1.Сложение
(а+вi)+(с+di)=
(а+с)+(в+d)i
Пример 1. (-3+5i) + (4 - 8i) = 1-3i
Пример 2. (2+0i) + (7+0i) = 9+0i = 9
Пример 3. (0+2i) + (0+5i) = 0+7i = 7i
Пример 4. (-2+3i) + ( -2 –3i) = - 4
Пример(устно): (7+3i)+(2-4i)=
(-3+i)+(-1,4-7i)=
(-9-3i)+(-i-2)=
2.Вычитание
Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i
Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6
Пример(устно) (2-i) – ( 3+5i) =
4i – (5+i)=
(6-7i) – (i-2)=
(а+вi)-(c+di)=
(a-c)+(b-d)i
-1-6i
-5+3i
8-8i
Задание 2.
Произведите арифметические действия над комплексными числами и узнайте, имя французского математика, который в конце 18 века смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины
(3 + 5i) + (7 – 2i).
2) (6 + 2i) - (5 + 3i).
3) (– 2 + 3i) - (7 – 2i).
4) (5 – 4i) + (6 + 2i).
5) (3 – 2i) - (5 + i).
6) (-4 -2i) + (– 3 + 2i)
7) (– 5 + 2i) - (-5 - 2i).
Л =10-3i
Ж =4i
A =-2-3i
Г =-9+5i
Р =11-2i
Н =-7+0i
А =1-i
Лагранж
Умножение
(c+di)
= ac
bс
i
=
+
+
+
аd
bd
(а+bi)
i
=
=
(ac-bd)
+
(аd+bc)
i
i2
3.Умножение
(а+bi)(c+di)=
Пример 1. (1–2i)(3+2i) = 3 + 2i – 6i– 4i ² = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i
Пример 2. (3–2i)(3+2i) = 9 + 6i – 6i – 4i ² = 9 + 4 = 13
ac+adi+bci+bdi²
=(ac-bd)+(ad+bc)i
=-1
Реши сам
(2-3i)(4+5i)=
(-3-i)(7i+8)=
2,4i(5i-2)=
(1,5-2i)(1,5+2i)=
Задание 3
Произведите арифметические действия над комплексными числами и узнайте, имя французского ученого XVIII века, предложившего символ i для обозначения мнимой единицы
1. ___ (2 + 3i)(5 – 7i) =
2. ___(6 + 4i)(5 + 2i)=
3. ___(3 – 2i)(7 – i) =
4. ___ (– 2 + 3i)(3 + 5i)=
5. ___(1 –i)(1 + i)=
ЭЙЛЕР
Э
Й
Р
Л
Е
Л
Й
Э
Р
Е
31+i
22+32i
19-17i
-21-i
2
Сопряженные числа
Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
(a + bi)(a – bi) = a²+ b²
сопряженные
Z= a + bi
Z= a - bi
Пример:
25+3i и 25-3i
-6+i и -i-6
4.Деление
Разделить комплексное число а + вi на комплексное число с+ di – значит найти такое число x + yi , которое, будучи помноженное на делитель, даст делимое.
7 - 4 i
3 + 2 i
=
(7 - 4 i)
(3 + 2 i)
Пример
(3 - 2 i)
(3 - 2 i)
=
21 -12i -14i + 8i²
9+4
=
=
13-26i
13
=
13 26i
13 13
-
=
1-2i
Реши!
2+3i
4-i
=
2-i
-1-3i
=
5+14i
17
=
5
17
+
14
17
i
1+7i
10
=
0,1+0,7i
Проверь себя!
z1=5+6i
z2=-1+2i
z1=1+7i
z2=-2+3i
z1+z2 =
z1 − z2 =
z1· z2 =
z1 : z2 =
Вариант 1
Вариант 2
4 + 8i
-1 + 10i
6 + 4i
3 + 4i
-17 +4i
- 23 - 11i
19/13 - 17i/13
7/5 –16i/5
Домашнее задание
П.32,№5,10(а,б),18(а,б),20(а,б)24(а,б)
«Комплексные числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Г. Лейбниц
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
