В XVI веке
В связи с изучением
кубических уравнений
оказалось необходимым
извлекать квадратные корни
из отрицательных чисел.
Первым учёным,
предложившим ввести
числа новой природы
(мнимые числа), был
Джорж Кардано.
Минимальные условия для существования комплексных чисел
С1 существует комплексное число, квадрат которого равен -1
С2 Множество комплексных чисел содержит все действительные числа
С3 Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (переместительному, сочетательному. распределительному).
Обозначение: z = a + bi
а- действительная часть комплексного числа z
в- мнимая часть комплексного числа z
а = Re z
в = Im z
Числа вида а+bi, где а R, в R
i-мнимая единица, называются комплексными числами (сложные,составные)
Определение:
Например, 5+3i , -2,5-2i , 10+0i , 6i , -1,7i , -8+0i.
Числа 6i , -1,7i называют чисто мнимыми, т.к. их действительная часть равна нулю.
Числа 10+0i=10, -8+0i=-8 называют действительными, т.к. их мнимая часть равна нулю.
А число 0 – действительное или мнимое?
0=0+0i
Задание 1 «Магическая таблица» С помощью таблицы узнайте имя итальянского алгебраиста, предложившего в 1545 ввод числа новой природы.. Для этого необходимо прочесть буквы, образованные пересечением номера столбца и номера строки.
0 1+3i 2+2i 3+i 2+0i 2+i 1 3+3i 3i
3 2+3i 2i 3+2i 1+i i 1+2i
Действительная часть числа | |||||
Мнимая | 0 | 1 | 2 | 3 | |
0 | |||||
1 | |||||
2 | |||||
3 |
д
а
о
к
н
л
р
р
о
и
д
о
ж
а
м
а
Какие арифметические операции можно выполнять с комплексными числами?
9-i
-4,4-6i
-11-4i
1.Сложение
(а+вi)+(с+di)=
(а+с)+(в+d)i
Пример 1. (-3+5i) + (4 - 8i) = 1-3i
Пример 2. (2+0i) + (7+0i) = 9+0i = 9
Пример 3. (0+2i) + (0+5i) = 0+7i = 7i
Пример 4. (-2+3i) + ( -2 –3i) = - 4
Пример(устно): (7+3i)+(2-4i)=
(-3+i)+(-1,4-7i)=
(-9-3i)+(-i-2)=
Задание 2.
Произведите арифметические действия над комплексными числами и узнайте, имя французского математика, который в конце 18 века смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины
(3 + 5i) + (7 – 2i).
2) (6 + 2i) - (5 + 3i).
3) (– 2 + 3i) - (7 – 2i).
4) (5 – 4i) + (6 + 2i).
5) (3 – 2i) - (5 + i).
6) (-4 -2i) + (– 3 + 2i)
7) (– 5 + 2i) - (-5 - 2i).
Л =10-3i
Ж =4i
A =-2-3i
Г =-9+5i
Р =11-2i
Н =-7+0i
А =1-i
Лагранж
Задание 3
Произведите арифметические действия над комплексными числами и узнайте, имя французского ученого XVIII века, предложившего символ i для обозначения мнимой единицы
1. ___ (2 + 3i)(5 – 7i) =
2. ___(6 + 4i)(5 + 2i)=
3. ___(3 – 2i)(7 – i) =
4. ___ (– 2 + 3i)(3 + 5i)=
5. ___(1 –i)(1 + i)=
ЭЙЛЕР
Э
Й
Р
Л
Е
Л
Й
Э
Р
Е
31+i
22+32i
19-17i
-21-i
2
4.Деление
Разделить комплексное число а + вi на комплексное число с+ di – значит найти такое число x + yi , которое, будучи помноженное на делитель, даст делимое.
7 - 4 i
3 + 2 i
=
(7 - 4 i)
(3 + 2 i)
Пример
(3 - 2 i)
(3 - 2 i)
=
21 -12i -14i + 8i²
9+4
=
=
13-26i
13
=
13 26i
13 13
-
=
1-2i
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.