Краткая аннотация урока:
Учебный предмет – алгебра и начала анализа.
Уровень образования школьников: 11 класс общеобразовательной школы, профильный уровень.
Раздел программы: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.
Место урока в изучении раздела: первый урок.
Форма учебной работы – классно-урочная.
Продолжительность урока: 45 минут.
Технологические особенности:
Дидактическое оснащение урока и ТСО: компьютер учителя, проектор.
Основные понятия: равносильные уравнения, уравнения – следствия, теоремы равносильности («спокойные» и «беспокойные»), лишние корни, потеря корней.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: традиционный урок.
Методы обучения: фронтальный, индивидуальный, групповой, наглядно-практический.
Приобретаемые навыки детей: применение знаний к решению уравнений.
Формы организации работы детей: индивидуальная и групповая работа.
Задачи урока:
• выработать у учащихся умение пользоваться теоремами равносильности уравнений.
• осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений.
• познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений
Раздел13:
«Уравнения и
неравенства»
Тема 13.1.
«Равносильность
уравнений»
История
уравнения:
Сначала была задача.
Она привела к уравнению.
И решение уравнения стало
задачей.
Уравнен
ие -
Корень
уравнени
я -
Решить
уравнени
е -
равенство с
переменной
f(x)=g(x).
всякое значение
переменной, при
котором выражения
f(x) и g(x)
принимают равные
числовые значения.
Значит найти все
его корни или
доказать, что их
нет.
Основные виды уравнений.
1) линейное
2) квадратное
3) дробно-рациональное
4) иррациональное: содержит
выражения
5) показательное: содержит
6) логарифмическое: содержит
7) тригонометрическое: содержит
выражения
выражения
выражения
Рассмотрим и решим
уравнения:
1)
2)
Цели урока.
Вспомнить, обобщить и
систематизировать знания о
принципиальных вопросах,
связанных с решением уравнений:
1) Что такое равносильные уравнения?
2) Какие преобразования уравнений
являются равносильными, а какие – нет?
3) Когда и как надо делать проверку
найденных корней?
Определение 1. Два
уравнения с одной
переменной
f(х) = g(х) и р(х) = h(х)
называют равносильными,
если множества их корней
совпадают.
Иными словами, два уравнения
называют равносильными, если они
имеют одинаковые корни или если оба
уравнения не имеют корней.
Обозначение: f(x)=g(x) <=>
1.
Примеры к определению
Пример 1.
1)Уравнения ,
равносильны (пример в начале урока),
так как их корни – числа 1 и 4 –
совпадают.
2) Уравнения
равносильны (доказать).
3) Уравнения
равносильны (доказать).
Определение 2. Если
каждый корень первого
уравнения f(х) = g(х)
является одновременно
корнем второго уравнения
р(х) = h(х), то второе
уравнение называют
следствием первого.
Обозначение: f(x)=g(x) =>
p(x)=h(x)
2.
Примеры к определению
Пример 2.
1) Уравнение имеет корни 1
и 4, а уравнение имеет
корень 4.
Тогда .
2) Уравнение - следствие
уравнения
(доказать).
Связь определений 1,2.
Вопрос. Если уравнение
p(x)=h(x) равносильно
уравнению f(x)=g(x), то
будет ли оно его
следствием?
Ответ. Да. Так как
множество корней
уравнений совпадает, то
каждый корень одного
Следствие из определений
1,2.
Два
уравнения
равносильны
и
тогда
только
когда
каждое из них является
следствием другого.
тогда,
минут).
данные
уравнения
Самостоятельная работа (время 15
Будут
ли
равносильны?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Правильные ответы.
1) Да. (корень обоих уравнений: -2)
2) Да. (корень обоих уравнений: 3)
3) Нет. (корни первого уравнения: -2; 1;
второго уравнения: -2; -1)
4) Нет. (корни первого уравнения: 8; 5;
второго уравнения: 8)
5) Нет. (корни первого уравнения: -1; 1;
второго уравнения: 1)
6) Да. (оба уравнения не имеют корней)
оценка «3»: 0 – 3 заданий.
оценка «4»: 4 – 5 заданий.
оценка «5»: 5 – 6 заданий.
В итоге можно сказать, что решение уравнения, как
правило, осуществляется в три этапа.
Этапы решения уравнения:
Первый этап — технический. На этом этапе
осуществляют преобразования по схеме (1) → (2)
→ (3)→ (4) → ... и находят корни последнего
(самого простого) уравнения указанной цепочки.
Второй этап — анализ решения. На этом этапе,
анализируя проведенные преобразования,
отвечают на вопрос, все ли они были
равносильными.
Третий этап — проверка. Если анализ,
проведенный на втором этапе, показывает, что
некоторые преобразования могли привести к
уравнению-следствию, то обязательна проверка
всех найденных корней их подстановкой в
исходное уравнение.
Задача решения
уравнения
(реализация
плана)
связана с
поисками ответов
на следующие
вопросы.
является ли
переход от
одного уравнения
к другому
равносильным
преобразованием
?
Какие
преобразован
ия не
сохраняют
равносильност
ь?
Если появились
посторонние корни,
то как сделать
проверку в случае,
когда она сопряжена
со значительными
вычислительными
трудностями?
В каких случаях
при переходе от
одного уравнения
к другому может
произойти потеря
корней и как
этого не
допустить?
Задача решения уравнения связана с
поисками ответов на следующие
вопросы.
• Как узнать, является ли переход от
одного уравнения к другому
равносильным преобразованием?
• Какие преобразования не сохраняют
равносильность?
• Если появились посторонние корни,
то как сделать проверку в случае,
когда она сопряжена со
значительными вычислительными
трудностями?
• В каких случаях при переходе от
одного уравнения к другому может
Теоремы о равносильности
уравнений
• «Спокойные (безусловные)
теоремы» гарантируют равносильность
преобразований без каких-либо дополнительных
условий, их использование не причиняет
решающему никаких неприятностей.
• «Беспокойные (условные)
теоремы» работают лишь при
определенных условиях, а значит, могут
доставить некоторые неприятности при
решении уравнений.
«Спокойные
(безусловны
е) теоремы»
Теорема 1. Если
какой-либо член
уравнения перенести из
одной части уравнения
в другую с
противоположным
знаком, то получится
уравнение,
равносильное данному.
Теорема 2. Если
обе части уравнения
возвести в одну и ту
же нечетную
степень, то
получится уравнение,
равносильное
данному.
Теорема 3.
Показательное
уравнение аf(x) = аg(x)
(где а > 0, a≠1)
равносильно
уравнению f(x) = g(х).
«Спокойные (безусловные)
теоремы»
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения
перенести из одной части уравнения в
другую с противоположным знаком, то
получится уравнение, равносильное
данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения
возвести в одну и ту же нечетную степень,
то получится уравнение, равносильное
данному.
Теорема 3. Показательное уравнение аf(x) =
аg(x) (где а > 0, a≠1) равносильно уравнению
Примеры к теоремам 1-3.
1)уравнение
равносильно уравнению
2)
3)
ОДЗ
Определение 3. Областью
определения уравнения f(х) =
g(х) или областью допустимых
значений
(ОДЗ)
называют множество тех значений
переменной х, при
которых
смысл
имеют
одновременно
выражения f(х) и g(х).
переменной
«Беспокойн
ые
(условные)
теоремы»
Теорема 4. Если обе
части уравнения
f(x) = g(х) умножить на одно и то
же выражение h(х), которое:
а) имеет смысл всюду в области
определения (в области
допустимых значений) уравнения
f(x) = g(х)
б) нигде в этой области не
обращается в 0,
то получится уравнение f(x)h(x) =
g(x)h(x), равносильное данному в
его ОДЗ.
Теорема 5. Если обе
части уравнения f(x) =
g(х) неотрицательны в
ОДЗ уравнения, то после
возведения обеих его
частей в одну и ту же
четную степень n
получится уравнение
(f(x))n=(g(x))n
равносильное данному в
его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть а>0
и a≠1, f(х) > 0, g(х) > 0 .
Тогда логарифмическое
уравнение
loga f(x) = loga g(x)
равносильно уравнению
f(x) = g(х).
«Беспокойные (условные)
теоремы»
Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х)
умножить на одно и то же выражение h(х), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области
допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)
б) нигде в этой области не обращается в 0
то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x),
равносильное данному в его ОДЗ.
Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(х)
неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения
обеих его частей в одну и ту же четную степень n
получится уравнение (f(x))n=(g(x))n равносильное
данному в его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть а>0 и a≠1, f(х) > 0, g(х) > 0 . Тогда
уравнение
loga f(x) = loga g(x) равносильно уравнению f(x) = g(х).
Краткая (символьная) запись
теорем 4 – 6.
h(x) ≠0
Теорема 4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где
и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.
Теорема 5. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))n=(g(x))n , где
и n=2k (чётное число).
Теорема 6. loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(х), где
f(х) > 0, g(х) > 0
и а>0, a≠1.
f(x)≥0, g(x)≥0
Преобразование данного уравнения
в уравнение – следствие.
Проверка корней.
Если в процессе решения уравнения
применяем теоремы 4-6, не проверив
выполнения ограничительных условий, то
получим уравнение-следствие, т. е. появятся
посторонние корни вследствие расширения
ОДЗ уравнения.
Причины появления посторонних корней:
1) избавление от знаменателей, содержащих
переменную величину;
2) избавление от корней четной степени;
3) избавление от логарифмов.
Два уравнения называются
равносильными, если
совпадают
множества их корней.
Если уравнение (2) –
следствие уравнения
(1), то каждое решение
(корень) уравнения (1)
является решением
уравнения (2).
Какие преобразования
уравнений являются
равносильными
(теоремы 1, 2, 3)?
1) Перенос любого члена
уравнения
из одной части уравнения в
другую с противоположным знаком.
2) Возведение обеих частей
в одну и ту же нечетную
уравнения
3) Если показательное уравнение
степень.
приведено к одному основанию, то
это основание (число)
можно отбросить из уравнения.
Какие преобразования
уравнений могут привести к
(теоремы 4-6)
уравнению-следствию, то есть к
появлению посторонних корней?
1) Умножение обеих частей
уравнения
на выражение с переменной
2) Возведение обеих частей
(неизвестным).
уравнения
3) Если в логарифмическом
уравнении
в одну и ту же четную степень.
Три основных этапа
решения уравнения.
1)
цепочка
Технический
преобразований.
- 2) Анализ
проверка
решения -
преобразований на равносильность.
3)
если
Проверка -
преобразования не были
равносильными, то проверяем
найденные корни подстановкой в
исходное уравнение.
Домашнее
задание.
1) Выучить определения 1,
2, 3.
2) Теоремы 1-6.
Урок окончен.
Всем спасибо.
Примеры (к определению
3).
Пример 3. Найти ОДЗ
выражений
1)
2)
3)
О потере корней.
Основные причины потери корней
при решении уравнений:
1) Деление обеих частей уравнения
на одно и то же выражение h(х)
(кроме тех случаев, когда точно
известно, что всюду в области
определения
уравнения
выполняется условие h(х) ≠ 0);
2) Сужение ОДЗ в процессе решения
уравнения.
ЧИСТОВИК РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.pptx
