Презентация по математику на тему "Сандар сыры"

І. Кіріспе Ежелгі гректер а р и ф м е т и ка деп натурал сандардың қасиеттері жөніндегі ғылымды атайтын ( «аритмос» - сан деген сөзден шыққан ). Карл Гаусс математиканың сан салаларын сарапқа сала келіп арифметиканы математика патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы – сан. Ендеше, сол сан ұғымының қалай пайда болуын ашу, білу – ғылыми методогиялық үлкен проблема. 19 ғасырға дейін математика тарихы жөнінде қалам таратушы авторлардың көбісі сандар мен сандарға амал қолдану әрекетін құдайлар немесе кемеңгер философтар шығарған деп түсіндіріп келеді. Өткен ғасырдағы ең мықты алгебрашылардың бірі Кронекер « бүтін сандарды құдай жасады, қалған дүниені адам жасады » , - дегені мәлім. Ескі аңыздарда сандарды біресе Пифагор, біресе Прометей немесе басқа да бір пайғамбар шығарыпты – мыс деген тұжырымдар көп ұшырасады. Бұлардың барлығы, әрине, ғылыми шындыққа келмейтін жалаң қорытындылар. Шындығында, арифметиканың өзі айрықша ғылым болып бертінде қалыптасқанмен оның басты ұғымы - сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды білмеген заманда пайда болған. Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет еткен. Әлемді сандарсыз елестетуге бола ма? Сандар түсінігінің пайда болуының өзі – адамзат ақыл-ойының жарқын жемісі. Шынымен де, сандар көмегімен өлшейді, салыстырады, есептейді, ал тағы сурет салады, сызба жасайды, ойнайды, тұжырымдайды, қорытынды жасайды. Сан — математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Қарапайым түрде алғашқы қоғамдарда-ақ пайда болған, кейін бірте-бірте қолданыс аясы кеңейіп әрі жалпыланды. Кейбір заттарды санауға байланысты бүтін оң (натурал) сандар ұғымы, кейіннен сандардың натурал қатарының (1, 2, 3, 4, …) шексіздігі туралы идея пайда болды. Сан ұғымының алғашқы кеңеюі — натурал сандарға бөлшек сандардың қосылуы болды. Ол ұзындықты өлшеу, ауданды табу, сондай-ақ, атаулы шамалардың үлесін бөліп шығару қажеттілігіне байланысты қолданысқа енгізілді. Теріс сандар арифметикалық есептерді шешудің жалпы тәсілдерін беретін алгебраның ғылым ретінде дамуына байланысты шықты. Бүтін, бөлшек (оң және теріс) және нөл сандары рационал сан деп аталды. Айнымалы шамалардың шексіз өзгеруін зерттеу үшін сан ұғымы кеңейтіліп, нақты сандар жиынтығы пайда болды. Шамалардың қатынасын өрнектеу қажеттігі иррационал сандар ұғымын енгізуге себепші болды. ХҮІ ғасырда квадрат және куб теңдеулерді шешуге байланысты жорамал сандар ұғымы енгізілді. Пайда болу уақыты бойынша ең ежелгісі-натурал сандар. Натурал сандар нәрселерді санауда қолданады. Бастауыш сыныпта біз тақ және жұп сандармен таныстық, ал 5 сыныптың математика сабағында жай және құрама сандар пайда болады. Сонымен қатар натурал сандардың арасында кемел сандар, достас сандар, палиндромдар тағы басқа сандар түрі болады екен, бірақ біздер ол туралы мектепте оқымайды екенбіз. Ең бірінші жай сандардан бастайық. Егер жай сандарды барлық натурал сандар тұрғызылатын «кірпіштер» десек, онда оларды «қалау» арқылы таңғажайып «сандар қамалын» алуға болады. Нәрселерді санауда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады. Біз мектеп математикасы курсынан натурал сандардың жұп және тақ, жай және құрама болып бөлінетіндігін білеміз. «Кемел сан», «достас сан», «егіз сан», «жай сан», «құрама сан», «жұп сан», «тақ сан» т.с.с. сан аталымдары ғылымға Пифагордың зерттеулері мен сабақтары арқылы біздің заманымыздан бұрынғы 6-5 ғасырлардан бері қарай кеңінен ене бастаған. Ал «кемел сан», «достас сан» деген қандай сандар? Жай және құрама сандармен қандай байланыста? Бұл сұрақтарға жауап беру үшін санның бүлгіштері ұғымын, жай және құрама сандарды жақсы білу шарт. Санның бүлгіштері, 2-ге, 3-ке, 9-ға, 5-ке, 10-ға бүлінгіштік белгілері, құрама сандарды жай көбейткіштерге жіктеу, жұп және тақ сан ұғымдары бізге таныс болғанымен жұмыста қарастырдым. Мектеп математикасы курсынан білетініміздей, жай сан дегеніміз тек 1 мен өзіне ғана бөлінетін натурал санды айтамыз. Жай сандар жиынындағы есептерді шешу мәселелерімен Евклид, Эратосфен (1821-1894); академик Х.Гольдбах (1690-1764); академик И.М.Виоградов (1891-1983) сияқты кемеңгер математиктер кеңінен айналысып, ғылыми жемісті табыстарға жеткен. Жұп және тақ сандар жай сандармен қандай байланыста? Бұл сұраққа жауапты келесі есептерден табамыз. Гольдбах проблемасы. 5-тен үлкен кез-келген n натурал сан үш жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 9=2+2+5; 28=11+13+3; 85=79+3+3; т.с.с. Эйлер проблемасы. 1) 2-ден артық кез-келген жұп сан екі жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 4=2+2; 16=13+3; 84=79+5; т.с.с. 2) 5-тен артық кез-келген тақ сан үш жай санның қосындысынан тқрады. Мысалы, 7=2+2+3; 17=11+3+3; 85=79+3+3; т.с.с. ІІ. Негізгі бөлім Зерттеу нысаны – натурал сандар және олардың сыры. Жұмыстың мақсаты: таңғажайып сандармен танысу және жай сандардың қасиеттері арқылы олардың ролін арттыру. Бұл жай сандар деген соншалықты «жай ма»? Әр түрлі екі бөлгіші бар сандар жай сандар деп аталады. Ғалымдар ерте кездерден бастап-ақ жай сандарды зерттеген. Жай сан ұғымын біз заманымыздан бұрыңғы IV ғасырда ежелгі грек ғалымы Пифагор енгізген. Біздің заманымыздан бұрыңғы III ғасырда өмір сүрген грек математигі Евклид жай сандардың шексіз көп екендігін, ең үлкен жай санды атап көрсету мүмкін болмайтынын дәлелдеген. Евклидтен біршама кейінірек Александрияда өмір сүрген ежелгі грек математигі Эратосфен жай сандардың кестесін жасауға арналған өзінің тәсілін ұсынды. Эратосфен балауыздан жасалған тақтайшада натурал сандар кестесін жасап, одан құрама сандарды алып тастап отырған. Сонда алғашқы кесте елек тәрізденіп, онда тек қана жай сандар қалған. Сондықтан оны Эратосфен елегі деп атаған. Жай сандардың кестесін даярлаудағы Эратосфен тәсілін үйренейік. Алдымен 2 санынан бастап барлық натурал сандар жазылады. Мысалы, 2-ден 40-қа дейінгі барлық натурал сандарды тізіп жазайық. Бірінші ретте- 2-санынан басқа, 2-ге еселік сандардың барлығын сызып тастаймыз. Кестеде 2 санынан кейін 3 саны қалады. Екінші ретте – 3 санынан басқа 3- ке еселік сандардың барлығын сызып тастаймыз. Нәтижесінде 2 және 3 сандарынан басқа кестеде қалған сандар 2-ге де, 3-ке де бөлінбейді ( еселік емес). Кестеде 2 және 3 сандарынан кейін 5 саны қалады. Үшінші ретте – 5 санынан басқа 5-ке еселік сандардың барлығын сызып тастаймыз. Сонда кестеде 40-тан кіші жай сандар ғана қалады. Демек, 40-тан кіші жай сандар кестесін жасадық: 1. Мысалы, 5=1∙5, 29=1∙29, 37=1∙37 және т.б. Ең кіші жай сан – 2. Бұл жалғыз ғана жұп жай сан.Бұны біз 5-сыныпта «Натурал сандардың бөлінгіштігі» деген тақырыпта өткенбіз. Мектеп математикасы курсынан білетініміздей, жай сан дегеніміз тек 1 мен өзіне ғана бөлінетін натурал сан. Ал құрама сан деп бөлгіштерінің саны екеуден артық болатын натурал санды айтамыз. Жай сандар жиынындағы есептерді шешу мәселелерімен Евклид, Эратосфен (1821-1894); академик Х.Гольдбах (1690-1764); академик И.М.Виноградов (1891-1983) сияқты кемеңгер математиктер кеңінен айналысып, ғылыми жемісті табыстарға жеткен. Жұп және тақ сандар жай сандармен қандай байланыста? Бұл сұраққа жауапты келесі есептерден табамыз. Гольдбах проблемасы . 5-тен үлкен кез-келген n натурал сан үш жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 9= 2+2+5; 28=11+13+3; 85=79+3+3; т.с.с. Эйлер проблемасы. 1) 2-ден артық кез-келген жұп сан екі жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 4=2+2; 16=13+3; 84=79+5; т.с.с. Кішігірім зерттеу жүргізейік. Натурал сандарды екі жай санның көбейтіндісі күйінде қарастырайық, Мысалы: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 және т. б. Енді математикадағы жай сандардың ролін жеңіл түсіндіруге болады: олар көбейтудің көмегімен қалған басқа барлық сандар тұрғызылатын сол «кірпіштер» екен. Барлық жай сандарды санауға бола ма? Ертеде-ақ ежелгі грек математигі Евклид ең үлкен жай санның табылмайтынын тұжырымдаған. Барлық қалған сандарды оқып-үйренуде жай сан маңызды роль атқаратын болса, олардың тізімін жасау керек қой! Әрине, ең үлкен жай санның жоқ екенін білгеннен кейін, барлық жай санның тізімін жасауға үміттенуге болмайды. Бірақ 1000-ға дейінгі жай сандардың тізімін жасауға болатын шығар. Бұл жөнінде, яғни жалпы жай сандардың тізімін қалай жасау керектігі туралы біздің жыл санауымызға дейінгі ІІІ ғасырда өмір сүрген александриялық ғалым Эратосфен ойға қалды. Эратосфен өте жан-жақты адам болды: ол сандар теориясымен де, жұлдыздарды зерттеумен де айналысты. Бірақ оның есімі ғылымда жай сандарды іздеу әдісімен мәңгіге қалды. Ол математикамен қатар астрономия, география, тарихты да жақсы білген. Сол кездегі белгілі әлем картасы мен аспан денелерінің картасын жасаған, сондай-ақ кібісе (високосный) жылды еңгізудің қажеттілігін негіздеген. Оның негізгі жетістігі – Жердің көлемін адамдар оның шар тәріздес екенін білгенге дейін есептеп шығаруы. Эратосфен жай сандардың кестесін жасауға арналған өзінің тәсілін ұсынды. Эратосфен балауыздан жасалған тақтайшада натурал сандарды алып тастап отырған. Сонда алғашқы кесте елек тәрізденіп, онда тек қана жай сандар қалған. Сондықтан оны Эратосфен елегі деп атаған. "Ақырғы,ең үлкен жай сан бар ма?" деген сұрақ туады. Ежелгі грек математигі Евклид(б.д.д.3 ғ) екі мың жыл бойы математиканың негізгі оқулығы болып келген өзінің "Бастамалар" атты кітабында жай сандар ақырсыз көп екенін,яғни әрбір жай саннан кейін одан үлкен жай сан бар болатынын дәлелдеді. Жай санадарды іздестіру үшін сол кездегі гректің басқа математигі-Эратосфен мынадай тәсіл ойлап тапты.Ол 1-ден бастап қандай да бір санға дейінгі барлық сандарды жазды, содан кейін жай сан да, құрама сан да болмайтын 1-ді сызып тастады, содан соң 2-ден кейінгі әрбір бір саннан кейінгі сандарды (2-ге еселі сандар, яғни 4,6,8және т.с.с.) сызды.2-ден кейінгі қалған біріші сан 3 болды. Әрі қарай 3-тен кейінгі әрбір екі саннан кейін тұрған сан (3-ке еселі сандар, яғни 6,9,12 және т.с.с)сызылды. Ең ақырында сызылмай тек жай сандар ғана қалды.Кесте №1 Сонымен, бірінші жай сан – 2. Оны қалдыра отырып, екіге еселік болатын сандарды сызып тастаймыз. Келесі жай сан – 3. Оны қалдырып үшке еселік сандарды сызамыз және т.с.с. Нәтижесінде жай сандар тізбесін аламыз. Жай сандарды өте ұзақ еңбекті қажет ететін есептеулер арқылы алуға болады. Жақында 25692 цифрдан тұратын жай сан табылды! Оның жай сан екенін дәлелдеу үшін тез әрекет ететін компьютердің өзіне бірнеше апта қажет болды. Көріп отырғанымыздай, жай сандарды оңай табу мүмкін болмағандықтан, оларды құпия шифрлар үшін қолданатын болды, ал біз жай сандарды басқа таңғажайып сандарды табу үшін қолданатын боламыз. 2.Енді кемел сан деген қандай сан? Пифагор және оның шәкірттері сандардың бөлінгіштігі туралы мәселелерді зерттеді. Натурал санның бөлгіші деп берілген сан қалдықсыз бөлінетін санды айтатыны белгілі. п натурал санның өзінен басқа бөлгіштерінің қосындысы п натурал санның өзіне тең болса, онда п саны кемел сан деп аталады Қазірге дейін мынандай сұрақтардың жауабы табылмаған: 1) Ең үлкен кемел сан бар ма? 2) Тақ сандардың ішінде кемел сан бар ма? Ежелгі Грецияның математиктері VI ғ. алғашқы кемел сан ретінде «6» санын таныды. Тіпті шақырылған қонақта 6-орында ең құрметті қонақ отырған. 6 санының бөлгіштері 1, 2, 3 және 6-ның өзі. Егер 6-дан басқа бөлгіштерді 1 + 2 + 3 қоссақ, онда біз 6 санын аламыз. Сондықтан, 6 саны алғашқы кемел сан болып табылады. Ертеден белгілі келесі кемел сан "28". Шынымен де, 28 санының бөлгіштері 1, 2, 4, 7, 14сандары. 1+2+4+7+14=28. Ежелгі грек математигі Евклидке дейін тек қана осы екі кемел сан белгілі болды және ешкім де басқа кемел сандардың бар екенін, тіпті қанша болуы мүмкін екенін де білмеді. Евклид тағы екі кемел санды таба алды: 496 и 8128. Бір жарым мың жылға жуық адамдар тек қана осы төрт санды білді.Бесінші кемел сан ХV ғасырда белгілі болған – 33550336 саны. 1983 жыл қарсаңында 27 кемел сан белгілі болды. Бірақ қазірге дейін тақ кемел сандардың, ең үлкен кемел санының бар екені белгісіз. Әлемде кемел сандар сирек кездеседі. Қазіргі кезде 30-дан астам ғана кемел сан табылған. Кемел сандар мынандай қасиеттерге ие: - Барлық кемел сандар үшбұрышты. Бұл дегеніміз, кемел санды шарларды алсақ, олардан әрқашан да тең қабырғалы үшбұрыштарды құрастыруға болады деген сөз. - Кемел сандардың өзін қоса алғандағы бөлгіштеріне кері сандардың қосындысы әр уақытта 2-ге тең болады. ^ Евклид теоремасы. жай сан болса, онда кемел сан болады. Евклид ережесі. Егер де және - жай сан болса, онда мына қалыптама бүкіл жұп кемел сандар жиынын түгелдей өрнектейді. Осы Евклид ережесіне сүйене отырып, жай сандарға сәйкес келетін кемел сандар тізбесін тауып көрейік. Кесте №2 2 2 3 6 3 4 7 28 5 16 31 496 7 64 Евклид ережесіндегі формуласы арқылы табылатын натурал сандар Марсенн сандары деп аталады. Бұл сандарды алғаш француз математигі Марен Марсенн (1588-1648) ашқан. Марсенн сандарына қатысты мынадай есеп қарастырдым: санының құрмалас болғанда құрмалас, ал жай сан болғанда жай болатынын 1 мен 20 сандары арасында тексердім. Қазіргі уақытта кемел сандарды электронды есептеуіш машиналардың көмегімен есептеп табуға болады. 3. Кемел сандар ұғымымен қатар Пифагор достас сандар ұғымын енгізіп, оны шәкірттері мен ізбасарларына кеңінен уағыздаған. Егер бір натурал санның өзінен басқа бөлгіштерінің қосындысы екінші натурал санға тең болса немесе керісінше болса, онда мұндай екі натурал сан достас сандар деп аталады. Егер А санының барлық бөлгіштерінің (өзінен басқа) қосындысы екінші В санына, ал В санының барлық мүмкін бөлгіштерінің (өзінен басқа) қосындысы А санына тең болса, онда А және В қос санды достас сандар деп атайды. Мысалы, А= 284 саны үшін 1, 2, 4, 71, 142 сандары, ал В= 220 санына 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 сандары бөлгіштер болады. Сонымен қатар мынадай теңдіктердің тура болатынына көз жеткізе аламыз 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142. Демек, (284, 220) қос сандары Пифагор анықтамасы бойынша достас сандар болып табылады. Достас сандар теориясын жасауда Орта Шығыс және Таяу Шығыс елдерінің математиктері тамаша табыстарға жетеді. Солардың ішінде Бағдат қаласында ұзақ жылдар бойы ұстаздық қызмет атқарған араб математигі Корраұлы Сабит (860-901 жж.) және ғылыми өмірінің көбі Самарқанд қаласындағы Ұлықбек обсерваториясында өткен ұлы математик Жәмшид Ғияседдин әл-Каши (1430 жылы қайтыс болған). Академик Эйлер достас сандардың 60 қостасын табады. Бельгия математигі Поль Пуле 1929 жылы «Сан аулау саясаты» деп аталатын екі томдық еңбек жазып қалдырды. Сол еңбегінде ол өзі ашқан 62 достас сандар қостасын келтіреді. Достас сандарды анықтау үшін Корраұлы Сабиттің, Масудұлы әл-Кашидің достас сандар қатары туралы теоремалары мен қағидаларынан хабардар болу керек. Сабиттің теоремасы. Егер үш санның бәрі жай сандар болса, онда және сандары достас сандар болады. әл-Каши ережесі. Егер және сандары жай сандар болса, онда және сандары достас сандар болады. Достас сандар саясаты соңғы кезде электронды есептеуіш машиналардың қызметінде кеңінен жұмсала бастады. Осы сандарға алғаш назар аударған ежелгі грек ойшылы Самостық Пифагор (б.з.б. 570 - 500) болған. Сондықтан бұл сандар Пифагордың жұп сандары деп аталған. IX ғасырда өмір сүрген араб математигі ибн Курра Сабит (836 - 901) достас сандарды анықтауға арналған тәсіл тапқан. Күні бүгінге дейін достас сандар жиынтығы 1000 жұптан асты, оның ішінде тіпті 25 таңбалы достас сандар жұбы бар. Бұл жиынтықтың 13 жұбы 1 мен 100000-ның арасында орналасқан. Кесте № 3 1 жұп 8 жұп 220 және 284 17296 және 18416 2 жұп 9 жұп 1184 және 1210 63020 және 76084 3 жұп 10 жұп 2620 және 2924 66928 және 66992 4 жұп 11 жұп 5020 және 5564 67095 және 71145 5 жұп 12 жұп 6232 және 6362 69615 және 87633 6 жұп 13 жұп 10744 және 10856 79750 және 88730 7 жұп 12285 және 14595 4. Қатар тұрған екі жай санның айырмасы екіге тең болса, ондай сандарды ғалымдар егіз сандар деп атады. Ежелгі грек математиктерін,сондай-ақ ежелгі үнді математиктерін де қайсыбір геометриялық фигуралар- үшбұрыштар, квадраттар және т.б. түрінде орналасқан нүктелердің санына сәйкес келетін сандар қызықтырды. Мұндай сандарды фигуралық сандар деп атады.Мысалы 10 санын үшбұрыштық сан, 16 санын квадраттық сан деп атады. Натурал сандарды 2-ден бастап 6 бағанға орналастырамыз. Жай сандарды табу үшін сүзіп алатын Эратосфен «торының» бір моделін аламыз. Дөңгелекпен қоршалғандардың бәрі-жай сандар. Құрама сандардың үсті сызылған. 5-тен басталатын барлық жай сандар тек қана екі бағанда: 4 пен 6-шы бағанда. 4-ші және 6-шы бағандардың қайсыбір жолында екі жай сан кездессе, онда бұл жай сандар «егіз» сандар жұбы деп аталады: (5;7), (11;13), (17;19), (29;31), (41;43) және т.с.с. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 Кесте №4 Жоғарыда қарастырғанымыздай натурал сандар жиынының біз біле білмейтін қасиеттері бар екенін көрдік. Ұлы кемеңгер Пифагор, Евклид сияқты математиктеріміз ертеден осы қасиеттерді зерттеумен айналысқан. Тетелес жай сандардың шектеусіз тізбегі, яғни 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,,,,,,, тізбегі жөнінде бірқатар сұрақ туады. Олардың кейбіреуіне ғана оңай жауап беруге болады. Мәселен, ең кіші жай сандар 2 мен 3, олар тетелес натурал сандар болып табылады. Екеуі де жай сандар болатын басқа да тетелес натурал сандар бар ма деген сұрақ туады. Дегенмен екеуі де жай сандар болатын көптеген тетелес тақ сандар пары бар. Мәселен,жаңағы 3 пен 5, 5пен 7, 11 мен13,17 мен 19,29 бен31, 41мен 43 парлары.30миллионға дейінгі сандар ішінде осындай 152892 пар сандар бар. Егіз сандарға арналған: Гильбрайт болжамы 1958 жылы Н.Л.Гильбрайт мынадай болжам айтты: Егер бір тетелес жай сандарды тізіп жазсақ, сонан соң бірінші жолға- тетелес сандардың айырмаларын, екінші жолға- бірінші жолдағы тетелес сандардың айырмаларының абсолют шамаларын жазсақ т.т , онда әр жолдың алғашқы саны 1 саны болады. Сөйтіп мәселен, алғашқы 17 жол мынадай болады 2,3,5,7,11,13,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 6 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 4 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 4 1 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 1 0 2 0 2 0 2 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 2 2 1 0 2 0 1 2 2 1 0 1 5.Тағы бір қызық сандар-палиндромдар мен репьюниттер. Симметриялық сөздер деп сол және оң жағынан бірдей оқылатын сөздерді білеміз. Мұндай сөздер палиндромдар деп аталады. Палиндром- грек тіліндегі «palindromos»-«кері жүруші немесе артқа жүгіру», яғни екі бағытта бірдей оқылып, мағына беретін сөз не мәтін, сан. Айталық, қазақ тілінде «қазақ», «керек», «тағат», «кебек», «қабақ»- сөз болса, ал сандардың тіпті шегі жоқ: 565, 505, 23732, т.с.с. Әлемде қолданылатын ең ұзын палиндром сөзі-фин тілінде «saippuakauppias»-«сабын сатушысы» деген сөз. Орыс тіліндегі әзірге табылған ең ұзақ палиндром сөз- «наворован» болса, фин тілінде екеу: біріншісі жоғарыда айтылған сөз, екіншісі «solutomaattimittaamotulos» сөзі 25 әріптен тұрады. Мына қызықты қараңыз. Қазіргі өмір сүріп жатқан ұрпаққа бір емес екі палиндром жылда өмір сүру сәті бұйырды: 1991 жыл және 2002 жыл. Себебі өтіп кеткен палиндром жыл 1881 жыл, әрине бұл жылы біздің ата-бабаларымыз өмір сүрді, ал болашақ палиндром жыл -2112 жыл, бұл жылы біздің ұрпақтарымыз өмір сүреді. Репьюниттер – тек қана бірліктерден яғни 1 цифрынан тұратын сандар. Репьюниттердің көбейткенде нәтижесінде палиндромдар –сандар шығады. (Солдан оңға қарай да, оңнан солға қарай да оқығанда бірдей сан шығады) Мысалы: 11∙11=121; 11∙111=1221; 1111∙11=12221; 1112=12321; (Палиндром-сандар мен репьюниттер туралы жеке ғылыми жұмыс жазуға болады) Жоғарыда қарастырғанымыздай натурал сандар жиынын біз біле білмейтін қасиеттері бар екенін көрдік. Ұлы кемеңгер Пифагор, Евклид сияқты математиктеріміз ертеден осы қасиеттерді зерттеумен айналысқан. Болашақта «кемел сандарды», «достас сандарды»,«егіз сандарды», «палиндром сандар», «репьюнит сандарды» ЭЕМ-дың көмегімен қалай табуға болады деген сұрақпен жұмыс жасамақпын. Бұл жоба жалғасын табады деген ойдамын. ІІІ. Зерттеу қорытындысы Әр түрлі дереккөздерден біздер таңғажайып натурал сандармен: кемел сандар, достас сандар,егіз сандар, палиндром мен репьюниттер туралы таныстық. Бұлардың палиндромдардан басқасы өздерінің қасиеттерімен жай сандарға қарыздар немесе борышты деп айтуға болады. Зерттеу нысаны кемел сан мен достас сандар болды. Жұмысты орындау барысында 220 мен 284, 1184 пен 1210, 2620 мен 2924 сандарының достас сандар екенін, ал 6, 28, 496, 8128, 33550336 сандарының кемел сандар екені дәлелденді. Бұл сандардың бөлгіштерін табу арқылы біз оларды жай көбейткіштерге жіктедік. Біздің жұмысымыздың қорытындысы, егер жай сандарды барлық натурал сандар тұрғызылатын «кірпіштер» десек, онда оларды «қалау» арқылы таңғажайып «сандар қамалын» алуға болатынын көрсетті. Қазақ халқының ұлағатты ұлттық ұғымдарының танымдық-тағылымдық мән-жайы мен мағынасы аса терең.Әрбір ұғымдық сөздің астарында қазақ халқының даму тарихы, дүние танымы мен тағылымы жатыр. Сол себептен, ұғымдар да қазақ халқының төл ұлттық рухани құндылықтарына тән. Ұсыныс. 5-сынып математикасында мен айтқан достас сандар, егіз сандар, палиндром мен репьюниттер туралы оқылмайды. Сондықтан бұл ғажайып сандардың сыры туралы оқулыққа енгізілсе, ең болмағанда оқулықтың тарихи мағұлматтар бөлімін түсінік берілсе екен деп ойлаймын.І. Кіріспе Ежелгі гректер а р и ф м е т и ка деп натурал сандардың қасиеттері жөніндегі ғылымды атайтын ( «аритмос» - сан деген сөзден шыққан ). Карл Гаусс математиканың сан салаларын сарапқа сала келіп арифметиканы математика патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы – сан. Ендеше, сол сан ұғымының қалай пайда болуын ашу, білу – ғылыми методогиялық үлкен проблема. 19 ғасырға дейін математика тарихы жөнінде қалам таратушы авторлардың көбісі сандар мен сандарға амал қолдану әрекетін құдайлар немесе кемеңгер философтар шығарған деп түсіндіріп келеді. Өткен ғасырдағы ең мықты алгебрашылардың бірі Кронекер « бүтін сандарды құдай жасады, қалған дүниені адам жасады » , - дегені мәлім. Ескі аңыздарда сандарды біресе Пифагор, біресе Прометей немесе басқа да бір пайғамбар шығарыпты – мыс деген тұжырымдар көп ұшырасады. Бұлардың барлығы, әрине, ғылыми шындыққа келмейтін жалаң қорытындылар. Шындығында, арифметиканың өзі айрықша ғылым болып бертінде қалыптасқанмен оның басты ұғымы - сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды білмеген заманда пайда болған. Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет еткен. Әлемді сандарсыз елестетуге бола ма? Сандар түсінігінің пайда болуының өзі – адамзат ақыл-ойының жарқын жемісі. Шынымен де, сандар көмегімен өлшейді, салыстырады, есептейді, ал тағы сурет салады, сызба жасайды, ойнайды, тұжырымдайды, қорытынды жасайды. Сан — математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Қарапайым түрде алғашқы қоғамдарда-ақ пайда болған, кейін бірте-бірте қолданыс аясы кеңейіп әрі жалпыланды. Кейбір заттарды санауға байланысты бүтін оң (натурал) сандар ұғымы, кейіннен сандардың натурал қатарының (1, 2, 3, 4, …) шексіздігі туралы идея пайда болды. Сан ұғымының алғашқы кеңеюі — натурал сандарға бөлшек сандардың қосылуы болды. Ол ұзындықты өлшеу, ауданды табу, сондай-ақ, атаулы шамалардың үлесін бөліп шығару қажеттілігіне байланысты қолданысқа енгізілді. Теріс сандар арифметикалық есептерді шешудің жалпы тәсілдерін беретін алгебраның ғылым ретінде дамуына байланысты шықты. Бүтін, бөлшек (оң және теріс) және нөл сандары рационал сан деп аталды. Айнымалы шамалардың шексіз өзгеруін зерттеу үшін сан ұғымы кеңейтіліп, нақты сандар жиынтығы пайда болды. Шамалардың қатынасын өрнектеу қажеттігі иррационал сандар ұғымын енгізуге себепші болды. ХҮІ ғасырда квадрат және куб теңдеулерді шешуге байланысты жорамал сандар ұғымы енгізілді. Пайда болу уақыты бойынша ең ежелгісі-натурал сандар. Натурал сандар нәрселерді санауда қолданады. Бастауыш сыныпта біз тақ және жұп сандармен таныстық, ал 5 сыныптың математика сабағында жай және құрама сандар пайда болады. Сонымен қатар натурал сандардың арасында кемел сандар, достас сандар, палиндромдар тағы басқа сандар түрі болады екен, бірақ біздер ол туралы мектепте оқымайды екенбіз. Ең бірінші жай сандардан бастайық. Егер жай сандарды барлық натурал сандар тұрғызылатын «кірпіштер» десек, онда оларды «қалау» арқылы таңғажайып «сандар қамалын» алуға болады. Нәрселерді санауда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады. Біз мектеп математикасы курсынан натурал сандардың жұп және тақ, жай және құрама болып бөлінетіндігін білеміз. «Кемел сан», «достас сан», «егіз сан», «жай сан», «құрама сан», «жұп сан», «тақ сан» т.с.с. сан аталымдары ғылымға Пифагордың зерттеулері мен сабақтары арқылы біздің заманымыздан бұрынғы 6-5 ғасырлардан бері қарай кеңінен ене бастаған. Ал «кемел сан», «достас сан» деген қандай сандар? Жай және құрама сандармен қандай байланыста? Бұл сұрақтарға жауап беру үшін санның бүлгіштері ұғымын, жай және құрама сандарды жақсы білу шарт. Санның бүлгіштері, 2-ге, 3-ке, 9-ға, 5-ке, 10-ға бүлінгіштік белгілері, құрама сандарды жай көбейткіштерге жіктеу, жұп және тақ сан ұғымдары бізге таныс болғанымен жұмыста қарастырдым. Мектеп математикасы курсынан білетініміздей, жай сан дегеніміз тек 1 мен өзіне ғана бөлінетін натурал санды айтамыз. Жай сандар жиынындағы есептерді шешу мәселелерімен Евклид, Эратосфен (1821-1894); академик Х.Гольдбах (1690-1764); академик И.М.Виоградов (1891-1983) сияқты кемеңгер математиктер кеңінен айналысып, ғылыми жемісті табыстарға жеткен. Жұп және тақ сандар жай сандармен қандай байланыста? Бұл сұраққа жауапты келесі есептерден табамыз. Гольдбах проблемасы. 5-тен үлкен кез-келген n натурал сан үш жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 9=2+2+5; 28=11+13+3; 85=79+3+3; т.с.с. Эйлер проблемасы. 1) 2-ден артық кез-келген жұп сан екі жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 4=2+2; 16=13+3; 84=79+5; т.с.с. 2) 5-тен артық кез-келген тақ сан үш жай санның қосындысынан тқрады. Мысалы, 7=2+2+3; 17=11+3+3; 85=79+3+3; т.с.с. ІІ. Негізгі бөлім Зерттеу нысаны – натурал сандар және олардың сыры. Жұмыстың мақсаты: таңғажайып сандармен танысу және жай сандардың қасиеттері арқылы олардың ролін арттыру. Бұл жай сандар деген соншалықты «жай ма»? Әр түрлі екі бөлгіші бар сандар жай сандар деп аталады. Ғалымдар ерте кездерден бастап-ақ жай сандарды зерттеген. Жай сан ұғымын біз заманымыздан бұрыңғы IV ғасырда ежелгі грек ғалымы Пифагор енгізген. Біздің заманымыздан бұрыңғы III ғасырда өмір сүрген грек математигі Евклид жай сандардың шексіз көп екендігін, ең үлкен жай санды атап көрсету мүмкін болмайтынын дәлелдеген. Евклидтен біршама кейінірек Александрияда өмір сүрген ежелгі грек математигі Эратосфен жай сандардың кестесін жасауға арналған өзінің тәсілін ұсынды. Эратосфен балауыздан жасалған тақтайшада натурал сандар кестесін жасап, одан құрама сандарды алып тастап отырған. Сонда алғашқы кесте елек тәрізденіп, онда тек қана жай сандар қалған. Сондықтан оны Эратосфен елегі деп атаған. Жай сандардың кестесін даярлаудағы Эратосфен тәсілін үйренейік. Алдымен 2 санынан бастап барлық натурал сандар жазылады. Мысалы, 2-ден 40-қа дейінгі барлық натурал сандарды тізіп жазайық. Бірінші ретте- 2-санынан басқа, 2-ге еселік сандардың барлығын сызып тастаймыз. Кестеде 2 санынан кейін 3 саны қалады. Екінші ретте – 3 санынан басқа 3- ке еселік сандардың барлығын сызып тастаймыз. Нәтижесінде 2 және 3 сандарынан басқа кестеде қалған сандар 2-ге де, 3-ке де бөлінбейді ( еселік емес). Кестеде 2 және 3 сандарынан кейін 5 саны қалады. Үшінші ретте – 5 санынан басқа 5-ке еселік сандардың барлығын сызып тастаймыз. Сонда кестеде 40-тан кіші жай сандар ғана қалады. Демек, 40-тан кіші жай сандар кестесін жасадық: 1. Мысалы, 5=1∙5, 29=1∙29, 37=1∙37 және т.б. Ең кіші жай сан – 2. Бұл жалғыз ғана жұп жай сан.Бұны біз 5-сыныпта «Натурал сандардың бөлінгіштігі» деген тақырыпта өткенбіз. Мектеп математикасы курсынан білетініміздей, жай сан дегеніміз тек 1 мен өзіне ғана бөлінетін натурал сан. Ал құрама сан деп бөлгіштерінің саны екеуден артық болатын натурал санды айтамыз. Жай сандар жиынындағы есептерді шешу мәселелерімен Евклид, Эратосфен (1821-1894); академик Х.Гольдбах (1690-1764); академик И.М.Виноградов (1891-1983) сияқты кемеңгер математиктер кеңінен айналысып, ғылыми жемісті табыстарға жеткен. Жұп және тақ сандар жай сандармен қандай байланыста? Бұл сұраққа жауапты келесі есептерден табамыз. Гольдбах проблемасы . 5-тен үлкен кез-келген n натурал сан үш жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 9= 2+2+5; 28=11+13+3; 85=79+3+3; т.с.с. Эйлер проблемасы. 1) 2-ден артық кез-келген жұп сан екі жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 4=2+2; 16=13+3; 84=79+5; т.с.с. Кішігірім зерттеу жүргізейік. Натурал сандарды екі жай санның көбейтіндісі күйінде қарастырайық, Мысалы: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 және т. б. Енді математикадағы жай сандардың ролін жеңіл түсіндіруге болады: олар көбейтудің көмегімен қалған басқа барлық сандар тұрғызылатын сол «кірпіштер» екен. Барлық жай сандарды санауға бола ма? Ертеде-ақ ежелгі грек математигі Евклид ең үлкен жай санның табылмайтынын тұжырымдаған. Барлық қалған сандарды оқып-үйренуде жай сан маңызды роль атқаратын болса, олардың тізімін жасау керек қой! Әрине, ең үлкен жай санның жоқ екенін білгеннен кейін, барлық жай санның тізімін жасауға үміттенуге болмайды. Бірақ 1000-ға дейінгі жай сандардың тізімін жасауға болатын шығар. Бұл жөнінде, яғни жалпы жай сандардың тізімін қалай жасау керектігі туралы біздің жыл санауымызға дейінгі ІІІ ғасырда өмір сүрген александриялық ғалым Эратосфен ойға қалды. Эратосфен өте жан-жақты адам болды: ол сандар теориясымен де, жұлдыздарды зерттеумен де айналысты. Бірақ оның есімі ғылымда жай сандарды іздеу әдісімен мәңгіге қалды. Ол математикамен қатар астрономия, география, тарихты да жақсы білген. Сол кездегі белгілі әлем картасы мен аспан денелерінің картасын жасаған, сондай-ақ кібісе (високосный) жылды еңгізудің қажеттілігін негіздеген. Оның негізгі жетістігі – Жердің көлемін адамдар оның шар тәріздес екенін білгенге дейін есептеп шығаруы. Эратосфен жай сандардың кестесін жасауға арналған өзінің тәсілін ұсынды. Эратосфен балауыздан жасалған тақтайшада натурал сандарды алып тастап отырған. Сонда алғашқы кесте елек тәрізденіп, онда тек қана жай сандар қалған. Сондықтан оны Эратосфен елегі деп атаған. "Ақырғы,ең үлкен жай сан бар ма?" деген сұрақ туады. Ежелгі грек математигі Евклид(б.д.д.3 ғ) екі мың жыл бойы математиканың негізгі оқулығы болып келген өзінің "Бастамалар" атты кітабында жай сандар ақырсыз көп екенін,яғни әрбір жай саннан кейін одан үлкен жай сан бар болатынын дәлелдеді. Жай санадарды іздестіру үшін сол кездегі гректің басқа математигі-Эратосфен мынадай тәсіл ойлап тапты.Ол 1-ден бастап қандай да бір санға дейінгі барлық сандарды жазды, содан кейін жай сан да, құрама сан да болмайтын 1-ді сызып тастады, содан соң 2-ден кейінгі әрбір бір саннан кейінгі сандарды (2-ге еселі сандар, яғни 4,6,8және т.с.с.) сызды.2-ден кейінгі қалған біріші сан 3 болды. Әрі қарай 3-тен кейінгі әрбір екі саннан кейін тұрған сан (3-ке еселі сандар, яғни 6,9,12 және т.с.с)сызылды. Ең ақырында сызылмай тек жай сандар ғана қалды.Кесте №1 Сонымен, бірінші жай сан – 2. Оны қалдыра отырып, екіге еселік болатын сандарды сызып тастаймыз. Келесі жай сан – 3. Оны қалдырып үшке еселік сандарды сызамыз және т.с.с. Нәтижесінде жай сандар тізбесін аламыз. Жай сандарды өте ұзақ еңбекті қажет ететін есептеулер арқылы алуға болады. Жақында 25692 цифрдан тұратын жай сан табылды! Оның жай сан екенін дәлелдеу үшін тез әрекет ететін компьютердің өзіне бірнеше апта қажет болды. Көріп отырғанымыздай, жай сандарды оңай табу мүмкін болмағандықтан, оларды құпия шифрлар үшін қолданатын болды, ал біз жай сандарды басқа таңғажайып сандарды табу үшін қолданатын боламыз. 2.Енді кемел сан деген қандай сан? Пифагор және оның шәкірттері сандардың бөлінгіштігі туралы мәселелерді зерттеді. Натурал санның бөлгіші деп берілген сан қалдықсыз бөлінетін санды айтатыны белгілі. п натурал санның өзінен басқа бөлгіштерінің қосындысы п натурал санның өзіне тең болса, онда п саны кемел сан деп аталады Қазірге дейін мынандай сұрақтардың жауабы табылмаған: 1) Ең үлкен кемел сан бар ма? 2) Тақ сандардың ішінде кемел сан бар ма? Ежелгі Грецияның математиктері VI ғ. алғашқы кемел сан ретінде «6» санын таныды. Тіпті шақырылған қонақта 6-орында ең құрметті қонақ отырған. 6 санының бөлгіштері 1, 2, 3 және 6-ның өзі. Егер 6-дан басқа бөлгіштерді 1 + 2 + 3 қоссақ, онда біз 6 санын аламыз. Сондықтан, 6 саны алғашқы кемел сан болып табылады. Ертеден белгілі келесі кемел сан "28". Шынымен де, 28 санының бөлгіштері 1, 2, 4, 7, 14сандары. 1+2+4+7+14=28. Ежелгі грек математигі Евклидке дейін тек қана осы екі кемел сан белгілі болды және ешкім де басқа кемел сандардың бар екенін, тіпті қанша болуы мүмкін екенін де білмеді. Евклид тағы екі кемел санды таба алды: 496 и 8128. Бір жарым мың жылға жуық адамдар тек қана осы төрт санды білді.Бесінші кемел сан ХV ғасырда белгілі болған – 33550336 саны. 1983 жыл қарсаңында 27 кемел сан белгілі болды. Бірақ қазірге дейін тақ кемел сандардың, ең үлкен кемел санының бар екені белгісіз. Әлемде кемел сандар сирек кездеседі. Қазіргі кезде 30-дан астам ғана кемел сан табылған. Кемел сандар мынандай қасиеттерге ие: - Барлық кемел сандар үшбұрышты. Бұл дегеніміз, кемел санды шарларды алсақ, олардан әрқашан да тең қабырғалы үшбұрыштарды құрастыруға болады деген сөз. - Кемел сандардың өзін қоса алғандағы бөлгіштеріне кері сандардың қосындысы әр уақытта 2-ге тең болады. ^ Евклид теоремасы. жай сан болса, онда кемел сан болады. Евклид ережесі. Егер де және - жай сан болса, онда мына қалыптама бүкіл жұп кемел сандар жиынын түгелдей өрнектейді. Осы Евклид ережесіне сүйене отырып, жай сандарға сәйкес келетін кемел сандар тізбесін тауып көрейік. Кесте №2 2 2 3 6 3 4 7 28 5 16 31 496 7 64 Евклид ережесіндегі формуласы арқылы табылатын натурал сандар Марсенн сандары деп аталады. Бұл сандарды алғаш француз математигі Марен Марсенн (1588-1648) ашқан. Марсенн сандарына қатысты мынадай есеп қарастырдым: санының құрмалас болғанда құрмалас, ал жай сан болғанда жай болатынын 1 мен 20 сандары арасында тексердім. Қазіргі уақытта кемел сандарды электронды есептеуіш машиналардың көмегімен есептеп табуға болады. 3. Кемел сандар ұғымымен қатар Пифагор достас сандар ұғымын енгізіп, оны шәкірттері мен ізбасарларына кеңінен уағыздаған. Егер бір натурал санның өзінен басқа бөлгіштерінің қосындысы екінші натурал санға тең болса немесе керісінше болса, онда мұндай екі натурал сан достас сандар деп аталады. Егер А санының барлық бөлгіштерінің (өзінен басқа) қосындысы екінші В санына, ал В санының барлық мүмкін бөлгіштерінің (өзінен басқа) қосындысы А санына тең болса, онда А және В қос санды достас сандар деп атайды. Мысалы, А= 284 саны үшін 1, 2, 4, 71, 142 сандары, ал В= 220 санына 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 сандары бөлгіштер болады. Сонымен қатар мынадай теңдіктердің тура болатынына көз жеткізе аламыз 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142. Демек, (284, 220) қос сандары Пифагор анықтамасы бойынша достас сандар болып табылады. Достас сандар теориясын жасауда Орта Шығыс және Таяу Шығыс елдерінің математиктері тамаша табыстарға жетеді. Солардың ішінде Бағдат қаласында ұзақ жылдар бойы ұстаздық қызмет атқарған араб математигі Корраұлы Сабит (860-901 жж.) және ғылыми өмірінің көбі Самарқанд қаласындағы Ұлықбек обсерваториясында өткен ұлы математик Жәмшид Ғияседдин әл-Каши (1430 жылы қайтыс болған). Академик Эйлер достас сандардың 60 қостасын табады. Бельгия математигі Поль Пуле 1929 жылы «Сан аулау саясаты» деп аталатын екі томдық еңбек жазып қалдырды. Сол еңбегінде ол өзі ашқан 62 достас сандар қостасын келтіреді. Достас сандарды анықтау үшін Корраұлы Сабиттің, Масудұлы әл-Кашидің достас сандар қатары туралы теоремалары мен қағидаларынан хабардар болу керек. Сабиттің теоремасы. Егер үш санның бәрі жай сандар болса, онда және сандары достас сандар болады. әл-Каши ережесі. Егер және сандары жай сандар болса, онда және сандары достас сандар болады. Достас сандар саясаты соңғы кезде электронды есептеуіш машиналардың қызметінде кеңінен жұмсала бастады. Осы сандарға алғаш назар аударған ежелгі грек ойшылы Самостық Пифагор (б.з.б. 570 - 500) болған. Сондықтан бұл сандар Пифагордың жұп сандары деп аталған. IX ғасырда өмір сүрген араб математигі ибн Курра Сабит (836 - 901) достас сандарды анықтауға арналған тәсіл тапқан. Күні бүгінге дейін достас сандар жиынтығы 1000 жұптан асты, оның ішінде тіпті 25 таңбалы достас сандар жұбы бар. Бұл жиынтықтың 13 жұбы 1 мен 100000-ның арасында орналасқан. Кесте № 3 1 жұп 8 жұп 220 және 284 17296 және 18416 2 жұп 9 жұп 1184 және 1210 63020 және 76084 3 жұп 10 жұп 2620 және 2924 66928 және 66992 4 жұп 11 жұп 5020 және 5564 67095 және 71145 5 жұп 12 жұп 6232 және 6362 69615 және 87633 6 жұп 13 жұп 10744 және 10856 79750 және 88730 7 жұп 12285 және 14595 4. Қатар тұрған екі жай санның айырмасы екіге тең болса, ондай сандарды ғалымдар егіз сандар деп атады. Ежелгі грек математиктерін,сондай-ақ ежелгі үнді математиктерін де қайсыбір геометриялық фигуралар- үшбұрыштар, квадраттар және т.б. түрінде орналасқан нүктелердің санына сәйкес келетін сандар қызықтырды. Мұндай сандарды фигуралық сандар деп атады.Мысалы 10 санын үшбұрыштық сан, 16 санын квадраттық сан деп атады. Натурал сандарды 2-ден бастап 6 бағанға орналастырамыз. Жай сандарды табу үшін сүзіп алатын Эратосфен «торының» бір моделін аламыз. Дөңгелекпен қоршалғандардың бәрі-жай сандар. Құрама сандардың үсті сызылған. 5-тен басталатын барлық жай сандар тек қана екі бағанда: 4 пен 6-шы бағанда. 4-ші және 6-шы бағандардың қайсыбір жолында екі жай сан кездессе, онда бұл жай сандар «егіз» сандар жұбы деп аталады: (5;7), (11;13), (17;19), (29;31), (41;43) және т.с.с. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 Кесте №4 Жоғарыда қарастырғанымыздай натурал сандар жиынының біз біле білмейтін қасиеттері бар екенін көрдік. Ұлы кемеңгер Пифагор, Евклид сияқты математиктеріміз ертеден осы қасиеттерді зерттеумен айналысқан. Тетелес жай сандардың шектеусіз тізбегі, яғни 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,,,,,,, тізбегі жөнінде бірқатар сұрақ туады. Олардың кейбіреуіне ғана оңай жауап беруге болады. Мәселен, ең кіші жай сандар 2 мен 3, олар тетелес натурал сандар болып табылады. Екеуі де жай сандар болатын басқа да тетелес натурал сандар бар ма деген сұрақ туады. Дегенмен екеуі де жай сандар болатын көптеген тетелес тақ сандар пары бар. Мәселен,жаңағы 3 пен 5, 5пен 7, 11 мен13,17 мен 19,29 бен31, 41мен 43 парлары.30миллионға дейінгі сандар ішінде осындай 152892 пар сандар бар. Егіз сандарға арналған: Гильбрайт болжамы 1958 жылы Н.Л.Гильбрайт мынадай болжам айтты: Егер бір тетелес жай сандарды тізіп жазсақ, сонан соң бірінші жолға- тетелес сандардың айырмаларын, екінші жолға- бірінші жолдағы тетелес сандардың айырмаларының абсолют шамаларын жазсақ т.т , онда әр жолдың алғашқы саны 1 саны болады. Сөйтіп мәселен, алғашқы 17 жол мынадай болады 2,3,5,7,11,13,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 6 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 4 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 4 1 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 1 0 2 0 2 0 2 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 2 2 1 0 2 0 1 2 2 1 0 1 5.Тағы бір қызық сандар-палиндромдар мен репьюниттер. Симметриялық сөздер деп сол және оң жағынан бірдей оқылатын сөздерді білеміз. Мұндай сөздер палиндромдар деп аталады. Палиндром- грек тіліндегі «palindromos»-«кері жүруші немесе артқа жүгіру», яғни екі бағытта бірдей оқылып, мағына беретін сөз не мәтін, сан. Айталық, қазақ тілінде «қазақ», «керек», «тағат», «кебек», «қабақ»- сөз болса, ал сандардың тіпті шегі жоқ: 565, 505, 23732, т.с.с. Әлемде қолданылатын ең ұзын палиндром сөзі-фин тілінде «saippuakauppias»-«сабын сатушысы» деген сөз. Орыс тіліндегі әзірге табылған ең ұзақ палиндром сөз- «наворован» болса, фин тілінде екеу: біріншісі жоғарыда айтылған сөз, екіншісі «solutomaattimittaamotulos» сөзі 25 әріптен тұрады. Мына қызықты қараңыз. Қазіргі өмір сүріп жатқан ұрпаққа бір емес екі палиндром жылда өмір сүру сәті бұйырды: 1991 жыл және 2002 жыл. Себебі өтіп кеткен палиндром жыл 1881 жыл, әрине бұл жылы біздің ата-бабаларымыз өмір сүрді, ал болашақ палиндром жыл -2112 жыл, бұл жылы біздің ұрпақтарымыз өмір сүреді. Репьюниттер – тек қана бірліктерден яғни 1 цифрынан тұратын сандар. Репьюниттердің көбейткенде нәтижесінде палиндромдар –сандар шығады. (Солдан оңға қарай да, оңнан солға қарай да оқығанда бірдей сан шығады) Мысалы: 11∙11=121; 11∙111=1221; 1111∙11=12221; 1112=12321; (Палиндром-сандар мен репьюниттер туралы жеке ғылыми жұмыс жазуға болады) Жоғарыда қарастырғанымыздай натурал сандар жиынын біз біле білмейтін қасиеттері бар екенін көрдік. Ұлы кемеңгер Пифагор, Евклид сияқты математиктеріміз ертеден осы қасиеттерді зерттеумен айналысқан. Болашақта «кемел сандарды», «достас сандарды»,«егіз сандарды», «палиндром сандар», «репьюнит сандарды» ЭЕМ-дың көмегімен қалай табуға болады деген сұрақпен жұмыс жасамақпын. Бұл жоба жалғасын табады деген ойдамын. ІІІ. Зерттеу қорытындысы Әр түрлі дереккөздерден біздер таңғажайып натурал сандармен: кемел сандар, достас сандар,егіз сандар, палиндром мен репьюниттер туралы таныстық. Бұлардың палиндромдардан басқасы өздерінің қасиеттерімен жай сандарға қарыздар немесе борышты деп айтуға болады. Зерттеу нысаны кемел сан мен достас сандар болды. Жұмысты орындау барысында 220 мен 284, 1184 пен 1210, 2620 мен 2924 сандарының достас сандар екенін, ал 6, 28, 496, 8128, 33550336 сандарының кемел сандар екені дәлелденді. Бұл сандардың бөлгіштерін табу арқылы біз оларды жай көбейткіштерге жіктедік. Біздің жұмысымыздың қорытындысы, егер жай сандарды барлық натурал сандар тұрғызылатын «кірпіштер» десек, онда оларды «қалау» арқылы таңғажайып «сандар қамалын» алуға болатынын көрсетті. Қазақ халқының ұлағатты ұлттық ұғымдарының танымдық-тағылымдық мән-жайы мен мағынасы аса терең.Әрбір ұғымдық сөздің астарында қазақ халқының даму тарихы, дүние танымы мен тағылымы жатыр. Сол себептен, ұғымдар да қазақ халқының төл ұлттық рухани құндылықтарына тән. Ұсыныс. 5-сынып математикасында мен айтқан достас сандар, егіз сандар, палиндром мен репьюниттер туралы оқылмайды. Сондықтан бұл ғажайып сандардың сыры туралы оқулыққа енгізілсе, ең болмағанда оқулықтың тарихи мағұлматтар бөлімін түсінік берілсе екен деп ойлаймын.