Презентация "Подготовка к ЕГЭ по математике 2017" (Решение заданий №13)

Подготовка к ЕГЭ 2017 по математике Решение задания №13

Способы отбора корней в  тригонометрических уравнениях Арифметический Геометрический Алгебраический Функционально- графический

Арифметический способ перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

Найдите все корни уравнения                          принадлежащие промежутку  cos , x x  2sin   3  ; .  4   ; x  x )1 0 ; x  cos 2sin  sin2( x cos   x cos ,0  1  sin  2 x cos 0    ; Znn 2 )1 x   x ;   , Если n=0,то   x  2 2 Если n=1,то   3 x  2 Если n=-1,то   x   ,  2 3   , 2 2   3  . ;  4   3  . ;  4   3  . ;  4 . Если n=-2,то     3 3  x ; .   2 4 3 2   ,

sin)2 x  6 x  x   11 6    , , 1 2 или  2 n Если n=­1, то     11 3   6 4 Если n=0, то  ; x   5 6  ,2 Znn  . или x   7 7 6 6   ,    ;   3  4 . x x   6 6   ,    ;   3  4 или   13 6 13 6   , Если n=1, то    3   4  ; x   5 5 6 6   ,    ;   3  4 . или x   17 6 17 6   ,    ;   3  4 . Ответ :   2 6 2 , , .

Алгебраический способ а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней; б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

Решить   уравнение  : cos 5sin 7 x x 1  .0 7 cos x x 5sin cos 7 x x 5sin  ;0 1  ,0  ;01          7 x 5 x    2  2  Znn ,  ,  ,2 Zkk  ; x x        n 14 7    ,  n 14 7  2 k 5 10   k 2 10 5   Zn  , , Zk  ;  ; kn ,  Z ; 1 14 n 7  1 10 2 k 5 , ; Zkn  ;

Найдём все «неподходящие» n.   ; , , , ; Zkn 2 k 5  Zknk ; ;28  Zknk ;28  14 ; ; Zknk 14 k 5  k 5 , Zkn , Zkn  1 ;  ; , ; ; ; 1 n 14 7  5 n 10 n 10 5 n n 1 10  7  2  1  1  n  2 k 4

4 k   ; 1  k  a 5 5  1  a 4  a a a­ 1  4 ;t   k 1 4 ; n   , Zk Za   , .  2 k 1 4  k 5 ; , Zkn  ; k  5   t ;1   Za ,  Zt . n 14  t  3  ZnZt . , a 4  t ; 1 Все «неподходящие» n

Итак, 7 cos x x 5sin  n 14 7 х   ;0 1  , Zn  ; n  14 t ,3 t  Z. Ответ:  n   , Zn 14 7  ; n  14 t ,3 t  Z.

Решить уравнение 2 sin2 x  cos3 x  .03 Укажите корни,  принадлежащие отрезку  5;4 .

)cos1(2x;03           cos 3 x   2 ;03 x x 3 cos   ;01 3 cos x x   ;01 3 cos x x  ;03  3 cos x             2  22 cos  2 2 cos 2    cos 2 2 sin2 x

2    cos n=2 .4 ;313;,2,23:ZnnnОтвет x;1cos,21cosxx.,2,23Znnxnx  ;01      )3 x ,2 Znn     x )2 Znn  ,2    Znn )1 ,  2 x 3 3          4 Zn ,5 n 2        )1 ;4 x Zn 2 ,5 n ; 4   n   3 ; ,5 2 4 Zn 3 3 1  ,5 Zn 24 n ; 1  4 2 n Zn ,5  13  ; 2 ,5 Zn n 3  x .     5 3   , 2 ; Zn n 3 1 1 2 1 1   2 , n 4 5 Zn   n 2 , 5 ; Zn 3 3 1 3 3   ; 2 2 , Zn n 1 1 2 2 2   ; 2 5 n 4 , Zn   ; n Zn 2 , 4 3 3  .2 n 3 3 13 16 5 1   n , Zn   2 Zn  ; , n 6 6 6 3 1 2   n  2 n 2 .2 3 6  нет значений. .4x 13 3 cos , Zn   ; x 4 4 3 . ;  3 ; ; 1  ; 2 x .

Геометрический способ: а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим их отбором на заданном промежутке; б) изображение корней на координатной прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

135;4.4 ;313;,2;,23:ZkkZnnОтветВыполним отбор корней в  x.,2;,23ZkkxZnnx предыдущем уравнении по­ другому!  ;01 y 1 7  3 3 3 cos 2    cos   5 11 3 3 3 0рад 2 4 1  5 3 ­1 2  x 3 0  0,5

Решить уравнение 2sin2 sin4 cos  x x  x  .01 Укажите корни,  принадлежащие отрезку     5 7  2 2 ; .

x xxxcossin22sin;0)1 ;01 ;01    x   2sin2 x cos x x sin4 ;01      sin22 cos x x cos sin4 x x     x sin4 cos x cos x sin4 x    x )1 sin4( cos x sin4( x  sin4( (cos x )1 x )1 ;0   ,01 sin4 x общий   множитель  x cos ;01   1  4  ;1  общий  множитель  cos sin ,

;1cos,41sinxx.,2;,2)41arcsin(,2)41arcsin(ZkkxZnnxnx arcsin x 1 4  arcsin 0 1 4 y  2 1 4  -1 1 

27;25.,2;,241arcsin,241arcsinZkkxZnnxnx 2.3,41arcsin3xx2.3;41arcsin3.,2;,241arcsin,241arcsin:ZkkZnnnОтвет?  -1 1 4  arcsin 1 4 2 y 5 2 0 7 2 1 x 1 4  arcsin

Решить уравнение  sin2 cos sin x 2 x  x  3 cos 2 x  .0 Укажите корни,  принадлежащие отрезку     3  2 2 ; .

 уравнениеОднородное  Разделим на  cos x 3  ;03 3 2  , Znn sin x  cos x  tgx  2 x 2 2 tg  ,1 cos2x; cos2x≠0.   , Zkk  .  .0 arctg 3 2 2 x  ; ;           x  4  x sin2 tgx tgx 

.,)23(;,4ZkkarctgxZnnx23;22 arctg.23;45.,)23(;,4:arctgZkkarctgZnnОтвет 5 231 ?  arctg  3 2 1 x y 0  4 3 2 ­1,5  -1 4

3579110 Отбор корней на координатной прямой. cos x 2 x 3 общий   Наим.  Т 12   , kk 2    ,3 Znn : Ответ   6              период  cos Решение          x 2 x 3 sin    .6) Zтт  , x 2 x 3   ,4 ,       T (sin T (cos  . т ,  6    0. : ,0 ;0 общ  .  : х ) . sin x x Z

Функционально-графический способ выбор корней с использованием графика простейшей тригонометрической функции.

Решите уравнение  sin2 2sin x cos x x   sin2 x  1 2 2  ;0 sin2 x  cos x  sin2 x  cos x  sin2 x  1 2 2  ;0 (cos x   sin2() 2 2 sin2 x  1 x  )1  ;0 cos x  sin x  2 2 , ; 1 2 1 2 ; sin x                       x   ,2 Znn  ;  4  1 2 . sin x

y = sin x  3 2   2 y 1  2  7 6   4  4 0  6 −1 5 6 2  11 6   3 2 y=0,5 2 x Ответ :  4   ,2 Znn  .

Дано уравнение: а) Решите уравнение. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение: Тогда cos x = 0    или   sin x = 0,5

Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку Итак, первый корень: Решаем неравенство: Так число k целое, то    k1 = 2    k2 = 3 Находим корни, принадлежащие интервалу: Следующий корень:

Решаем неравенство: Для полученного неравенства целого числа k не существует. Следующий корень: Решаем неравенство:

Так как число k целое, то   k = 1. Находим корень принадлежащий интервалу: Ответ:

В презентации использовались  ресурсы: http://alexlarin.net/ege/2016/C12016.pdf 2. ЕГЭ-2016.Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под ред. А.Л. Семёнова, И.В.Ященко.-М.: Национальное образование, 2016. (ЕГЭ -2016. ФИПИ – школе).