Приложение линейной алгебры, 9 класс

Приложение линейной алгебры 9 класс, матем. профиль Волошина Н.Н., шг. № 5 Дидактическая цель: 1. обобщить и углубить знания учащихся о задачах линейной алгебры и их приложении: * системы линейных уравнений; * задачи аналитической геометрии (площадь треугольника, расположение точек и прямых на плоскости,  уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки) * модель Леонтьева (на примере 2­х отраслевой экономики) 2. развивать мышление учащихся: * анализировать, выделять главное; * обобщать и систематизировать факты; * ставить и разрешать проблемы Воспитательная цель: 1. продолжать повышать алгоритмическую культуру учащихся в процессе решения систем линейных уравнений по правилу Крамера и схеме Жордана­Гаусса, типового расчета модели Леонтьева; 2. продолжать показывать учащимся, что абстрактный характер математики является основной  причиной ее многочисленных приложений в других науках, технике, народном хозяйстве. Развивающая цель: создать проблемную ситуацию – применение линейной алгебры для задач  аналитической геометрии плоскости, теоретическую «гипотезу» подтвердить эмпирическим путем в  домашнем задании. Методы и формы обучения: 1. Учебно­познавательная деятельность: экспресс­диктант, дидактическая игра, элементы  модальности 2. Стимулирование и мотивация учащихся:  * эмоциональное – создание успеха; * познавательное – проблемная ситуация, побуждение к поиску альтернативных решений; * волевое – учебные требования, информация о результатах обучения, прогноз будущей деятельности; * социальное – демонстрация заинтересованности результатами своей работы и учащихся;       3.    Контроль – индивидуальный опрос, самоконтроль и анализ экспресс­диктанта       4.    Формы организации работы – индивидуальная, групповая       Основные ЗУН * знать: определения Дn, A,  A , Aт, A­1, Mij, Aij, r(A), формулы Крамера, матричный вид системы  линейных уравнений AX=B; * уметь: преобразовывать и решать определители и матрицы, применять элементы линейной алгебры в  задачах (решение систем линейных уравнений, задачи аналитической геометрии плоскости, модель  Леонтьева) Раздаточный материал: планшеты, карточки­задания Вид урока: комбинированный с использованием элементов дидактической игры Мотивация познавательной деятельности учащихся: будущим специалистам многих профессий  необходимо хорошо знать элементы теории систем линейных уравнений (механика – расчет фундамента,  колон и других сооружений, геодезия, метеорология, атомная физика, электротехника, теория  относительности и др.) Типовые расчеты используются при составлении и решении задач на ПК. План: 1. орг.момент, проверка домашнего задания 2. сообщение цели и темы урока, самоопределение 3. проверка ранее усвоенных знаний 4. восприятие и осмысливание знаний 5. обобщение и систематизация знаний 6. консультация домашнего задания 7. итог урока I. Орг.момент, проверка домашнего задания. № 1. r(A) r( A ), нет решения № 2. r(A) = r( A ), r n, бесконечное множество решений  На планшете показать ответы по №№, комментарий решения систем линейных уравнений , xx 1 2 , xx 3 4     базисные и свободные переменные № 3. r = r(A) = r( A ) = 3, ед.решение (1; 3; 2) II. Тема, цель, самоопределение. Завершая первоначальное знакомство с матрицами, нельзя не сказать о той роли, которую играет  алгебра матриц. Американский математик Ричард Беллман называл теорию матриц «арифметикой  высшей математики» Этапы развития теории матриц:  * упоминание впервые – сер.XIX в., работы ирлан. астронома и математика У. Гамильтона (1805­1865) * основы теории заложены во II пол. XIX в., нем. математики К.Вейерштрасс (1815­1897) и Фробениус  (1849­1917) * теория продолжает развиваться до сих пор, чему способствуют многочисленные и разнообразные  приложения матриц: ­ решение систем линейных уравнений; ­ задачи аналитической геометрии и векторной алгебры, механики, электротехники, геодезии,  метеорологии, теории относительности, атомной физики и др. ­ особенно широкое применение при моделировании экономических процессов: экстремальные  задачи экономики, один из таких разделов назвали линейным программированием (начало – 40­е гг.) * акад. Л.В.Канторович (1912­1986) – Нобелевская премия по экономике в 1975 г.; * амер. математик ван Данциг в 1958 г. разработал симплекс­метод в современной редакции; * В.В. Леонтьев родился в Петербурге в 1906 г., с 1925 г. живет за границей (последнее время – США) ­  Нобелевская премия за решение экономических задач в 1973 г.;       Математическая модель экономики – составление и исследование систем уравнений – сложная и  трудоемкая задача: 1. определение чисел aij  требует практического умения и экспериментального исследования 2. для хорошего описания сложной экономической системы приходится иметь дело с матрицами  очень большой размерности. Например, американская экономика использует матрицы 450 450 Поэтому и важно, чтобы специалисты понимали суть различных теорий, умели моделировать задачи и  выполнять сложные расчеты рационально. Вы – будущие специалисты! Конечно, компьютеры помогают решать различные задачи, но все программы создает человек.  Теперь представьте, что я – руководитель фирмы технических идей, имею вакансии различных  специальностей, а вы – хотите стать сотрудниками фирмы ….  Итак, «собеседование»: установим вашу компетентность …. III. IV. Проверка ранее усвоенных знаний – экспресс­диктант в домашних тетрадях, 10 вопросов Восприятие и осмысливание знаний ­  проверка – устно с комментарием, 2 правильных  ответа – 1 балл, оценки показать на планшетах. 1. пр. Саррюса 2. A  = 0 На доске: варианты ответов 3. M k  n 4. A    0 5. т. Лапласа 6. А* 7. пр. «столбики» ik ba 8. Пij =  n kj k 1 9. пр. Крамера Вопросы: 10. сх. Жордана­Гаусса 11. Aт 12. ann 13. r(A) = r( A ) 14. АХ = В 15. m n 16. нет ответа 1. Элементы главной диагонали определителя ­ 12  элементы с одинаковыми индексами, i = j 2. Способ вычисления определителя III­порядка ­ 1, 5, 7 «звездочка», разложение по строке (столбцу), «столбики» 3. Условие существования обратной матрицы ­ 4 невырожденная,  A    0 4. Способ нахождения обратной матрицы ­ 6, 10    через Аij : А­1  *1 A    и   (А/ε) 5. Способ определения ранга матрицы ­ 3, 10  и схема Жордана­Гаусса. (ступенчатый вид),    M k  n rank (A) = r(A) – наивысший порядок отличных от «0» миноров А (п.3), или r(A) – максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно  независимых столбцов (п. 10)  6. Правило умножения матриц ­ 8         1 k ­ всегда ли возможно А∙В ­ ?   В∙А ­ ? ­ выполняется ли переместительный закон произведения? ba kj ik П ij  n       ba kj ik  ab kj ik  ­ сумма произведений «строка на столбец»  7. Количество элементов прямоугольной матрицы ­ 15    m×n, если m = n, то  An – А квадратная матрица порядка n 8. Матрица, у которой строки и столбцы поменяли ролями ­ 11 АТ 9.  Матричная запись системы уравнений ­ 14      АХ = В 10. Формулы Крамера ­ 16    m = n,  ∆ ≠ 0, Х = А­1В или  i  x   X i   V. VI. Обобщение и систематизация знаний ­ № 5.2, 5.3 Консультация домашнего задания – «вывод» Менеджера Те ребята, которые получили «5» могут претендовать на должности менеджера и «психолог» Менеджер – распределяет функции сотрудников, консультирует, принимает решения. «Психолог» ­ создает условия для работы: консультирует, создает рабочие группы, координирует их  работу, помогает менеджеру. Двое учащихся на скорость определяют свой статус № 5.1. Восстановить решение (условие, выполненные преобразования ­ схема) системы уравнений: 1)     31 12 21        44 3 2 31                  ~ 1 0 0      3 5 1    4 10 3 4 5 1                ~ 1 0 0      3 1 5    4 3 10 4  1  5       r ( Ar )  ) ( Ar  3 , единственное решение  х3 = 0, х2 = 1, х1 = 1 Ответ: (1; 1; 0)              ~ 31 10 00         44 13 05      2)    23 32 41       1 1 3 2 3 2                ~ 41 32 23       3 1 1  2 3 2                   ~ 1 0 0      4  5  10 3 7 8    2 7 8                ~ 1 0 0       4 5 0  3 7 6   2 7 6       r ( Ar )  ) ( Ar  3 , единственное решение  х3  = ­1, х2 = 0, х1 = 1 Ответ: (1; 0; ­1) Итак, Менеджер ­ _____________________________________     «Психолог»     ­ _____________________________________ Поздравляю! Ваше первое задание: № 5.2. Даны точки: А(0; ­2), В(­5; 3), С(1; 4), Д(8; 2), Е(2; 0), F(­6; 1), K(4; ­3). Какие задачи можно  поставить при помощи линейной алгебры? (помочь по необходимости) «Психолог» проводит «мозговую атаку» ­ собирает «банк» данных «Менеджер» подводит итог: 1. можно определить расположение точек, – какие лежат на одной прямой 2. если точки не лежат на одной прямой, построить треугольники, найти их площади 3. составить различные уравнения прямых 4. узнать расположение прямых – пересекаются или нет. ­  «Фирма» выполняет исследование: I. трех точек 1) А, В, С     2) Д, Е, С      3) F, К, С II. трех прямых _____________________________       ­ делает вывод: III. результат и его подтверждение другим способом ­ Объявляю вакансию: «ст. тех. сотрудник» «Психолог» и Менеджер распределяют задачи… (Помочь по необходимости): ­ организовать 3 группы ­ выделить в производство прямые АВ, ДС и FК (С – общая точка) ­ решение показать на доске ­ «ст. тех. сотрудник» ­ «Психолог» выполняет п.II ­ Менеджер выполняет п.III ­ определить домашнее задание: вывод­консультацию Менеджера примем для домашнего  задания: произвести необходимые расчеты и построения.  По домашнему заданию две оценки: по геометрии и алгебре. № 5.3. Желательно решить в классе (можно – домашнее задание или второй урок).  Вакансия – экономист: __________________________________________   Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление I  увеличится в m­раз, а II – сохранится. №  вар. 14 № отрасли  производства 1 2 Потребление 2 1 150 270 200 60 Конечный  продукт Валовой  выпуск 250 160 600 500 Увеличение конечного  продукта m = 3 Сохр. Ответ Примечание 1508,3 1173,1       VII.          Итог урока.   1. Оценки, «согласовать» с учащимися 2. Определить, какой эпиграф подходит к данному уроку, к домашнему заданию. ­ объяснить, почему (кратко) 1. «На свете существует очень много наук, и все науки тесно связаны друг с другом. Нельзя  заниматься химией, не зная физики, биологией, не зная химии, геологией, не зная биологии…. Но  есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это – математика. Ее понятия,  представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие  науки….» (С.Л.Соболев) 2. «Никакое человеческое исследование не может назваться настоящим знанием, если оно не прошло через математические доказательства». (Леонардо да Винчи) 3. «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии». (Н.Е.Жуковский) 4. «… Радость видеть и понимать …» (А.Эйнштейн)  5. «Ошибочно думать, что строгость в доказательстве – враг простоты. Напротив, множеством  примеров подтверждается, что строгий метод в то же самое время проще, легче и доступнее.  Всякое усилие в сторону строгости направляет нас к отысканию простейших методов  доказательства». (Д.Гильберт) Увидел понял доказал воссоздал образ установил связи элементов Успех:    триад а Приложение: 1. Карточки для словаря 2. Карточки­задания 3. Карточки с цитатами Второй урок: Вариант заданий: 1. Модель Леонтьева по вариантам 2. Тесты  В словарь: Теория матриц – «арифметика высшей математики», амер. математик Ричард Беллман Этапы развития матриц: * упоминание впервые – сер.XIX в., работы ирланд. астронома и математика У. Гамильтона (1805­1865) * основы теории заложены во II пол. XIX в., нем. математики К.Вейерштрасс (1815­1897) и Фробениус  (1849­1917) * продолжает развиваться до сих пор Линейное программирование:  * акад. Л.В.Канторович (1912­1986) – Нобелевская премия по экономике в 1975 г.; * амер. математик Ван Данциг в 1958 г. разработал симплекс­метод в современной редакции; * В.В. Леонтьев (1906­…) ­ Нобелевская премия за решение экономических задач в 1973 г.; Амер. экономика использует матрицы 450 450 Задания: № 5.2. Даны точки: A (0; ­2),   B (­5; 3),   C (1; 4),   D (8; 2),   E (2; 0),   F (­6; 1),   K (4; ­3) Какие задачи можно поставить и решить при помощи линейной алгебры (матрицы, определители)? № 5.3. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное  потребление I увеличится в m­раз, а II – сохранится. №  вар. № отрасли  производства Потребление 1 2 Конечный  продукт Валовой  выпуск Ответ Примечание Увеличение конечного  продукта 14 1 2 150 270 200 60 250 160 600 500 m = 3 Сохран. Итог урока. Выбери цитату, которая больше подходит, как эпиграф: * к данному уроку ________ * к домашнему заданию ________ 1. «На свете существует очень много наук, и все науки тесно связаны друг с другом. Нельзя  заниматься химией, не зная физики, биологией, не зная химии, геологией, не зная биологии…. Но  есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это – математика. Ее понятия,  представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие  науки….» (С.Л.Соболев) 2. «Никакое человеческое исследование не может назваться настоящим знанием, если оно не прошло через математические доказательства». (Леонардо да Винчи) 3. «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии». (Н.Е.Жуковский) 4. «… Радость видеть и понимать …» (А.Эйнштейн)  5. «Ошибочно думать, что строгость в доказательстве – враг простоты. Напротив, множеством  примеров подтверждается, что строгий метод в то же самое время проще, легче и доступнее.  Всякое усилие в сторону строгости направляет нас к отысканию простейших методов  доказательства». (Д.Гильберт)