Проект по математике "Графики функций" (7 класс)

ФИЛИАЛ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ «СОШ №17» ­ МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СОШ №3» Г. КАРТАЛЫ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ КОНКУРС  УЧЕБНЫХ ПРОЕКТОВ ШКОЛЬНИКОВ Номинация:  «Математика» Тема проекта: «ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ» Автор проекта:  Гусев Алексей, 7 класс Научный руководитель проекта:  Зайцева Наталья Николаевна, учитель математики и информатики 2016­2017 учебный год ВВЕДЕНИЕ При решении неравенств и уравнений иногда приходится использовать функционально – графический метод. После решения нескольких таких  уравнений, я понял, что умения строить графики различных функций и знание их свойств является важным условием решения нестандартных уравнений и  неравенства.  Исследование посвящено проблеме совершенствования умений и навыков  построения графиков сложных функций. Актуальность этой проблемы  определяется тем, что нестандартные уравнения и неравенства часто решаются  функционально – графическим методом. В заданиях ЕГЭ имеются задания, при  решении которых используется функционально – графический метод, свойства  функций. Многие задачи с параметрами невозможно решить другим методом.  В пособиях для поступающих много заданий на построение графиков  функций.  На уроках математики мы много времени уделяем теме «Построение  графиков функций», меня заинтересовала эта тема и я решил изучить различные  методы построения графиков функций .  Построение графиков элементарных функций не составляет труда, в  школьном курсе математики они достаточно хорошо описаны. Я предположил:  если знаем свойства элементарных функций и умеем строить их графики, то  сможем построить и графики сложных функций. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Графики любых функций строят по точкам. Но если вид графика заранее  неизвестен, эти точки надо выбирать со смыслом — выделять особо важные  точки графика, которые определяют его вид.  Обрати внимание!  К особо важным точкам графика функции y=x относят:  — стационарные и критические точки;  — точки экстремума;  — точки пересечения графика с осью x ( нули функции) и с осью y;  — точки разрыва функции.  Если речь идет о построении графика незнакомой функции, когда заранее  невозможно представить вид графика, полезно применять определенную схему  исследования свойств функции, которая помогает составить представление о ее  графике. Когда такое представление сложится, можно приступать к построению  графика по точкам.  В курсе математического анализа разработана универсальная схема  исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая  строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны  упрощенные варианты указанной схемы.  1) Если функция y=x непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно  найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки  монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при  необходимости выбрать еще несколько контрольных точек.  2) Если функция y=x определена не на всей числовой прямой, то начинать  следует с нахождения области определения функции (если область не задана) и с указания ее точек разрыва.  3) Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной  или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси  y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала  построить только ветвь графика при x>0, а затем дорисовать симметричную  ветвь.  → 4) Еслиlimx ∞x=b , то, как известно, прямая y=b является горизонтальной  асимптотой графика функции y=x. Асимптоту следует строить на координатной  плоскости, она дает своеобразный ориентир для графика.  5) При условии: если x a, то y ∞ — прямая x=a является вертикальной  → → асимптотой графика функции y=x. Пример:  Построить график функции y=x2+1x2−1.  Решение 1. Введем обозначение: x=x2+1x2−1. Найдем область определения  функции. Она задается условиями x≠1,x≠−1. Итак, D=(−∞;−1)∪(−1;1)∪(1;+∞).  2. Исследуем функцию на чётность:  (−x)=(−x)2+1(−x)2−1=x2+1x2−1=x  Значит, заданная функция чётна, ее график симметричен относительно оси  ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика  при x≥0.  3. Найдём асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая x=1,  поскольку при этом значении x знаменатель дроби обращается в нуль, а  числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо  вычислить limx ∞x: → → → limx ∞x2+1x2−1=limx ∞x2x2+1x2x2x2−1x2=limx ∞1+1x21−1x2=1  Значит, y=1 — горизонтальная асимптота графика функции.  → 4. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и  промежутки монотонности функции:  ′ y =(x2+1x2−1) =(x2+1) ′ (x2+1)⋅2x(x2−1)2=−4x(x2−1)2.  ′⋅(x2−1)−(x2+1)⋅(x2−1) (x2−1)2=2x ′ ⋅(x2−1)− Производная существует всюду в области определения функции, значит,  критических точек у функции нет.  Стационарные точки найдем из соотношения y =0. Получаем: −4x=0, откуда  ′ находим, что x=0. При x<0 имеем:y >0 ; при x>0 имеем: y <0. Значит, x=0 —  точка максимума функции, причем ymax=0=02+102−1=−1.  ′ ′ При x>0 имеем: y <0; но следует учесть наличие точки разрыва x=1. Значит,  ′ вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке [0;1)  функция убывает, на промежутке (1;+∞) функция также убывает.  5. Составим таблицу значений функции у=x2+1x2−1 при x≥0: x y  0 0.5  2 3 4 −1 ­53 53 54 17 15 6. Отметив найденные точки на координатной плоскости, учтя при этом,  что(0;−1) — точка максимума, что y=1 —горизонтальная асимптота, что x=1 — вертикальная асимптота, построим ветви искомого графика при x≥0. Добавив  ветви, симметричные построенным относительно оси ординат, получим весь  график:  Графиком функции называется множество всех точек координатной прямой, абсциссы которых равны значениям аргумента, а  ординаты ­ соответствующим значениям функции.  график функции Пример: построим график функции y = x(6 ­ x) при ­1 ≤ x ≤ 5  Составим таблицу соответствий значений аргумента и функции:  x ­1 0 1 2 3 4 5  y ­7 0 5 8 9 8 5  Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в  таблице и соединим их плавной линией, получим график функции y = x(6 ­ x) при ­1 ≤ x  zada4i.ru›spravka/grafik­f  YouClever.org›book/funktsii­1  Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной  функции сводится к нахождению координат двух точек.  yaklass.ru›p/algebra/10­klass…postroenie­grafikov…  Чем больше мы отметим точек, принадлежащих графику, и чем плотнее они будут расположены, тем точнее будет построен график функции. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как  в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других  разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных  предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции  спроса, предложения и потребления..., в радиотехнике – функции управления и  функции отклика, в статистике – функции распределения... Чтобы облегчить  дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно  оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения  следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке "Преобразования графиков  функций".  Внимание: в течение учебного года доступ к интерактивным упражнениям  (по кнопке "К движению" графиков) ограничен. За месяц перед экзаменом  кнопка открывается для общего пользования без регистрации. Просьба ко всем,  кто в связи с этим столкнулся с какими­либо "глюками" или "багами", сообщать  мне подробности.  В школьном курсе математики изучаются следующие  элементарные функции.  Линейная y = kx график линейной функции ­ прямая линия Прямая Cамый  простой частный случай линейной зависимости ­ прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 ­ коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1,  т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную  зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.  Линейная y = kx + b график линейной функции ­ прямая линия Прямая  Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b ­ любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = ­1. Подробнее. К движению.  Квадратичная y = x2 график парабола Парабола Простейший случай  квадратичной зависимости ­ симметричная парабола с вершиной в начале  координат. Демо упражнения. Видео на YouTube  Квадратичная y = ax2 + bx + c график квадратичной функции ­ парабола  Парабола Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a ­  произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c ­ любые действительные числа. Подробнее. К движению.  Степенная y = x3 график кубическая парабола Кубическая парабола Самый  простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами  изучаются в разделе "Движение графиков функций". К движению.  Степенная y = x1/2 график функции ­ корень квадратный x График функции y = √x Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с  коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". К  движению √x. К движению 3√x.  Степенная y = k/x график обратной пропорциональности ­ гипербола  Гипербола Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x­1) ­  обратно­пропорциональная зависимость. Здесь k = 1.  Показательная y = ex экспонента Экспонента Экспоненциальной  зависимостью называют показательную функцию для основания e ­  иррационального числа примерно равного 2,7182818284590...  Показательная y = ax график показательной функции ­ экспонента График  показательной функции Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1.  Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример  для y = 2x (a = 2 > 1). К движению.  Показательная y = ax график показательной функции для a < 1 ­ убывающая экспонента График показательной функции Показательная функция определена  для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра  a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1). Логарифмическая y = lnx график логарифмической функции ­ логарифмика График логарифмической функции График логарифмической функции для  основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.  Логарифмическая y = logax график логарифмической функции ­  логарифмика График логарифмической функции Логарифмы определены для a  > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a.  Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1). К движению.  Логарифмическая y = logax график логарифмической функции ­  логарифмика График логарифмической функции Логарифмы определены для a  > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a.  Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1).  Синус y = sinx график тригонометрической функции ­ синусоида Синусоида Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в  разделе "Движение графиков функций". К движению.  Косинус y = cosx график тригонометрической функции ­ косинусоида  Косинусоида Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами  изучаются в разделе "Движение графиков функций". К движению.  Тангенс y = tgx график тригонометрической функции ­ тангенсоида  Тангенсоида Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами  изучаются в разделе "Движение графиков функций". К движению.  Котангенс y = сtgx график тригонометрической функции ­ котангенсоида  Котангенсоида Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с  коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основании приведенных результатов можно провести полное  исследование функции с качественным построением ее графика. План этого  исследования следующий:  1) находят область определения функции;  2) определяют точки разрывов функции и их характер;  3) находят корни функции;  4) определяют четность или нечетность функции;  5) проверяют функцию на периодичность;  6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки,  находят интервалы монотонности и экстремумы;  7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;  В заключение отметим, что, хотя работа по обучению учащихся умению  самостоятельно решать основные виды задач еще не реша ет проблемы развития  самостоятельности учащихся в целом и ее, конечно, недостаточно для  достижения такой цели, все же эта работа является важным этапом в ее  достижении. Обучение деятельности по образцу имеет в математике свою  специфику, так как в большин стве случаев такая деятельность не сводится к  чисто воспроизводя щей. Воспроизводится именно способ решения, сама же  задача, ее конкретные данные всегда варьируются. При решении любой за дачи,  при выполнении каждого упражнения ученик осуществляет хотя бы  элементарный перенос знаний, актуализирует необходимый способ действий,  определяет путь решения. Таким образом, целена правленная и тщательная работа по организации овладения всеми учащимися необходимым набором  умений создает основу для пере хода на более высокий уровень  самостоятельности, является необхо димой базой такого перехода. Кроме того,  эта работа не только не противоречит идее развития у учеников общеучебных  умений, состав ляющих основу самостоятельной деятельности каждого ученика,  но включает в себя большие возможности в этом плане и, правильно  организованная, служит начальным этапом формирования этих умений. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. yaklass.ru›p/algebra/10­klass…postroenie­grafikov… 2. zada4i.ru›spravka/grafik­f 3. YouClever.org›book/funktsii­1 4. рефферат.рф›referat­46667.html 5. BankReferatov.ru›referats…Графики…функций… 6. mirznanii.com›a/115167/vychislenie­funktsiy­v­