Проект по математике на тему "Решение задач с помощью кругов Эйлера" (8 класс)

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Работу выполнила ученица 8 класса МБОУ Сарасинской СОШ
Запольская Анастасия.
Руководитель:
Мордовских Надежда Васильевна, учитель математики

Сараса - 2016

МБОУ Сарасинская СОШ Алтайского района

Логические задачи составляют обширный класс нестандартных задач. 
Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто найти решение задачи помогает рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Решение любой задачи можно красиво оформить.  Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах, но в школьной программе на изучение этой темы отводится мало часов.

Задачи имеют практический характер ,
Заставляют задумываться,
Подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны,
Уметь выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь. 

Цель:
Применение кругов Эйлера для решения задач.

Задачи:

Изучить литературу по данной теме;
Собрать и обработать материал;
Составить задачи по теме;
Создать презентацию.

. 

Эйлер Леонард (1707—1783), математик, физик, механик, астроном.
Родился 15 апреля 1707 г. в Базеле (Швейцария). Окончил местную гимназию, слушал в Базельском университете лекции И. Бернулли. В 1723 г. получил степень магистра. В 1726 г. по приглашению Петербургской академии наук приехал в Россию и был назначен адъюнктом по математике.

http://to-name.ru/biography/leonard-ejler.htm
http://citaty.su/kratkaya-biografiya-leonarda-ejlera
http://publ.lib.ru/ARCHIVES/E/EYLER_Leonard/_Eyler_L..html
http://math4school.ru/euler.html

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые Эйлер их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 6

Задача 5

В летнем лагере было 70 ребят. 27 из них занимаются в драмкружке, 32 - поют в хоре, 22 - спортсмены. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре - 6 спортсменов, в драмкружке - 8 спортсменов. 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят увлекаются спортом?

27 - (10 + 5) = 12 (ребят) -- занимаются в драмкружке,
в хоре: 32 - (110 + 3) = 19 (ребят);
занимаются спортом: 22 - (8 + 3) = 11 (ребят);
70 - (27 + 19 + 3 + 11) = 10 (ребят) - не занимаются ничем.Ответ : не увлечены ничем 10 ребят; увлечены спортом 11 ребят.

Часть жителей одного города умеют говорить только по-русски, часть - только по-узбекски, и часть умеет говорить на обоих языках. По-узбекски говорят 85% всех жителей, а по-русски - 75%. Сколько % жителей говорят на обоих языках?

75 % + 85 % = 160 %;
160 % - 100 % = 60 %,
или 100 % - 85 % = 15 % - говорят только по-русски;
75 % - 15 % = 60 % - говорят на обоих языках.
Ответ: 60%.

В классе несколько мальчиков собирали марки. 15 человек собирали марки России, 11 человек собирали иностранные марки, из них 6 человек собирали и марки России, и иностранные марки. Сколько мальчиков в классе собирали марки? Сколько мальчиков в классе собирали только марки России, и сколько мальчиков собирали только иностранные марки?

15 - 6 = 9 (мальчиков) - собирали только марки России,
11 - 6 = 5 (мальчиков) - собирали только иностранные марки;
(15 + 11) - 6 = 20 Мальчиков) - всего собирали марок.
Ответ: 20; 9; 5.

В школе зимой работали 3 спортивные секции - лыжная, хоккейная и конькобежная. В них занимались 38 человек. Известно, что в лыжной секции занимался 21 человек, среди которых 3 человека занимались ещё в конькобежной секции, 6 человек - ещё в хоккейной секции и 1 человек занимался одновременно во всех трёх секциях. В конькобежной секции занимались 13 человек, среди которых 5 человек занимались одновременно в двух секциях. Сколько человек занимались в хоккейной секции?

Только коньками занимались: 13 - 2 - 2 - 1 = 8 (человек);
тогда только хоккеем занимались: 38 - 21 - 8 - 2 = 7 (человек);
всего хоккеем занимались: 7+ 5 + 1 + 2 = 15 (человек).Ответ: 15 человек.

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15 холодильник и телевизор, а все три покупки совершили 3 человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего.

Купили только холодильники: 35 - (20 - 3) - (15 - 3) -3 = 4Купили только микроволновки: 36 - (20 - 3) - (19 - 3) = 0Купили только телевизоры: 37 -(15 - 3) -(19 - 3) = 6Тогда всего покупателей было: 4 + 17 +3 +16+ 12 + 6 = 5865 - 58= 7 посетителей магазина не купили ничего.
Ответ: 7.

В классе 35 учеников. Из них: 20 школьников занимаются в математическом кружке, 11 – в экологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько экологов увлекается математикой?

35 – 10 = 25 (учеников) – посещают кружки,
25 – 20 = 5 (учеников) – посещают экологический кружок,
11 – 5 = 6 (учеников) – посещают оба кружка.
Ответ: 6 экологов увлекаются математикой.

В процессе изучения данной темы я расширила свои знания по математике, познакомилась с ещё одним способом решения задач, который был мне мало знаком, поэтому я никогда не применяла его на практике.
Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике. Материал, используемый в работе, пригодится для решения задач занимательного характера, позволит применять методы и правила для решения нестандартных задач. Приобретенные сведения и знания способствуют повышению интеллектуального развития, помогают развить умение наблюдать, анализировать, рассуждать, что немаловажно в современной жизни.

http://jwy.narod.ru/logic/_04_eiler.html
http://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera
http://mmmf.msu.ru/archive/20122013/z5/z5090313.html
http://www.otvet-prost.ru/load/diskretnaja_matematika/na_krugi_ehjlera/zadacha_na_krugi_ehjlera/18-1-0-43
Математика, 5-9 классы. Развитие математического мышления: олимпиады, конкурсы. Автор-составитель И.В. Фотина. 2011год.