Проект по математике "Рациональные способы устных вычислений"

Аққайың ауданы Смирнов №1 орта мектебі КММ Аккайынский район КГУ Смирновская средняя школа №1 Гонтарь Вадим Семененко Никита 9 класс РАЦИОНАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ УСТНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ Направление: математика Секция: математика Руководитель: Дюсенбинова Алия Омаровна учитель математики с.Смирново, 2016 г Содержание Введение Глава 1 Рациональные вычисления 1.1 Рациональное мышление 1.2 Если углубиться в историю    1.3 Феномен особых способностей в устном счёте 1.4 Приемы рациональных вычислений Глава 2 Исследовательская работа 2.1 Анкетирование 2.2 Результаты исследования Заключение Список использованной литературы Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3 . 4 6 6 8 10 12 15 15 17 18 19 20 21 22 3 Введение В школе мы постоянно сталкиваемся с тем, что  используем привычные, во   многом   навязанные   нам   способы   решения.   Развитие   функциональной грамотности   учащихся   подразумевает   использование   математических приемов в повседневной жизни.  Вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии и т. д. нельзя решать, не обладая элементарными способами вычислений. Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника –  вступительные экзамены, которые   в   этом   году   будут   включать   в   себя   тест   на   математическую грамотность.   Просмотрев   задания   исследования  PISA,мы   заметили,   что многие   из   них   требуют   не   знание   формул   и   математических   понятий,   а скорости   вычислений.     Например,   рассчитать   выгодный   тариф,   покупку, стоимость   проезда.   В   результате,   мы   пришли   к   выводу,   что   развитые вычислительные умения и наличие  логическогомышления ­ залог  успешной сдачи вступительного теста на математическую грамотность, в этом состоит актуальность выбранной темы. Прививая   любовь   к   устным   рациональным   способам   вычисления, приемам   устного   счета   ­   учитель   будет   помогать   ученикам   активно действовать   с   учебным   материалом,   пробуждать   у   них   стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными и экономичными. А это – важнейшее условие   Направленность   мыслительной сознательного   усвоения   материала. деятельности   ученика   на   поиск   рациональных   путей   решения   проблемы свидетельствует о вариативности мышления. Гипотеза:  развитие   вычислительных   навыков   способствует   развитию мышления. 4 Цель:  проверить   на   практике:   действительно   ли     можно     развить мыслительные способности, посредством развития вычислительных навыков. Для начала  решили  найти в литературе приемы рационального вычисления, овладеть ими самим и показать эти приемы одноклассникам.  Мы поставили перед собой следующие задачи:  Воспользовавшись различными источниками информации собрать, изучить и систематизировать материал о приемах рационального вычисления.   Рассмотреть   некоторые   приемы   рациональных   вычислений   и   на конкретных примерах показать преимущества их использования.  Для младших школьников провести мастер­класс   Для   старшеклассников     провести   микроисследование: «Взаимосвязь   скорости   вычисления   и   логического   мышления школьников» Методами нашего исследования были:  анализ различных источников  анкетирование  демонстрация презентации  анализ полученных данных 5 Глава 1 Рациональные вычисления 1.1 Рациональное мышление Мыслительный процесс – особенность, присущая каждому человеку. Но,   несмотря   на   общность   этого   явления,   выделяется рациональное мышление, аналитическое, логическое и другие его разновидности, которые у всех людей индивидуальны. Так,   рациональное   мышление   –   это   форма   упорядоченных   суждений (умозаключений),   имеющих   точное   логическое   основание.   Мыслить рационально — означает не думать обо всем и сразу, а идти мысленно только к конкретной цели. Рациональное   мышление   являет   собой экономный   и   одновременно выгодный   (эффективный)   способ   суждений,   при   котором   мыслительная деятельность   приносит   максимально   положительный   результат   при наименьших затратах (психоэмоциональных, интеллектуальных усилиях). Основным   компонентом,   отличающим рациональное   мышление от обычного,   является   логика.   Каждый   этап   такого   суждения   должен представлять собой правильную логическую цепочку. Рациональное мышление применимо как в повседневной жизни, так и в профессиональной   деятельности.   Некоторые   сферы   жизнедеятельности общества,   например,   юриспруденция,   экономика,   политика   не   могут существовать   без   рационального   мышления,   потому   что   любой   шаг   здесь должен быть взвешен, подвержен контролю разума и логически обоснован. К методам рационального мышления относятся: —   анализ   (аналитическая   деятельность   позволяет   получать   максимально возможную полезную информацию из любых доступных сведений). 6 — умозаключение (из каждого суждения, а тем более, из системы суждений следует делать вывод). —   аргументация   (каждое   утверждение   должно   иметь   достаточную аргументацию (основание достоверности)). Если   исключить   из   мыслительного   процесса   неаргументированные доводы, то мышление станет более рациональным; — сравнение (сопоставление имеющихся данных, с целью выявление их общих черт и особенностей); — суждение (утверждение, мнение о каком­либо явлении, формирующееся на основе анализируемых данных). Планирование, анализ, маркетинговые исследования, организационная   деятельность,  управление –  все  это   должно прогнозирование,     быть пропущено сквозь призму рациональности. 7 1.2 Если углубиться в историю Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и   нож,   и   ему   приходилось   считать   различные   предметы,   с   которыми   он встречался   в   повседневной   жизни.   Постепенно   возникала   необходимость отвечать   на   жизненно   важные   вопросы:   поскольку   плодов   достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.  Для счета люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже   учатся   считать   по   пальцам.   Однако   этот   способ   годился   только   в пределах 20. Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно   подсчитывая   количество   десятков.   Система   счисления   на   основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета.  При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.  Особенно   сложны   и   трудны   были   в   старину   действия   умножения   и деления ­ особенно последнее. «Умноженье ­ мое мученье, а с делением ­ беда», ­ говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления ­ приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек   средних   способностей.   Каждый   учитель   счетного   дела   держался своего   излюбленного   приема,   каждый   «магистр   деления»   (были   такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. 8 В   книге   В.   Беллюстина   «Как   постепенно   дошли   люди   до   настоящей арифметики»   (1914)   изложено   27   способов   умножения,   причем   автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ,   разбросанные   в   многочисленных,   главным   образом, рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, точный, легкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру.   У   нас   такой   способ   употреблялся   до   середины   XVIII   века.   На протяжении своей книги в 640 страниц Леонтий Магницкий («Арифметика» ­ старинный учебник математики, которую Ломоносов называл «вратами своей учености»)   пользуется   исключительно   способом   «галеры»,   не   употребляя, впрочем, этого названия.  Упоминаются   такие   способы,   как   «загибанием»,   «решеткой»,   «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки. 9 1.3 Феномен особых способностей в устном счёте Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом. До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов   в   устном   счёте.   Иногда   они   устраивали   показательные соревнования   между   собой.  Начиная   с   2004   года,   один   раз   в   два   года проводится Мировой   чемпионат   по   вычислениям   в   уме,   на   который собираются   лучшие   из   ныне   живущих   феноменальных   счётчиков   планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10­ значных чисел, умножение двух 8­значных чисел, расчёт заданной даты по календарю   с   1600   по   2100   годы,   корень   квадратный   из   6­значного   числа. Также   определяется   победитель   в   категории   «Лучший   универсальный феноменальный   счётчик»   по   итогам   решения   шести   неизвестных   «задач   с сюрпризом».   Одним   из   победителей   чемпионата   является ЮсниерВиера — кубино­американский   математик, рекордсмен в области устного календарного исчисления.   феноменальный   счётчик,   мировой Хотя   некоторые   специалисты   уверяли,   что   дело   во   врождённых способностях,   другие   аргументированно   доказывали   обратное:   «дело   не только   и   не   столько   в   каких­то   исключительных,   „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы. Пожалуй,   единственная   научно   обоснованная   и   достаточно   подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом.   Она   известна   под   названием   "Системы   быстрого   счета". 10 История   ее   создания   необычная.   В   1941   году   гитлеровцы   бросили Трахтенберга   в   концлагерь.   Чтобы   уцелеть   в   нечеловеческих   условиях   и сохранить   нормальной   свою   психику,   Трахтенберг   начал   разрабатывать принципы   ускоренного   счета.   За   четыре   страшных   года   пребывания   в концлагере   профессору   удалось   создать   стройную   систему   ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал   и   возглавил   Цюрихский   математический   институт,   получивший мировую известность.  11 1.4 Приемы быстрого счета Умножение на 9 Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки.  Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9х3 –  загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9х3 –  это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7).  Ответ : 27. Умножение на 11 Пусть, например, нужно умножить 26 на 11. Достаточно сложить цифры 2 + 6 =8 и поставить эту восьмерку между 2 и 6, чтобы сразу сказать ответ. При сложении может получиться и двузначное число, начинающееся с 1, тогда эту   единицу   нужно   прибавить   к   цифре   десятков,   а   в   середину   вставлять только цифру единиц суммы. Например, при умножении 75 на 11 складываем 7 и 5, получим 12, 1 прибавляем к 7, а 2 вставляем между 8 и 5. Получаем ответ 825.  Следующее равенство объясняет, на чем основан этот способ умножения: (10а+в)∙11=110а+11в=100а+10(а+в)+в. Умножение на 4 Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в  том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2: 58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232 Сложное умножение Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы  можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ: 32 x 125 все равно, что: 16 x 250 все равно, что: 12 8 x 500 все равно, что: 4 x 1000 = 4,000 Умножение на 5 Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите  пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце.  Если нет, не обращайте внимание на запятую  в конце добавьте 5. Это  срабатывает всегда: 2682 x 5 = (2682 / 2) & 5 или 0 2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0) 13410 Давайте попробуем другой пример: 5887 x 5 2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5) 29435 Деление на 5 На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно, ­  просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5 Шаг1: 195 * 2 = 390 Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39. 2978 / 5 Шаг1: 2978 * 2 = 5956 Шаг2: 595,6 Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5 Есть   замечательный способ возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся     цифрой  5.  Для   возведения   такого   числа   в   квадрат   надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат – 25 после полученного произведения.  Например, 35²=1225 (так как 3∙4=12); 85²=7225 (так как 8∙9=72). 13 Есть еще один интересный способ возведения в квадрат двухзначных чисел, начинающихся с 5­ти. Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся  на 5, надо: 1) 2) к 52=25 прибавить число единиц «а». К полученному числу приписать справа квадрат единиц. 562=(25+6)∙(62)=3136     592=(25+9)∙(92)=348 Возведение в квадрат двухзначных и трёхзначных чисел. ПРАВИЛО:  умножают число десятков на число, на единицу больше, и к произведению приписывают 25. 752=(7∙8) в конец произведения подписываем 25 =5625 Умножение чисел десятого десятка друг на друга («воздушный счет»). Например:  97 Находим дополнения этих чисел до 100, получаем соответственно 3 и 7. От 100 отнимаем сумму дополнений 100­10=90. Это первые две цифры искомого   произведения.   Две   другие   получаются   при   перемножении дополнений (7 .  Итак, получаем 97 Схематически это выглядит так:     3   93      7   90     21 14 Например:  92     8    99      1    91    08 15 Глава 2 Исследовательская работа 2.1 Анкетирование Мы провели анкетирование учащихся  5, 9 и 11 классов.  1. Любите ли вы устный счёт? 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 да нет 2. Быстро ли вы считаете устно? 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 да нет 5 класс 9 класс 11 класс 5 класс 9 класс 11 класс 3. Сможете ли решить устно пять примеров за 2 минуты?  32*11=352 62*5=310 73*8=560+24=584 16 91*98=8918 422*5=2110 Результаты приведены в Приложении  4. Знали ли вы эти приёмы?  12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 класс 9 класс 11 класс да нет 5.  Понадобится ли в дальнейшем вам эта информация? 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 класс 9 класс 11 класс да нет 6. Знаете ли вы другие способы рациональных вычислений? 17 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 класс 9 класс 11 класс да нет 2.2 Результаты исследования По результатам анкетирования видно, что пятиклассники  любят устный счет, быстрее считают, хотя сами оценивают свои способности критично, и на логические вопросы дают больше верных ответов. Ученики 9 и 11 класса дают утвердительный   ответ   на   вопрос   о   вычислительных   спсобностях,   однако, отстают и в логических заданиях и в устном счёте, не смотря даже на то, что некоторые   из   них   способы   знают.   Практически   все   учащиеся   считают информацию   полезной!   К   сожалению,   мало   ребят   знают   приемы   устного счета, а кто знает не часто использует (Приложение 1).   Худший результат показали учащиеся 9 класса, которые, как видно в Приложении 2, не любят, не знают и не применяют на практике рациональные способы вычислений. На   диаграмме   (Приложение   1,2,3)   видно,   что   результаты   теста   на вычисление   и   экспресс­теста   на   определение   мышления   практически одинаковые. Можно сделать вывод, что изучение, использование на практике рациональных   способов   вычислений   положительно   влияет   на   развитие мышления в целом. Наша гипотеза подтвердилась. 18 Заключение В   наш   век   высоких   технологий   и   повсеместного   использования компьютера   умение   быстро   и   правильно   производить   в   уме   достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Развитие   мыслительных   спсобностей   и   навыков   рациональных вычислений   процесс   длительный.  За  время   написания   проекта   мы   освоили несколько   способов,   поделились   ими   с   одноклассниками,   провели   мастер­ классы в младшем звене. В целом, наша исследовательская работа прошла плодотворно   и   мы   можем   только   предложить   учителям   продолжать использовать на уроках устные упражнения для развития мышления. Математика   ­   предмет   настолько   серьезный,   что   воспользоваться каждой возможностью оживления уроков – чрезвычайно важно. Используя различные приемы устного счета, рациональных вычислений можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Такие навыки помогут школьникам в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет ­ настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.  Наша   гипотеза   подтвердилась:   наличие   навыков     рациональных вычислений  способствует  развитию мышления. 19 Список использованной литературы 1. Вроблевский. Как научится легко и  быстро считать. ­ М.­1932.­132с. 2. Математическая  грамотность   учащихся.  Учебное   пособие.  Филиал «Центр   педагогических   измерений»   АОО   «Назарбаев Интеллектуальные школы». Астана, 2014 год 3. Перельман А.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета,  Ленинград, 1941г. 4. Сорокин А. С. Техника счета. М., "Знание", 1976. 5. Журнал «Математика» «Наука» Москва, 2001.  Статья «Методика устных вычислений в среднем звене». Автор Р. Салимова 20 Результаты анкетирования в 9 классе Приложение 1 5 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 3 3 1 2 2 2 21 Результаты анкетирования в 11 классе  Приложение 2 5 1 3 2 1 5 4 3 2 1 2 3 4 1 2 2 22 Результаты анкетирования в 5 классе Приложение 3 3 4 1 1 5 3 2 1 1 5 2 23 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 24