Проект "Текстовые задачи на движение"

ПРОЕКТ «Текстовые задачи на движение при подготовке к ЕГЭ» Оглавление. 1.Вступление. Актуальность темы. 2.Некоторые указания к задачам «на движение».                                                        3.Классификация задач «на движение». Примеры.                                                      4.Уроки итогового повторения в 11 классе по теме «Задачи на движение».            5.Список литературы.                                                                                                     6.Приложение. Слайды к уроку №1. 1. Вступление. Актуальность темы.     В настоящее время на экзаменах предлагаются задачи, решение которых  требует составления уравнения (или неравенства), а также их систем на  основании условия задачи.      Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако,  прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь  решать простейшие из них.    Задачи В13 можно условно разбить на следующие типы задач:     1)задачи «на движение»;     2)задачи «на совместную работу»;     3)задачи «на планирование»;        4)задачи «на зависимость между компонентами арифметических действий»;     5)задачи «на проценты»;     6)задачи «на смеси»;     7)задачи «на разбавление»;     8)задачи «с буквенными коэффициентами»;     9)задачи «на оптимальное решение» (т.е. на нахождение экстремума        функции);     10)другие виды задач.    Из привёденного выше перечня задач особое место занимают задачи «на  движение», так как решению этих задач мы уделяем много времени ежегодно с  5­го по 9­й класс. Именно поэтому чаще всего во второй части ГИА и в первой  части ЕГЭ мы встречаем задачу «на движение». 2.Некоторые указания к задачам «на движение». Примеры.     1.Основными компонентами этого типа задач являются: а) пройденный  путь(S); б) скорость(v); в) время(t). Зависимость между указанными величинами  выражается известными формулами: S=v∙t , v=S:t , t=S:v.  (1) (указанные величины должны быть в одной системе единиц, например: если путь в километрах, а время в часах, то скорость в километрах в час).    2.План решения обычно сводится к следующему:     а) Выбираем одну из величин, которая по условию задачи является  неизвестной, и обозначим её через x, y или z  и т.д.     б) Устанавливаем, какая из величин является по условию задачи известной.     в) Третью (из оставшихся) величину выражаем через неизвестную (x) и  известную с помощью одной из формул (1).     г) Составляем уравнение на основании условия задачи, в котором указано, как именно изменилась (уменьшилась, увеличилась и т.д.) третья величина.    3.Заметим, что если два каких­либо тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода до встречи  затрачивает, очевидно, одинаковое время. Аналогично обстоит дело и в случае,  если одно тело догоняет другое.    4.Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них  затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.    5.В задачах «на движение по реке» необходимо помнить следующие формулы:  vпо теч.=vсоб.+vтеч. ; vпротив теч.=vсоб.+vтеч. ; vсоб.=(vпо теч.+vпротив теч.):2. 3.Классификация задач «на движение». Примеры.     Задачи «на движение» можно условно разбить на следующие типы задач: 1.Движение из одного пункта в другой в одном направлении. Пример.    Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно  выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист  проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость  велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже  автомобилиста. Ответ дайте в км /ч.  Решение.    Для составления таблицы ответим на вопросы: а) в задаче два участника  движения или два условия движения? (два участника); б) какую величину  удобно обозначить за x ? (скорость велосипедиста); в) какая из величин нам  известна? (S=75 км). Составим таблицу.                     Автомобилист           Велосипедист v , км/ч            x+40                                 x t  , ч                   75               на 6 часов х S , км                  75                                  75               <              75 х 40 Из второй строки таблицы легко получить уравнение: 75 − х 75 х 40 =6                          x1=10, х2=−50 (не подходит по смыслу задачи).    Ответ: 10 км/ч скорость велосипедиста. 2.Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути. Пример.    Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В,  расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился  обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал  останову на 3 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько  же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути  из В в А. Ответ дайте в км/ч.    Решение.    Для составления таблицы ответим на вопросы: а) в задаче два участника  движения или два условия движения? (два условия); б) какую величину удобно  обозначить за х ? (скорость из В в А); в) какая из величин нам известна? (S=70  км).    Составим таблицу.                          Из А в В                             Из В в А    v , км/ч              х−3                                        х    t  , ч                    70 х 3                   >                  70              на 3 ч (время  х остановки)    S , км                 70                                         70                                                     Получаем уравнение: 70 =3            х 70 х − 3               x1=10 , х2=−7 (не подходит по смыслу задачи).    Ответ: 10 км/ч скорость из В в А. 3.Движение из разных пунктов навстречу друг другу. Пример.    Расстояние между городами А и В равно 470 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого  автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А.  Ответ дайте в км/ч. Решение.    Для составления таблицы ответим на вопросы: а) в задаче два участника  движения или два условия движения? (два участника); б) какую величину  удобно обозначить за x? (скорость первого автомобиля); в) какая из величин нам известна? (S1=350 км , S2=(470−350)км =120 км). Составим таблицу.                                 1 автомобиль                   2 автомобиль       v , км/ч                      x                                         60 350                    >                 х       t  , ч                           120               на 3 часа 60       S , км                        350                                      120                                                   Получаем уравнение: 350 − х 120 =3 60                                                   x=70(км/ч) –скорость 1 автомобиля.                      Ответ: 70 км/ч.    4.Основные компоненты движения заданы в общем виде (задачи с  параметрами). Пример. Дорога между посёлками А и В сначала имеет подъём, а потом спуск.  Велосипедист, двигаясь на спуске со скоростью на a км/ч больше, чем на  подъёме, затрачивает на путь от А до В ровно k часов, а на обратный путь от В  до А половину этого времени. Найдите скорость велосипедиста на подъёме и на  спуске, если расстояние между посёлками b км/ч. Решение.    Так как на протяжении всего пути туда и обратно велосипедист на каждом из  участков как поднимался вверх, так и спускался вниз, то для облегчения  составления уравнения можно представить, что сначала на расстоянии b км  велосипедист ехал только вверх, а потом на расстоянии b км ехал только вниз.  Приняв за x км/ч скорость на пути «вверх», составляем таблицу:                                    «Вверх»                     «Вниз»             v , км/ч                x                              x+a             t  , ч                      в               +              х в              =    k+ ах к  (время «туда»  2 и             S , км                   b                                b                                     «обратно»)                                      Получаем уравнение:                                             в + х в  = ах 3к 2              x1,2= 4 в  ак 3  2  9 2 ка 2 16 в к 6    По смыслу задачи подходит только положительный корень         x= в 4  ак 3  2  9 2 ка 2 16 в 6 к  (км/ч)­скорость на подъёме.  Скорость на спуске:  4 в  3 ак  2  9 2 ка 2 4 в  3 ак  +a = 16 в 6 к в 2  9 2 ка 2  (км/ч) 16 6 к    Ответ:  в 4  3 ак  в 2  9 2 ка 2 16 к 6  км/ч, 4b>3ak.    5.Движение по водному пути. Пример.    Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. Из А в В по течению реки  отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в  пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот  прошёл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость  течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Решение.    Для составления таблицы ответим на вопросы: а) в задаче два участника  движения или два условия движения? (два условия, а плот упоминается только  для нахождения общего времени движения); б) какую величину удобно  обозначить за x? (собственную скорость яхты); в) какая из величин нам  известна? (S1=S2=120 км); г) чему равна скорость плота? (скорость течения  равна 2 км/ч).                                   Составим таблицу.                              «Туда»                          «Обратно»        v , км/ч            x+2                                  x−2 120 х 2        t  , ч                                +                120 х 2        S , км               120                                   120                                    Получаем уравнение:              =      24  (t плота) – 1. 2                                         +                          x1=22 , x2=− =11    120 х 2 120 х 2 2  (не подходит по смыслу задачи). 11              Ответ: 22 км/ч­ скорость яхты в неподвижной воде.    6.Определение длины (или скорости) объекта, который двигается мимо  неподвижного наблюдателя. Пример. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении  следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны  соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метров.  Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо  товарного поезда равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах. Решение.    Подобные задачи решаем, используя только формулу S=v∙t .    Для начала найдём скорость обгона: 90−30=60 (км/ч). Теперь данная задача  сводится к ситуации, когда пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч за 1 минуту проходит мимо неподвижного объекта длиной 600 метров. Если длину  пассажирского поезда принять за x км, то получаем уравнение:                                            x+0,6=60∙ 1   60                                               x=0,4 (км)              Ответ: 400 метров− длина пассажирского поезда.     7.Тела движутся по окружности. Пример № 1.                                                                         Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал  велосипедиста в первый раз, а ещё через 31 минуту после этого догнал его во  второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 31 км.  Ответ дайте в км/ч. Решение.    Подобные задачи удобно решать с помощью введения двух неизвестных.    Пусть vвелос.=x км/ч, vмотоц.=y км/ч. Тогда до первой встречи Sвелос.= 50 ∙x км,  60 Sмотоц.= 10 ∙y км, причём Sвелос.=Sмотоц. . А до второй встречи Sвелос.= 60 31 50  60 ∙x км, 31 Sмотоц.= 10  60 уравнений: ∙y км, причём Sвелос.< Sмотоц. На 31 км. Получаем систему        50 60 41 60 x   y 10 60 81 60 y x  31                                              x=15(км/ч) ­ скорость велосипедиста.            y=75(км/ч) – скорость мотоциклиста.            Ответ: 75 км/ч. Пример № 2.    Часы со стрелками показывают 7 часов 50 минут. Через сколько минут  минутная стрелка в четвёртый раз поравняется с часовой?  Решение.    Глядя на часы, легко понять, что vм.стрелки=1 круг/час, vч.стрелки= 1  круг/час.     12    Если до первой встречи потребуется x часов, то Sч.= 1 ∙x круга, Sм.=1∙x круга, 12 причём Sч.20.                     № 4 (слайд 4).     Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал  велосипедиста в первый раз, а ещё через 3 минуты после этого догнал его во   второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км.  Ответ дайте в км/ч.                                                        Решение.    Пусть vвел.=х км/ч, vмот.=yкм/ч.                 1 5 1 12 1  х у 30 1 4  у  5 х        Домножим первое уравнение на 30, получим:                6 х х  5 4  6 х  5              у х 2 у х 4 х у     20  120     Ответ: 120 км/ч −скорость мотоциклиста.                      № 5 (слайд 5).    Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт  отправления, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость  лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в  км/ч.                                                   Решение.                               Против течения                 По течению           v , км/ч                 х­3                                  х+3           t  , ч                      55 х 3           S , км                     55                                     55                >                 55 х 3           на  6  часов    Уравнение  55  х 3  55  х 3  6   дорешать дома.                     № 6.    Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть −  со скоростью 120 км/ч, а последнюю −со скоростью 110 км/ч. Найдите  среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.                                                    Решение. vсредняя=(весь путь):(всё время движения) 1. Пусть весь путь − 1. 2. Тогда t1= 1 :60= 3 1 (ч);   t2= 180 3. vсредняя=1:( 1 180  1 360  1 330                 Ответ: 88 км/ч. 1 (ч);   t3= 360 1 :120= 3 3960  (км/ч) 45 88 )=1:                     № 7 (если останется время). 1 :110= 3 1 (ч). 330 Часы со стрелками показывают 11 часов 50 минут. Через сколько минут  минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?                                          Решение.     Показать на модели часов, что стрелки поравняются через 10 минут ровно в  12 часов.                  Ответ: 10 минут.                     № 8 (если останется время).    Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут  минутная стрелка в четвёртый раз поравняется с часовой?                                           Решение.      Используя модель часов, получаем: 1. Пусть скорость часовой стрелки vч.= 1  окружности  циферблата за час, а  12 скорость минутной стрелки −vм.= 1   окружность циферблата за час. 1 1 2. В первый раз минутная стрелка проделает путь, равный пути часовой  стрелки, плюс 40 минут(  2  циферблата) 3                         1∙t>  t      на  2 3 1 12 1 12 8  (часа) 11  t+ 2 3                          t=                          t= 3. Во второй, третий и четвёртый разы минутная стрелка проделает путь,  ровно на 1 круг больше пути часовой стрелки.                                                                        1∙t>  t     на 1                          t=  t+1 1 12 1 12 t=1 1  (часа) 11 4.    8 11  13 1 11 4  (часа)   ;     4 часа=240 минут.               Ответ: через 240 минут минутная стрелка в четвёртый раз поравняется с часовой. V. Подведение итогов урока. 1. Задачи на какую тему мы решали? (задачи «на движение»). 2. Какие основные типы задач выделили? (движение в одном направлении или  навстречу друг другу по земле; «половинный путь»; круговые трассы; движении  по водному пути; нахождение средней скорости). 3. На что следует обратить внимание при решении задач «на движение»? (чаще  всего подобные задачи решаем с помощью дробных рациональных уравнений; за  х чаще всего принимаем скорость; при составлении уравнения все величины  должны быть в одной системе единиц; во многих задачах, где не указано  расстояние, это расстояние принимают за 1; ответ в подобных задачах не может  быть выражен 0 или отрицательным числом; прежде чем записать ответ, надо  ещё раз прочитать вопрос задачи; в задачах «на круговые трассы» и «стрелки»  очень помогает наглядность). VI. Домашнее задание.     Довешать задачи 2,3,5, решить задачу: «Часы со стрелками показывают 11  часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в первый раз  поравняется с часовой?» . Урок № 2. Тема : «Самостоятельная работа по теме «Задачи на движение»». Цели урока:        −проверить умение учащихся решать задачи «на движение»;        −выявить наиболее проблемные места при решении задач данного типа; −продолжить повторение некоторых типов задач «на движение». I. Проверка предыдущего домашнего задания.  Устно сверим ход решения и ответы.                      № 2.            126 х  126  х 5  5                                   ОДЗ:   х х     0  5           126∙(х+5)=126∙х+5х∙(х+5)           126х+630=126х+5х2+25х           5х2+25х−630=0           х2+5х−126=0           D=25+504=529=232                 x1= 23 5  2  9    ;   х2= 23  5  2  14  (не подходит по смыслу задачи). Ответ: 9 км/ч −скорость велосипедиста из А в В.                     № 3.            1 х  5,0  х 4  5,0 30                                  ОДЗ:   х х х         0 4 20            30∙(х−4)=15∙х+0,5х∙(х−4)            30х−120=15х+0,5х2−2х            0,5х2−17х+120=0              х2−34х+240=0                   D1=172−240=289−240=49            x1=17+7=24     ;     х2=17−7=10 (не подходит, т.к. по условию х>20). Ответ: 24 км/ч −скорость первого автомобиля.                     № 5.             55  3 х  55  3 х  6    ОДЗ:  х≠ 3 55∙(х+3)−55∙(х−3)=6∙(х2−9)             55х+165−55х+165=6х2−54              6х2=384               х2=64              х1=8   ;   х2=−8 (не подходит по смыслу задачи) Ответ: 8 км/ч −скорость лодки в неподвижной воде.                     Задача.    По модели часов видно, что минутная и часовая стрелки встретятся в первый  раз через 40 минут.  II. Устно:  1. Назовите формулу пути. (S=v∙t). S ). v 2. Как найти v? t? (v= S    ; t= t   3. Что чаще всего обозначаем за х при решении задач на движение по земле?  воде? (v  ; vсобств.). Но при этом помним, что так бывает не всегда!   4. Как найти скорость по течению? Скорость против течения?                               (vпо теч.=vсоб.+vтеч.   ; vпротив теч.=vсоб.−vтеч.).     5. На что важно обратить внимание при решении дробного рационального  уравнения? (ОДЗ). III. Самостоятельная работа.                               Вариант I. 1. Решите задачу.    Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час −со  скоростью 100 км/ч, а затем два часа −со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю  скорость автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 2. Составьте уравнение к задаче (не решать).    Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт  отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в  км/ч. 3. Решите задачу, используя № 4 прошлой классной работы.    Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 4 минуты после отправления он догнал  велосипедиста в первый раз, а ещё через 12 минут после этого догнал его во  второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 10 км.  Ответ дайте в км/ч.     (Ответы: 1) 70 км/ч; 2)  112  11 х                               Вариант II. 1. Решите задачу.  112  11 х  6 ; 3) 70 км/ч).    Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа −со  скоростью 100 км/ч, а последний час −со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю  скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. 2. Составьте уравнение к задаче (не решать).    Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт  отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость  лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в  км/ч. 3. Решите задачу, используя № 4 прошлой классной работы.    Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал  велосипедиста в первый раз, а ещё через 30 минут после этого догнал его во  второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 50 км.  Ответ дайте в км/ч.      (Ответы: 1) 92 км/ч; 2)  225 1 х   225  1 х  2 ; 3) 110 км/ч). После завершения работы, я  устно поясняю ход решения задач и озвучиваю  ответы. IV. Решение задач (вызываю учащихся к доске).                               № 1572 («Все задания группы В. Закрытый сегмент» под ред.  А.Л.Семёнова, И.В.Ященко, «Экзамен»,2012).    Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый                        проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину  пути со скоростью, меньшей первого на 15 км/ч, а вторую половину пути −со  скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым  автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что  она больше 54 км/ч. Ответ дайте в км/ч.                                        Решение.    Пусть х км/ч −скорость первого автомобилиста, тогда (х−15) км/ч −скорость  второго автомобилиста на первой половине пути, 1 −весь путь.                             t1= 1 ч,  t2=( х 5,0 х 15  5,0 90 )ч,  t1=t2                               1 х  5,0  15 х  5,0 90        ОДЗ:   х х х       0  15  54                         90∙(х−15)=0,5∙90х+0,5х∙(х−15)                         90х−1350=45х+0,5х2−7,5                         0,5х2−52,5х+1350=0                         х2−105х+2700=0                         D=11025−10800=225                    х1= 15  105 2  60 ; х2= 15  105 2  45  (не подходит).             Ответ:  60 км/ч −скорость первого автомобилиста                               Задача. Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 25 минут после отправления он догнал  велосипедиста в первый раз, а ещё через 27 минут после этого догнал его во  второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 18 км.  Ответ дайте в км/ч.                                        Решение. 1. Пусть х км/ч −vВ, y км/ч −vМ. 2. SВ1= 3. SВ2= 65 60 92 60 х  км, SМ1= х  км, SМ2= 25 60 52 60 y  км  ;     65 60  х y 25 60   y  км   ;     52 60  y 92 60  x 18 4.        13 12 52 60 5  x y 12 92 60  y  x 18     y=2,6х      2,135 60  х 92 60  х 18               2,43 60 х 18           х 18  60 2,43             x=25 (км/ч) −vВ.        y=2,6∙25=65 (км/ч) −vМ.     Ответ: 65 км/ч −скорость мотоциклиста.    Если останется время, решим задачу: «Первые 190 км автомобиль ехал со  скоростью 50 км/ч, следующие 180 км −со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км  −со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении  всего пути. Ответ дайте в км/ч».                                            Решение. vсред.=(весь путь) : (всё время)  1) 190+180+170=540 (км) −весь путь. 2) 190:50+180:90+170:100=3,8+2+1,7=7,5 (ч) −всё время. 3) 540:7,5=72 (км/ч) −средняя скорость.       Ответ: 72 км/ч. V. Домашнее задание: из сборника «ЕГЭ: 300 задач с ответами по математике.  Все задания группы В». № 1573, № 1576, № 1602 стр. 238 −243.                                         № 1573.     Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый  проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину  пути со скоростью 33 км/ч, а вторую половину пути −со скоростью, на 22 км/ч  большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.                                         Решение.    Пусть 1 −весь путь, х км/ч −скорость первого автомобилиста, тогда время,  затраченное первым автомобилистом − t1= 1  часов, а время, затраченное  х вторым автомобилистом − t2= 5,0 33  5,0  22 х  часов.    Так как автомобилисты затратили на весь путь одинаковое время, то            1 х  5,0 33 5,0  22 х                         ОДЗ:      0  х х       22            33∙(х+22)=0,5х∙(х+22)+0,5∙33х            33х+726=0,5х2+11х+16,5х            0,5х2−5,5х−726=0             х2−11х−1452=0            D=112−4∙(−1452)=121+5808=5929=772 х1= 77 11  2  44  ; х2= 77 11  2  33  (не подходит по смыслу задачи).                               Ответ: 44 км/ч −скорость первого автомобилиста.                                        № 1576.    Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В,  расстояние между которыми равно 78 км. На следующий день он отправился  обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени,  сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.  Ответ дайте в км/ч.                                          Решение.                                   Из А в В                  Из В в А           v , км/ч                 х                             х+7           t  , ч                      78 х 7           S , км                    78                             78 78              =              х              +     7(время остановки)                           78 х  78  7 х  7                           ОДЗ:    х х     0  2                      78∙(х+7)=78∙х+7х∙(х+7)                      78х+546=78х+7х2+49х                      7х2+49х−546=0                       х2+7х−78=0                      D=72−4∙1∙(−78)=49+312=361=192                      х1= 19 7  2  6     ;     х2= 19  7  2  13 (не подходит по смыслу  задачи)                          Ответ: 6 км/ч −скорость велосипедиста на пути из А в В.                                         № 1602. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 384 км и после  стоянки отправляется в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в  неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов,  а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из  него. Ответ дайте в км/ч.                                         Решение.    Пусть х км/ч −скорость теплохода в неподвижной воде. Составим таблицу:                            По течению              Против течения         v , км/ч           х+4                                 х−4         t  , ч                  384 х 4         S , км               384                                 384 384 х 4               +                        +       8    =    48             Получаем уравнение:              384  4 х  384  4 х  40                         ОДЗ:       х х     4  4             Разделим обе части уравнения на 8 :              48  х 4  48  х 4  5             48∙(х−4)+48∙(х+4)=5∙(х2−16)             48х−192+48х+192=5х2−80             5х2−96х−80=0             D1=482−5∙(−80)=2304+400=2704=522             х1= 48 52  5  100 5  20    ;   х2= 52 48  5  8,0  (не подходит по смыслу  задачи).                     Ответ: 20 км/ч −скорость теплохода в неподвижной воде. 5.Список литературы. 1) Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал  анализа.»−М.: Просвещение, 1990; 2) Семенов А.Л. «ЕГЭ: 300 задач с ответами по математике. Все задания группы  В/ А.Л.Семенов, И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, М.А.Посицельская,  С.Е.Посицельский, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, П.И.Захаров, А.В.Семенов, В.А.Смирнов; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко.−3­е изд., перераб. и доп.  −М.: Издательство «Экзамен»,2012. 3) http:// mathege.ru – Открытый банк задач ЕГЭ по математике.