ПРОЕКТ
«Текстовые
задачи на
движение при
подготовке к ЕГЭ»Оглавление.
1.Вступление. Актуальность темы.
2.Некоторые указания к задачам «на движение».
3.Классификация задач «на движение». Примеры.
4.Уроки итогового повторения в 11 классе по теме «Задачи на движение».
5.Список литературы.
6.Приложение. Слайды к уроку №1.1. Вступление. Актуальность темы.
В настоящее время на экзаменах предлагаются задачи, решение которых
требует составления уравнения (или неравенства), а также их систем на
основании условия задачи.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако,
прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь
решать простейшие из них.
Задачи В13 можно условно разбить на следующие типы задач:
1)задачи «на движение»;
2)задачи «на совместную работу»;
3)задачи «на планирование»;
4)задачи «на зависимость между компонентами арифметических действий»;
5)задачи «на проценты»;
6)задачи «на смеси»;
7)задачи «на разбавление»;
8)задачи «с буквенными коэффициентами»;
9)задачи «на оптимальное решение» (т.е. на нахождение экстремума
функции);
10)другие виды задач.
Из привёденного выше перечня задач особое место занимают задачи «на
движение», так как решению этих задач мы уделяем много времени ежегодно с
5го по 9й класс. Именно поэтому чаще всего во второй части ГИА и в первой
части ЕГЭ мы встречаем задачу «на движение».2.Некоторые указания к задачам «на движение». Примеры.
1.Основными компонентами этого типа задач являются: а) пройденный
путь(S); б) скорость(v); в) время(t). Зависимость между указанными величинами
выражается известными формулами: S=v∙t , v=S:t , t=S:v. (1)
(указанные величины должны быть в одной системе единиц, например: если путь
в километрах, а время в часах, то скорость в километрах в час).
2.План решения обычно сводится к следующему:
а) Выбираем одну из величин, которая по условию задачи является
неизвестной, и обозначим её через x, y или z и т.д.
б) Устанавливаем, какая из величин является по условию задачи известной.
в) Третью (из оставшихся) величину выражаем через неизвестную (x) и
известную с помощью одной из формул (1).
г) Составляем уравнение на основании условия задачи, в котором указано, как
именно изменилась (уменьшилась, увеличилась и т.д.) третья величина.
3.Заметим, что если два какихлибо тела начинают движение одновременно, то
в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода до встречи
затрачивает, очевидно, одинаковое время. Аналогично обстоит дело и в случае,
если одно тело догоняет другое.
4.Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них
затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.
5.В задачах «на движение по реке» необходимо помнить следующие формулы:
vпо теч.=vсоб.+vтеч. ; vпротив теч.=vсоб.+vтеч. ; vсоб.=(vпо теч.+vпротив теч.):2.3.Классификация задач «на движение». Примеры.
Задачи «на движение» можно условно разбить на следующие типы задач:
1.Движение из одного пункта в другой в одном направлении.
Пример.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно
выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист
проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость
велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже
автомобилиста. Ответ дайте в км /ч.
Решение.
Для составления таблицы ответим на вопросы: а) в задаче два участника
движения или два условия движения? (два участника); б) какую величину
удобно обозначить за x ? (скорость велосипедиста); в) какая из величин нам
известна? (S=75 км).
Составим таблицу.
Автомобилист Велосипедист
v , км/ч x+40 x
t , ч
75 на 6 часов
х
S , км 75 75
<
75
х
40
Из второй строки таблицы легко получить уравнение:75 −
х
75
х
40
=6
x1=10, х2=−50 (не подходит по смыслу задачи).
Ответ: 10 км/ч скорость велосипедиста.
2.Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути.
Пример.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В,
расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился
обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал
останову на 3 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько
же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути
из В в А. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Для составления таблицы ответим на вопросы: а) в задаче два участника
движения или два условия движения? (два условия); б) какую величину удобно
обозначить за х ? (скорость из В в А); в) какая из величин нам известна? (S=70
км).
Составим таблицу.
Из А в В Из В в А
v , км/ч х−3 х
t , ч
70
х
3
>
70 на 3 ч (время
х
остановки)
S , км 70 70
Получаем уравнение:
70 =3
х
70
х
−
3
x1=10 , х2=−7 (не подходит по смыслу задачи).
Ответ: 10 км/ч скорость из В в А.3.Движение из разных пунктов навстречу друг другу.
Пример.
Расстояние между городами А и В равно 470 км. Из города А в город В выехал
первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города В выехал
со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого
автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А.
Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Для составления таблицы ответим на вопросы: а) в задаче два участника
движения или два условия движения? (два участника); б) какую величину
удобно обозначить за x? (скорость первого автомобиля); в) какая из величин нам
известна? (S1=350 км , S2=(470−350)км =120 км).
Составим таблицу.
1 автомобиль 2 автомобиль
v , км/ч x 60
350 >
х
t , ч
120 на 3 часа
60
S , км 350 120
Получаем уравнение:
350 −
х
120 =3
60
x=70(км/ч) –скорость 1 автомобиля.
Ответ: 70 км/ч.
4.Основные компоненты движения заданы в общем виде (задачи с
параметрами).
Пример.Дорога между посёлками А и В сначала имеет подъём, а потом спуск.
Велосипедист, двигаясь на спуске со скоростью на a км/ч больше, чем на
подъёме, затрачивает на путь от А до В ровно k часов, а на обратный путь от В
до А половину этого времени. Найдите скорость велосипедиста на подъёме и на
спуске, если расстояние между посёлками b км/ч.
Решение.
Так как на протяжении всего пути туда и обратно велосипедист на каждом из
участков как поднимался вверх, так и спускался вниз, то для облегчения
составления уравнения можно представить, что сначала на расстоянии b км
велосипедист ехал только вверх, а потом на расстоянии b км ехал только вниз.
Приняв за x км/ч скорость на пути «вверх», составляем таблицу:
«Вверх» «Вниз»
v , км/ч x x+a
t , ч
в +
х
в
= k+
ах
к (время «туда»
2
и
S , км b b «обратно»)
Получаем уравнение:
в +
х
в
=
ах
3к
2
x1,2=
4
в
ак
3
2
9
2
ка
2
16
в
к
6
По смыслу задачи подходит только положительный корень
x=
в
4
ак
3
2
9
2
ка
2
16
в
6
к
(км/ч)скорость на подъёме.
Скорость на спуске:
4
в
3
ак
2
9
2
ка
2
4
в
3
ак
+a =
16
в
6
к
в
2
9
2
ка
2
(км/ч)
16
6
к
Ответ:
в
4
3
ак
в
2
9
2
ка
2
16
к
6
км/ч, 4b>3ak.
5.Движение по водному пути.Пример.
Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. Из А в В по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в
пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот
прошёл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость
течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Для составления таблицы ответим на вопросы: а) в задаче два участника
движения или два условия движения? (два условия, а плот упоминается только
для нахождения общего времени движения); б) какую величину удобно
обозначить за x? (собственную скорость яхты); в) какая из величин нам
известна? (S1=S2=120 км); г) чему равна скорость плота? (скорость течения
равна 2 км/ч).
Составим таблицу.
«Туда» «Обратно»
v , км/ч x+2 x−2
120
х
2
t , ч
+
120
х
2
S , км 120 120
Получаем уравнение:
=
24 (t плота) – 1.
2
+
x1=22 , x2=−
=11
120
х
2
120
х
2
2 (не подходит по смыслу задачи).
11
Ответ: 22 км/ч скорость яхты в неподвижной воде.
6.Определение длины (или скорости) объекта, который двигается мимо
неподвижного наблюдателя.
Пример.По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении
следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны
соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метров.
Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо
товарного поезда равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
Решение.
Подобные задачи решаем, используя только формулу S=v∙t .
Для начала найдём скорость обгона: 90−30=60 (км/ч). Теперь данная задача
сводится к ситуации, когда пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч за
1 минуту проходит мимо неподвижного объекта длиной 600 метров. Если длину
пассажирского поезда принять за x км, то получаем уравнение:
x+0,6=60∙
1
60
x=0,4 (км)
Ответ: 400 метров− длина пассажирского поезда.
7.Тела движутся по окружности.
Пример № 1.
Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за
ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а ещё через 31 минуту после этого догнал его во
второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 31 км.
Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Подобные задачи удобно решать с помощью введения двух неизвестных.
Пусть vвелос.=x км/ч, vмотоц.=y км/ч. Тогда до первой встречи Sвелос.=
50 ∙x км,
60
Sмотоц.=
10 ∙y км, причём Sвелос.=Sмотоц. . А до второй встречи Sвелос.=
60
31
50
60
∙x км,31
Sмотоц.=
10
60
уравнений:
∙y км, причём Sвелос.< Sмотоц. На 31 км. Получаем систему
50
60
41
60
x
y
10
60
81
60
y
x
31
x=15(км/ч) скорость велосипедиста.
y=75(км/ч) – скорость мотоциклиста.
Ответ: 75 км/ч.
Пример № 2.
Часы со стрелками показывают 7 часов 50 минут. Через сколько минут
минутная стрелка в четвёртый раз поравняется с часовой?
Решение.
Глядя на часы, легко понять, что vм.стрелки=1 круг/час, vч.стрелки=
1 круг/час.
12
Если до первой встречи потребуется x часов, то Sч.=
1 ∙x круга, Sм.=1∙x круга,
12
причём Sч.20.
№ 4 (слайд 4).
Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за
ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а ещё через 3 минуты после этого догнал его во
второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км.
Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть vвел.=х км/ч, vмот.=yкм/ч.
1
5
1
12
1
х
у
30
1
4
у
5
х
Домножим первое уравнение на 30, получим:
6
х
х
5
4
6
х
5
у
х
2
у
х
4х
у
20
120
Ответ: 120 км/ч −скорость мотоциклиста.
№ 5 (слайд 5).
Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость
лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в
км/ч.
Решение.
Против течения По течению
v , км/ч х3 х+3
t , ч
55
х
3
S , км 55 55
>
55
х
3
на 6 часов
Уравнение
55
х
3
55
х
3
6
дорешать дома.
№ 6.
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть −
со скоростью 120 км/ч, а последнюю −со скоростью 110 км/ч. Найдите
среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
vсредняя=(весь путь):(всё время движения)
1. Пусть весь путь − 1.
2. Тогда t1=
1 :60=
3
1 (ч); t2=
180
3. vсредняя=1:(
1
180
1
360
1
330
Ответ: 88 км/ч.
1 (ч); t3=
360
1 :120=
3
3960 (км/ч)
45
88
)=1:
№ 7 (если останется время).
1 :110=
3
1 (ч).
330Часы со стрелками показывают 11 часов 50 минут. Через сколько минут
минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?
Решение.
Показать на модели часов, что стрелки поравняются через 10 минут ровно в
12 часов.
Ответ: 10 минут.
№ 8 (если останется время).
Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут
минутная стрелка в четвёртый раз поравняется с часовой?
Решение.
Используя модель часов, получаем:
1. Пусть скорость часовой стрелки vч.=
1 окружности циферблата за час, а
12
скорость минутной стрелки −vм.=
1 окружность циферблата за час.
1
1
2. В первый раз минутная стрелка проделает путь, равный пути часовой
стрелки, плюс 40 минут(
2 циферблата)
3
1∙t>
t на
2
3
1
12
1
12
8 (часа)
11
t+
2
3
t=
t=
3. Во второй, третий и четвёртый разы минутная стрелка проделает путь,
ровно на 1 круг больше пути часовой стрелки.
1∙t>
t на 1
t=
t+1
1
12
1
12t=1
1 (часа)
11
4.
8
11
13
1
11
4
(часа) ; 4 часа=240 минут.
Ответ: через 240 минут минутная стрелка в четвёртый раз поравняется с
часовой.
V. Подведение итогов урока.
1. Задачи на какую тему мы решали? (задачи «на движение»).
2. Какие основные типы задач выделили? (движение в одном направлении или
навстречу друг другу по земле; «половинный путь»; круговые трассы; движении
по водному пути; нахождение средней скорости).
3. На что следует обратить внимание при решении задач «на движение»? (чаще
всего подобные задачи решаем с помощью дробных рациональных уравнений; за
х чаще всего принимаем скорость; при составлении уравнения все величины
должны быть в одной системе единиц; во многих задачах, где не указано
расстояние, это расстояние принимают за 1; ответ в подобных задачах не может
быть выражен 0 или отрицательным числом; прежде чем записать ответ, надо
ещё раз прочитать вопрос задачи; в задачах «на круговые трассы» и «стрелки»
очень помогает наглядность).
VI. Домашнее задание.
Довешать задачи 2,3,5, решить задачу: «Часы со стрелками показывают 11
часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в первый раз
поравняется с часовой?» .
Урок № 2.
Тема : «Самостоятельная работа по теме «Задачи на движение»».
Цели урока:
−проверить умение учащихся решать задачи «на движение»;
−выявить наиболее проблемные места при решении задач данного типа;−продолжить повторение некоторых типов задач «на движение».
I. Проверка предыдущего домашнего задания.
Устно сверим ход решения и ответы.
№ 2.
126
х
126
х
5
5
ОДЗ:
х
х
0
5
126∙(х+5)=126∙х+5х∙(х+5)
126х+630=126х+5х2+25х
5х2+25х−630=0
х2+5х−126=0
D=25+504=529=232
x1=
23
5
2
9
; х2=
23
5
2
14
(не подходит по смыслу задачи).
Ответ: 9 км/ч −скорость велосипедиста из А в В.
№ 3.
1
х
5,0
х
4
5,0
30
ОДЗ:
х
х
х
0
4
20
30∙(х−4)=15∙х+0,5х∙(х−4)
30х−120=15х+0,5х2−2х
0,5х2−17х+120=0
х2−34х+240=0
D1=172−240=289−240=49
x1=17+7=24 ; х2=17−7=10 (не подходит, т.к. по условию х>20).
Ответ: 24 км/ч −скорость первого автомобиля.
№ 5.
55
3
х
55
3
х
6
ОДЗ: х≠ 355∙(х+3)−55∙(х−3)=6∙(х2−9)
55х+165−55х+165=6х2−54
6х2=384
х2=64
х1=8 ; х2=−8 (не подходит по смыслу задачи)
Ответ: 8 км/ч −скорость лодки в неподвижной воде.
Задача.
По модели часов видно, что минутная и часовая стрелки встретятся в первый
раз через 40 минут.
II. Устно:
1. Назовите формулу пути. (S=v∙t).
S ).
v
2. Как найти v? t? (v=
S ; t=
t
3. Что чаще всего обозначаем за х при решении задач на движение по земле?
воде? (v ; vсобств.). Но при этом помним, что так бывает не всегда!
4. Как найти скорость по течению? Скорость против течения?
(vпо теч.=vсоб.+vтеч. ; vпротив теч.=vсоб.−vтеч.).
5. На что важно обратить внимание при решении дробного рационального
уравнения? (ОДЗ).
III. Самостоятельная работа.
Вариант I.
1. Решите задачу.
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час −со
скоростью 100 км/ч, а затем два часа −со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
2. Составьте уравнение к задаче (не решать).
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скоростьтечения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в
км/ч.
3. Решите задачу, используя № 4 прошлой классной работы.
Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за
ним отправился мотоциклист. Через 4 минуты после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а ещё через 12 минут после этого догнал его во
второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 10 км.
Ответ дайте в км/ч.
(Ответы: 1) 70 км/ч; 2)
112
11
х
Вариант II.
1. Решите задачу.
112
11
х
6
; 3) 70 км/ч).
Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа −со
скоростью 100 км/ч, а последний час −со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
2. Составьте уравнение к задаче (не решать).
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость
лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в
км/ч.
3. Решите задачу, используя № 4 прошлой классной работы.
Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 минут следом за
ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а ещё через 30 минут после этого догнал его во
второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 50 км.
Ответ дайте в км/ч.
(Ответы: 1) 92 км/ч; 2)
225
1
х
225
1
х
2
; 3) 110 км/ч).После завершения работы, я устно поясняю ход решения задач и озвучиваю
ответы.
IV. Решение задач (вызываю учащихся к доске).
№ 1572 («Все задания группы В. Закрытый сегмент» под ред.
А.Л.Семёнова, И.В.Ященко, «Экзамен»,2012).
Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый
проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину
пути со скоростью, меньшей первого на 15 км/ч, а вторую половину пути −со
скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым
автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что
она больше 54 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть х км/ч −скорость первого автомобилиста, тогда (х−15) км/ч −скорость
второго автомобилиста на первой половине пути, 1 −весь путь.
t1=
1 ч, t2=(
х
5,0
х
15
5,0
90
)ч, t1=t2
1
х
5,0
15
х
5,0
90
ОДЗ:
х
х
х
0
15
54
90∙(х−15)=0,5∙90х+0,5х∙(х−15)
90х−1350=45х+0,5х2−7,5
0,5х2−52,5х+1350=0
х2−105х+2700=0
D=11025−10800=225
х1=
15
105
2
60
; х2=
15
105
2
45
(не подходит).
Ответ: 60 км/ч −скорость первого автомобилиста
Задача.Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за
ним отправился мотоциклист. Через 25 минут после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а ещё через 27 минут после этого догнал его во
второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 18 км.
Ответ дайте в км/ч.
Решение.
1. Пусть х км/ч −vВ, y км/ч −vМ.
2. SВ1=
3. SВ2=
65
60
92
60
х
км, SМ1=
х
км, SМ2=
25
60
52
60
y
км ;
65
60
х
y
25
60
y
км ;
52
60
y
92
60
x
18
4.
13
12
52
60
5
x
y
12
92
60
y
x
18
y=2,6х
2,135
60
х
92
60
х
18
2,43
60
х
18
х
18
60
2,43
x=25 (км/ч) −vВ.
y=2,6∙25=65 (км/ч) −vМ.
Ответ: 65 км/ч −скорость мотоциклиста.
Если останется время, решим задачу: «Первые 190 км автомобиль ехал со
скоростью 50 км/ч, следующие 180 км −со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км
−со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении
всего пути. Ответ дайте в км/ч».
Решение.vсред.=(весь путь) : (всё время)
1) 190+180+170=540 (км) −весь путь.
2) 190:50+180:90+170:100=3,8+2+1,7=7,5 (ч) −всё время.
3) 540:7,5=72 (км/ч) −средняя скорость.
Ответ: 72 км/ч.
V. Домашнее задание: из сборника «ЕГЭ: 300 задач с ответами по математике.
Все задания группы В». № 1573, № 1576, № 1602 стр. 238 −243.
№ 1573.
Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый
проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину
пути со скоростью 33 км/ч, а вторую половину пути −со скоростью, на 22 км/ч
большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым
автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть 1 −весь путь, х км/ч −скорость первого автомобилиста, тогда время,
затраченное первым автомобилистом − t1=
1 часов, а время, затраченное
х
вторым автомобилистом − t2=
5,0
33
5,0
22
х
часов.
Так как автомобилисты затратили на весь путь одинаковое время, то
1
х
5,0
33
5,0
22
х
ОДЗ:
0
х
х
22
33∙(х+22)=0,5х∙(х+22)+0,5∙33х
33х+726=0,5х2+11х+16,5х
0,5х2−5,5х−726=0
х2−11х−1452=0
D=112−4∙(−1452)=121+5808=5929=772х1=
77
11
2
44
; х2=
77
11
2
33
(не подходит по смыслу задачи).
Ответ: 44 км/ч −скорость первого автомобилиста.
№ 1576.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В,
расстояние между которыми равно 78 км. На следующий день он отправился
обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку
на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени,
сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Из А в В Из В в А
v , км/ч х х+7
t , ч
78
х
7
S , км 78 78
78 =
х
+ 7(время остановки)
78
х
78
7
х
7
ОДЗ:
х
х
0
2
78∙(х+7)=78∙х+7х∙(х+7)
78х+546=78х+7х2+49х
7х2+49х−546=0
х2+7х−78=0
D=72−4∙1∙(−78)=49+312=361=192
х1=
19
7
2
6
; х2=
19
7
2
13
(не подходит по смыслу
задачи)
Ответ: 6 км/ч −скорость велосипедиста на пути из А в В.
№ 1602.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 384 км и после
стоянки отправляется в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в
неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов,
а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из
него. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть х км/ч −скорость теплохода в неподвижной воде. Составим таблицу:
По течению Против течения
v , км/ч х+4 х−4
t , ч
384
х
4
S , км 384 384
384
х
4
+
+ 8 = 48
Получаем уравнение:
384
4
х
384
4
х
40
ОДЗ:
х
х
4
4
Разделим обе части уравнения на 8 :
48
х
4
48
х
4
5
48∙(х−4)+48∙(х+4)=5∙(х2−16)
48х−192+48х+192=5х2−80
5х2−96х−80=0
D1=482−5∙(−80)=2304+400=2704=522
х1=
48
52
5
100
5
20
; х2=
52
48
5
8,0
(не подходит по смыслу
задачи).
Ответ: 20 км/ч −скорость теплохода в неподвижной воде.5.Список литературы.
1) Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа.»−М.: Просвещение, 1990;
2) Семенов А.Л. «ЕГЭ: 300 задач с ответами по математике. Все задания группы
В/ А.Л.Семенов, И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, М.А.Посицельская,
С.Е.Посицельский, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, П.И.Захаров, А.В.Семенов,В.А.Смирнов; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко.−3е изд., перераб. и доп.
−М.: Издательство «Экзамен»,2012.
3) http:// mathege.ru – Открытый банк задач ЕГЭ по математике.