Проект в 8 классе по теме "Разрезания и складывание четырёхугольников."

Инновационная деятельность педагога в современных условиях. Инновационная деятельность педагога является неотъемлемой частью процесса  его профессионального совершенствования. Тому, кто работает в традиционной  системе, достаточно овладения техникой, представляющей собой комплекс  обучающих умений. Уже это позволит проводить учебно­воспитательную работу в  полном объеме и добиться при этом тех или иных успехов. Однако для  осуществления инновационной деятельности педагога одной его профессиональной  подготовки оказывается недостаточно. Важна при этом и готовность самого учителя  к становлению на путь совершенствования.  Определение понятия: Что мы понимаем под инновационной деятельностью педагога? Это что­либо новое, если сравнивать его с предыдущим, направленное на повышение  качественного уровня образования. В целом термин «инновация» в современном его  понимании означает проявление новых элементов или форм. Синонимом данного слова  является «новшество». Инновационная деятельность современного педагога  рассматривается несколько глубже, имея при этом более широкое смысловое обозначение.  Под ней понимают целенаправленную работу учителя, основанную на осмыслении  собственного профессионального опыта путем изучения и сравнения учебно­ воспитательного процесса для его изменения и получения при этом более качественного  образования. Можно сказать, что инновационная деятельность педагога является  феноменом, в котором находит отражение творческий потенциал учителя. Исходя из опыта инновационной деятельности педагога в рамках методико­ ориентированной работы, им может быть использовано обучение:  ­ развивающее;  ­ дифференцированное;  ­ проектное;  ­ проблемное;  ­ программированное;  ­ модульное. Я бы хотела остановится на проектном обучении. И поделится некоторыми  проектами, которые я применяю на уроках математики. Проекты 7 класс геометрия Проект 1 СОСТАВЛЯЕМ ЗБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ 1) Каждую неделю ученик может составить (или подобрать с дополнительной  литературы) и решить задачу с темы, что изучается. Текст задачи и ее решение  подаётся учителю и присылается в электронном виде для составления базы. 2) По окончании четверти задачи систематизируются и предлагаются ученикам для  решения на каникулах. 3) После каникул проводится конкурс на лучшее задачу и решение.  4) По окончании года составляется сборник задач (электронный или бумажный),  который состоит из более500 задач. Проект 2 ИНТЕГРОВАННЫЙ ПРОЕКТ С МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И  ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА НА ТЕМУ «ТРЕУГОЛЬНИКИ» 1)Каждый ученик может брать участие в работе одной из проектных групп, которые  работают над под темами «Основные сведенья о треугольниках» и «Равенства  треугольников». 2) Результат работы над проектом желательно оформить в виде групповых портфолио с компьютерной презентацией. Разделение деятельности в группе можно осуществить  таким способом: научный­консультант, дизайнер, историк, менеджер… 3) О теме, цели, заданиях и содержании проекта желательно узнать заранее. Каждый  участник проекта должен самостоятельно ознакомится с основными понятиями и  утверждениями, перевести их на иностранным язык и подготовить короткую  компьютерную презентацию. 4) Защита проектов происходит перед изучением темы « Треугольники» с участием  учителей математики, информатики, иностранного языка и других. ИНТЕГРОВАННЫЙ ПРОЕКТ С МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И  ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА НА ТЕМУ «ТРЕУГОЛЬНИКИ» ­ Сумма углов треугольника равняется 180°. ­ Die Summe der Innenwinkel in einem planaren ( ebenen) Dreiecr betragt immer 180°. ­ The measures of the  interior angles of the triangle always add up to 180 degrees. РИСУНОК ТЕЛЕФОН Проект 3 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЕЧЕР НА ТЕМУ «РЕКЛАМА В ГЕОМЕТРИИ» 1) Для рекламы предлагают два объекта: равнобедренный треугольник и  прямоугольный (или окружность и круг). 2) С помощью рекламы специально приготовленной информации о выбранных видах  геометрических фигур) предусматривается получить «прибыль» в знаниях тех, кто  готовит рекламу, и тех, кто ее слушает. 3) Заказчик – учителя и родители, потребители – ученики класса или параллельных  классов, друзья и т д. 4) Реклама может быть напечатанной, сувенирной, ауди­, видео­, компьютерной  презентацией, устным сообщение. 5) Реклама должна быть интересной, доступной, понятной, динамичной, правдивой и  выделятся среди других рекламных сообщений. 6) В рекламной компании могут брать участие все желающие. 7) Эффективность рекламной компании оценивается по результатам викторины, в  которой берут участие и рекламодатели, и потребители. 8) Реклама может базироваться как на сити математических сообщений (Треугольник  Наполеона), как и на использование математических знаний в жизни (Модульное  оригами). НАЙТИ ТРЕУГОЛЬНИК НАПОЛЕОНА и МОДУЛЬНОЕ ОРИГАМИ  Проект 4 ВЫСТАВКА – АУКЦИОН «ГЕОМЕТРИЯ В МОИХ РУКАХ» 1) Каждый ученик или небольшая группа учеников мастерят своими руками для  выставки один или несколько экспонатов, который сопровождаются короткой  аннотацией. 2) Экспонаты могут касаться разных сфер жизнедеятельности человека ( изделия из  дерева, метала и других материалов; вышивки, орнаменты, украшения, сувениры;  кондитерские изделия; игрушки). Основная цель – каждого экспоната должна  состоять (спиввидноситись) из образов геометрических фигур. 3) В аннотации отображается связь экспоната с геометрией, подаются интересные  факты про сферу его применения и коротко описывается процесс изготовления или  создания. 4) Выставка может происходить в несколько этапов. Правило проведения выставки –  аукцион разрабатываются и сообщают заранее. СХЕМА ИЗГОТОВЛЕНИЯ СНЕЖИНКИ Проект 1 Разрезания и складывание четырёхугольников. 8 класс  «Предмет математики настолько серьезный,  что полезно не потерять возможности,  делать его как угодно интересным»  Блез Паскаль Класс делим на три группы: историки, математики, практики. Каждый ученик  может взять участь в работе одной или двух проектных групп. 1) ИСТОРИКИ изучают возникновение та использование разных способов  разрезания и складывания четырёхугольников ( танаграм, стомахион, вытывання, оригами и т д). На защиту проекта готовят короткое сообщение и презентацию с  конкретными примерами. Например: Вытынанка — что это такое? Определение, значение, перевод Вытынанка, она же витинанка (ударение в обоих случаях на первую «а») это славянское новогоднее украшение, представляющее из себя вырезанный из бумаги орнамент. Слово вытынанка происходит от древнеславянского и украинского глагола «витинати», который означает «вырезать». Так что можно на современный лад назвать вытынанку «вырезанкой». Как сделать вытынанку своими руками? Да очень просто! Берём готовый трафарет (такой, такой или даже вот такой), распечатываем на принтере и вырезаем. Дюже красиво! ВЫТЫНАНКА – это сюжетные и орнаментные украшения жилья,  выдавленные ножницами или вырезанные ножом с белого или цветной  бумаги, которую складывают вдвое или в четверо, восьмеро и т д.. Вытынанки в виде орнаментных лент образуют длинных лент бумаги,  которую складывают «гармошкой» два, четыре, восемь и больше раз. Потом вырезают орнамент. На линиях изгиба образуют симметричные повторения  изображений. Вытынанки в виде ажурных, сетчатых орнаментов вырезают с бумаги, что  имеет форму прямоугольника, квадрата, правильного треугольника или  шестиугольника. Лист бумаги прямоугольной формы складывают много раз  пополам по линиям, параллельным сторонам прямоугольника. Лист бумаги в форме квадрата перегибают пополам и по диагоналям. РИСУНКИ 2) МАТЕМАТИКИ подбирают и решают геометрические задачи, которые касаются разрезания и складывания четырёхугольников. Исследуют наличие разных  способов выполнения задания. На защиту готовят портфолио с условиями задач, способами их решения и реальными моделями.  Это могут быть задачи разной сложности – от простых (квадрат разрезать на два  равных квадрата) к более сложным (из двух квадратов разных формы составить  третий). 3)         ПРАКТИКИ изучают разные предметы быта, что образуют разрезания и  складывания четырёхугольников (шитье салфеток из кусочков ткани или  вязаных квадратов, составление модульного оригами, составление паркетов,  изготовление украшений из аппликаций). Потом один из предметов и делают  своими руками. На защиту готовят выставку изделий. Подают схему и  особенности изготовления изделий. ПРИМЕРЫ  ПРОЕКТ 2 «ПОДОБИЕ И САМОПОДОБИЕ» Ученики формируются в группы, каждая из которых работает над одной из  ниже предложенных тем.  1) Подобие треугольников в работах математиков разных времен.  Например: ­ Учение про подобие фигур образовывалась в Стародавней Греции в 5­6 ст до н  э в трудах Гиппократа Хиоского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского.  Евклид подает утверждение о подобии фигур в шестой книге «Основ». ­ Китайский математик Лю Хуей (200­280 л) написал произведение  «Математичный трактат о морском острове». У него на конкретных примерах с  помощью метода подобия треугольников раскрыл прием определения  расстояния к недоступным объектам и их размеров: высота острова, сосны,  башни; ширина гор, стен, речки; глубина ущелья, ямы. 2) Пантограф – прибор для увеличения или уменьшения изображения.  Объяснить принцип работы. Этот прибор в свое время активно использовался в  маркшейдерских работах (освоение месторождения полезных ископаемых), геодезия и в других видах деятельности. С развитием компьютерной техники и  машинной графики роль пантографа существенно уменьшилась. 3)Использование подобия в: ­ разных отраслях знаний (физика­изображение в линзах, биология­  многократное увеличение составляющих крови и т д); ­ архитектуре и строительстве (планы квартир, домов …); ­ производство (моделирование одежды и обуви, упаковки продукции); ­ искусство (схемы для вышивания крестиком). 4) Простые самоподобные фигуры и их образование. Самоподобные  геометрической фигурой называют фигуру, которую можно разбить на  бесконечное количество ее частей (что не имеет общих внутренних точек),  каждая с которых подобна всем фигурам с определенным коэффициентом  подобия.   k = ½ k = 1/3 5) Фракталы как пример самоподобных фигур. Рассмотрим листок  папоротника. Каждый меньший его листок, размещен на стебле, повторяет  строение большего. А каждый из листочков, на меньших, подобный к большему,  и меньшему, на котором он размещен. Ярким примером фрактала и самоподобия фигуры есть дракон Хартера. Вот так выглядит число  .∏ 6) Использование подобия в быту. Например, вы хотите сделать своими руками  подарок маме. Это может быть мягкая игрушка. Выкройка рассчитана на  маленькую игрушку, а вы хотите сделать ее больше. Какие ваши действия? Как  увеличить ее с помощью клеток? Результат работ над проектом каждая группа оформляет в виде портфолио с компьютерной презентацией.  Проект 3 «Прямоугольный треугольник в исторических задачах» Этот проект целесообразно выполнять индивидуально по плану. 1) Что такое исторические задачи. 2) Выдающиеся математические задачи. 3) Примеры трех исторических задач разных народов и разных времен, что  касаются прямоугольного треугольника. 4) Решение обратных задач. 5) Сведения об авторе задачи (если такие есть) или краткая характеристика  эпохи, в которую были созданы задачи. Задачи, сохраненные историей, что передаются от поколения к поколению,  называют исторические задачи. Это задачи с давних времен исторические  памятники, задачи, созданы известными математиками или другими  историческими людьми, задачи с давних учебников и трактатов, журналов  или другими печатными источниками, а также с математическим  фольклором разных народов. Много задач, которые дошли и к нам из прошлого, интересные не  сколько в математическом, а сколько в историческом понимании: они дают  возможность современникам оценить уровень развития математики в разные  времена. Такие задачи были поставлены потребности в практике и решались  еще 2000 лет до нашей эры, про что свидетельствуют тексты египетские  бумаги, вавилонских глиняных дощечках (определения китайские рукописи  (4 прямоугольные треугольники со сторонами 3, 4 и 5 и квадрат со стороной  1 образовывает квадрат со стороной 5). К выдающимся математическим задачам принадлежат задачи о  квадратуре круга, удвоения куба, трисекция угла. Общи известными есть  задачи об серпики Гиппократа, кёнигсбергские мосты, четыре краски и т д. Рассмотрим несколько исторических задач. Задача Аль­Бируни: Зная высоту горы, которая находится на открытой  местности, найти радиус Земли. Решение: Пусть высота горы hа радиус Земли R. Измерив  горизонта с вершины горы), получим R = (R+h) cosα . Можем найти R: R= R hcos α 1−cosα . cosα + h  cosα  или R(1­ cosα ) = h cosα . Отсюда R =  α  ( угол наклона Абу Рейхан аль­Бируни (973­1048)­хорезмский ученый­энциклопедист. Сделал  значимый вклад в математику, астрономию, физику, минералогию, историю и  этнографию. Имел существенные достижения в арифметике, алгебре, геометрии  и тригонометрии. В III книге «Канон Масуда» Бируни и изложил свои рассуждения с  тригонометрии: дал определение основных шести тригонометрических функций, рассмотрел их свойства, вывел некоторые тригонометрические формулы,  составил таблицы зависимости тригонометрических величин. Развивал и широко  использовал тригонометрию как математическую основу практической  астрономии. Разработал новый метод определения радиуса Земли путем  наблюдения положения горизонта с вершины горы. 2) Задача Г Шрейбера. За данными гипотенузы и суммой катетов найти катет. Решение: Если c – гипотенуза, а a+b=s – сумма катетов, то c² = a² + b² ­ теорема  Пифагора; s² = (a+b)² = a² + 2 ab + b² = c² + 2ab, отсюда s² ­ c² = 2ab. Имеем  систему уравнений:  { а+b=s а∙b=0,5(s2−c2).  Зная сумму и произведение двух  чисел, можно найти a и b. Г Шрейбер ( ≈ 1492­1525) – немецкий математик и теоретик музыки,  преподаватель математики Введенского университета. Предложенная задача  содержится в его трактате «Учение о целых числах и дробях». 3) Задача Виета: если a и b катеты прямоугольного треугольника, то √а2+b²  ­ гипотенуза, а если а – катет, а с – гипотенуза прямоугольного  треугольника, то  √с²−b²  ­ другой катет. Используя это, построили: 1) а √5 ; 2) а √11 . Решение: Преобразуем каждое выражение 1) а √5 = а  √5а²  =  √а2+4а2  =  √а2+(2а)2 2) а  √11  = а  √11а²  =  √36а2−25а2  =  Имеем:  ; а 5¿ ¿ √¿ (6а)2−¿ . 1) а √5  – гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого  равняются, а и 2а. 2) а √11  – катет прямоугольного треугольника со стороной 6а  (гипотенуза) и 5а (катет). Француа Виет (1540­1601) – извечный французский математик. По  образованию юрист. Был адвокатом и советником французских королей.  Математикой занимался на досуге. Создал алгебраическую символику,  что способствовало развитию алгебры как науки. Применял геометрию и  тригонометрию к решению уравнений и в такой способ вывел много  отношений между тригонометрическими функциями углов.  Проекты по алгебре. Функция вокруг нас. Этот проект состоит из двух частей. Первая часть посвящена рассмотрению общих теоретических вопросов, что  касается функции. Ученики выбирают направление исследования и в такой способ  делятся на группы: «дизайнеры», «историки», «журналисты», «специалисты с  информационных технологий», «математики». Каждый ученик может взять участие  в работе одной или двух проектных группах. Дизайнеры выясняют., где и как используют элементы графиков функций в  художественно­техническом проектировании отдельных изделий и их комплексов в разных сферах знаний – в архитектуре, отделка одежды и другое. Приводят примеры таких  функций. Историки изучают возникновение и использование понятия «функция». На защиту  готовят короткое сообщение и презентацию с конкретными определениями и сведенья об  авторе. Например: Во второй половине ХIХ ст. (после создания теории множеств) в определении функция,  кроме идей соответствия, включено еще и идею множества: «Если каждому элементу х  множества А поставлено в соответствии некоторый определенный элемент у множества В,  то говорят что на множестве А задано функцию у=f(x) или, что множество А отображается на множество В». Такое определение функции можно применять не только к величинам и  числа, а и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. Журналисты ищут художественные произведения или отдельные цитаты, в  которых вспоминаются о тех или иных функциях и их свойствах. Например: ­Нет ни одной отрасли человеческого знания, куда не входили бы понятия о функции и ее  графическое изображение. К Ф Лебединцев. Специалисты с информационных технологий демонстрируют, как с помощью  информационных технологий можно построить графики сложных функций, изучить их свойства и решать уравнения, неравенства и их системы. Например, строят график  функции в Excel, Gran, GeoGebra. Математики – изучают функции, что рассматриваются в основной школе.  Например, функции целой и дробной части числа, показательные, тригонометрические  функции. Вторая часть проекта посвящена моделированию разных процессов во время  решения прикладных задач. Предусматривается, что функция, геометрические фигуры,  выражения, уравнения и их системы, диаграммы будут использоватся как математическая  модель. Ученики должны ознакомится с теоретическим материалом «Математическое  моделирование» и решить задачи. Ученикам предлагается самостоятельно проработать  поданный теоретический материал. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. Математическими методами решают не только абстрактные математические задачи  о числах, фигуры, функции и много других. Прикладные задачи в математике называют  такие условия, которые содержат нематематические понятия. Решая прикладную задачу  математическими методами, сначала составляют ее математическую модель. Задача 1.В двух магазинах­580 кг яблок. Сколько яблок в каждом магазине, если в первом  на 60 кг больше, чем во втором. Составьте разные математические модели этой задачи. Решение: Пусть в первом магазине – х кг яблок, тогда во втором – (х­60) кг, а вместе – (х+х­60) кг. Составим и решим уравнение х+х­60=580; 2х=640; х=320, х­60=320­60=260 Ответ:320 кг и 260 кг. Уравнение х+х­60=580­одна из математических моделей рассмотренной задачи. Можно  составить и другую модель. ­ уравнение  ­ система уравнений у+у+60=580; {х+у=580, х−у=60   Моделью называется специально созданный объект, который отображает свойства  исследовательского объекта ( от французского слова modele­ копия,образец)  Уменьшенные модели самолета, автомобиля, плотина – примеры физических моделей. Математическая модель – это система математических соотношений, которая в  абстрактной форме описывает исследовательский объект, процесс или явление. Математические модели создают с математических понятий и отношений: геометрических  фигур, чисел, выражений. Математические модели по большей части бывают функции,  уравнения, неравенства, системы.  Процесс построения математической модели и дальнейшее ее применение для решения  конкретных задач называется математическим моделированием. Решение прикладной задачи математическими методами осуществляется в три этапа: 1) составление математической модели задачи; 2) решение соответственной математической модели; 3) анализ ответов. Задача 2. Достаточно одного миллиона литров воды для проведения соревнований  с плавания в бассейне с горизонтальным дном прямоугольной формы длиной 100 м  и шириной 25 м? Решение: 1) Составление математической модели задачи. Вода в бассейне с  горизонтальным дном приобретает форму прямоугольного параллелепипеда,  который и есть для данной задачи математической модели реального объекта. В  этом параллелепипеде одно ребро соответствует высоте воды (а­искомое значение),  другие ребра­длина(b) и ширина (с) бассейна. 2)Решение математической задачи. V = abc – объём прямоугольного  параллелепипеда с измерениями а, b, с. По условию задачи а=100м, с=25 м;  V=1000000 л=1000000 дм ³ =1000м³. Имеем: 1000=а ∙  100  ∙  25, отсюда а =  1000 2500  = 0,4(м). 3)Анализ ответа. Для соревнований с плавания глубина 0,4 м – слишком мала.  Следовательно, 1000000 л воды в данном бассейне недостаточно для проведения  соревнований с плаванья. Ответ: не достаточно.  Решим вместе! 1) Два фермера, работая на комбайнах, могут вместе собрать урожай  пшеницы за12 часов. За какое время каждый из них, работая отдельно, мог  собрать этот урожай, если известно, что продуктивность работы первого в  1,5 раза больше от второго? Решение: Пусть первый фермер может собрать эту пшеницу за х ч, тогда  второй­за 1,5х ч. За 1ч первый может собрать  1 х  часть поля, а второй ­ 1 1,5х  часть. Вместе за 1 час они собирают урожая  1 х  +  1 1,5х  =  1 12 часть поля.  1 х  (1 +  Отсюда   30.  Ответ: 20ч, 30ч. 1 1,5  ) =  1 12 ; х =  2,5 1,5   ∙  12; х=20; 1,5  ∙  20 =  2) На протяжении каждого тиража лотереи используют 55000 руб. Один билет лотереи стоит 1 руб. Третья часть от продажи билетов идет в выигрышный  фонд, четверть – на оплату налогов, а остальные – прибыль организаторам  лотереи. Какой была прибыль, если продали 180.000 билетов? Сколько  билетов нужно продать, чтобы иметь прибыль больше 30.000 руб?  Решение: 1) Пусть S – выручка за продажу билетов, а P – прибыль. Тогда S =  S 3  + S 4  + 55.000, а P =   5S 12  – 55.000. 2) 1. Если S = 180.000 руб, то Р=   5∙180.000 12  – 55.000 = 20.000 (руб). 2. Если Р > 30.000, то   3. Если Р  ≤  0, то   5S 12 – 55.000 > 30.000, а  S > 204.000 (руб). 5S 12  – 55.000  ≤  0, а S ≤ 132.000.        3) Поскольку один билет лотереи стоит 1 руб, то количество проданных  билетов (К) численно равняется выручке. Следовательно, если К  ¿  204.000 штук, то  прибыль превысит 30.000 руб, а если К ≤ 132.000, то организаторы прибыли не будут  иметь.  Ответ: 20.000 руб; больше 204.000 штук; если количество проданных билетов не превысит  132.000 штук. Составьте математическую модель к задачам и решите их. 1) Корова привязана на лугу к колышку веревки длинной 8 м. Какую площадь она  описывает? 2) Чтобы поднять ведро с колодца, нужно сделать 12 оборотов коловорота. Найдите  глубину колодца, если диаметр вала коловорота 24 см. 3) Отец старше сына в 4 раза, а через 5 лет он будет старший за сына только в 3 раза.  Сколько лет сыну теперь? 4) ЗАДАЧА БЕЗУ. Рабочему сказали, что он получит по 24 су за каждый  отработанный день, но при этом вычтут по 6 су за каждый прогул. Через 30 дней  оказалось, что ему нечего получать. Сколько дней он работал? 5) На одном складе угля больше в 2 раза, чем на другом. Если на первый привезли еще  80 т, а на второй – 145т, то на обоих складах угля будет поровну. Сколько тонн угля есть на каждом складе? 6) В одном мешке было 60 кг сахара, а вдругом­80 кг. Со второго мешка взяли сахара  в три раза больше, чем с первого, и тогда в первом мешке осталось сахара в двое  больше, чем в первом. По сколько килограмм сахара было в каждом мешке? 7) Решите задачи 7 и 8 и составьте математическую модель. Два кузнеца  выполняют определенную работу за 8 дней. За сколько дней выполнит второй  кузнец, если первый может выполнить эту работу за 12 дней? 8) А) Одна бригада может выполнить работу за 3 часа, вторая – 5 ч. За сколько часов  выполнят эту работу обе бригады вместе? Б) Одной из двух труб бассейн может наполнить за 3 ч, а другой – за 5 ч. За сколько  часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы? В) От станции А до станции В и от В до А одновременно выехали два автомобиля.  Через сколько часов они встретятся, если известно, что первый автомобиль  расстояние АВ преодолеет за 3 часа, а второй – за 5 часов? Проект: Применение математики. Цель данного проекта состоит в том, что ученики в процессе  самостоятельной научно­познавательной деятельности раскрыли значение  математики в повседневной жизни, особенно использование процентные расчеты и  статистические сведения. Предвидится, что проектная деятельность будет  сопровождается составлением и решением разных задач на проценты, а также  анализом и построением диаграмм. Ученики класса формируются в малые группы. По желанию можно  выполнять и индивидуальную проектную деятельность. Каждая группа выбирает  для проектную деятельность одну из предложенных тем: 1) Математика в профессии моих родителей. 2) Математика в транспорте. 3) Математика в сельском хозяйстве. 4) Математика на кухне. 5) Как использую я свободное время. 6) Каким книжкам я даю преимущество. 7) Индекс массы в моей семье. 8) Интернет в моей семье­эффективность его использования. 9) В какой банк по класть деньги на сбережение. 10) Использование воды в разных источниках света. 11) Энергоэффективность нашей школы. Темы ученикам сообщают заранее. После выбора темы исследование каждый  ученик должен проработать обязательный материал («Процентные расчёты»), и  подобрать дополнительные сведенья, что касаются выбранной темы. Результат работы над проектом желательно оформить в виде  индивидуальных портфолио с групповой компьютерной презентацией. За  результатами достижений можно сделать плакаты, газеты, сборники задач. Защита проектов целесообразно произвести на нескольких тематических  внеурочных мероприятиях. Ученикам рекомендуется самостоятельно повторить и проработать поданный ниже теоретический материал. Процентные расчёты. 1%=0,01; 50%=0,5;100%=1. Из простых задач на проценты вы знакомились раньше. Вспомним эти виды  задач и способы решения. Существует три основные вида задач на проценты: 1) Нахождение процента от числа: р процентов от а, – а  ∙  0,01р; 2) Нахождение числа за его процентом: число, р процентов которого равно b,  ­b?(0,01 р); 3) Нахождение процентного соотношения: процентное соотношение, а и  b,­ (а?b) ?100%. Рассмотрим примеры таких задач.  1)Нужно вспахать поле, площадь которого равняется 300 га. За первый день трактористы  выполнили работу 40 % задания. Сколько гектаров они вспахали за первый день? Решение:  300 га – 100 %, Х га – 40 %. 300 х  =  100 40  ; х =  300ꞏ40 100  = 120 (га) Ответ: 120 га. 2)За первый день тракторист вспахал 120 га, что составляет40 % поля. Найдите площадь  всего поля. Решение:  120 га – 40 %, Х га – 100 %. 120 х  =  40 100  ; х =  120ꞏ100 40  = 300 (га) Ответ: 300 га 3)Нужно вспахать поле, площадь которого 300 га. За первый день трактористы вспахали  120 га. Сколько процентов поля они вспахали за первый день? Решение:  300 га – 100 %, 120 га – х %. 300 120  =  100 х  ; х =  120ꞏ100 300  = 40 (%) Ответ: 40%. Попробуйте решить каждую задачу несколькими способами, заменив 40% дробью 0,4 или  2/5. Мы увидели, что каждую задачу удобно решать способом пропорции.  В сложных прикладных задачах на проценты часто идется про увеличение или  уменьшение величины на несколько процентов. В таких случаях нужно хорошо понимать,  от чего берутся проценты. Например, если говорят, что заработная плата повысится на  10%, то имеют в виду, что она увеличится на й10% от предыдущей заработной платы. При  этом, если значение х больше от у на р %, то значения у меньше от х не на р%.  Увеличение в 2 раза соответствует увеличение на 100%, а уменьшению в 2 раза­уменьшение на 50%. Цена товара теоретично может увеличивается на любое число процентов, а  уменьшаться, например, на 120% не может. Рассмотрим задачи на проценты. Задача  4.Просуши 55 т зерна 16­процентной влажности. После чего его стало 50 т.  Найдите процент влажности просушенного зерна. Решение: Зерно сначала содержало влажность 0,16 ?55 =8,89(т). Испарилось влажности 5 т (55­50=5). Осталось в зерне влажности 8,8–5=3,8(т).  Следовательно, процент влажности просушенного зерна равняется: 3,8?50=0,076=7,6% Ответ:7,6% Можно решить задачу и по­другому, например, составив уравнение: 0,16?55­0,01х?50=5. Задача 5. Свежие грибы состоят из 90% воды, а сушенные­12%. Сколько сушенных грибов  выйдет с 22 кг свежих? Решение:  Свежие Сухие 22 кг  90% х кг 12 % Пусть сушенных грибов будет х кг. У них безводной массы 88%, то есть 0,88х. В свежих  грибах безводной массы 10%, то есть 2,2 кг. Безводные массы свежих и сушенных грибов  равны, отсюда имеем уравнение: 0,88х=2,2; х=2,5. Ответ: 2,5 кг. Задача 6. Из двух растворов соло­10процентного и 15­процентного – нужно получить 40 г  12 процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора нужно взять? Решение: Построим и заполним таблицу, обозначив общие массы первого и второго  растворов через х и у г. Раствор Общая масса, г Содержание соли, % Масса соли, г I II III полученный Х У 40 10 15 12 0,10х 0,15у 4,8 По значениям в столбиках «Обща масса» и «Масса соли» составляем систему уравнений: { х+у=40, 0,10х+0,15у=4,8,  отсюда х = 24, у = 16. Ответ: нужно взять первого раствора 24 г, а второго – 16 г. Чаше приходится решать задачи на проценты бухгалтерам и работникам банков.  Рассмотрим примеры, связанные с начислением инвесторам (вкладчикам) процентных  денег. Говорят о простых процентах, если начисляют проценты лишь на начальную сумму. Например, на начало года вкладчик помещает на счет в банк сумму Р под проценты r  годовых. За год он получит сумму Р1, которая равняется начальному вкладу плюс начисление процентов Р (  Рr 100  ) или Р1 = Р +  три года сумма на счете будет состоять: Р2 = Р +   и Р№ = Р( 1 + 3  r 100  ). r 100  ). Через два и  Рr 100  = Р( 1 +  Рr Рr 100   +   100  = р( 1 + 2  r 100  )  Аналогично можно представить сумму Рn, которую вкладчик получит через n лет: Рn = P( 1 +  r 100  n ), где P – сумма начального вклада; Pn­ сумма вклада через n лет. Начисление по схеме простых процентов применяется, как правило, в коротко  срочных финансовых операциях, когда после интервала начисления вкладчику  выплачиваются проценты. В долгосрочных финансово­кредитных условиях чаще используют сложные  проценты. Их начисляют не только на основную сумму, а и на численные проценты. В этом случае говорят, что происходит капитализация процентов. Припустим, что вкладчик по клал в банк под 9% годовых 1000 руб. Это начальный  капитал. Через год банк начисляет вкладчику за это 90 руб процентных денег (9% от  1000 руб). После этого на счете будет 1090 руб, так как 1000(1+0,09) = 1090.  За второй  год процентных денег ему начислили уже 9% от 1090 руб; Начисленный капитал  вкладчика после двух лет равняется 1000(1+0,09) ² руб. Понятно, что через n капитал  будет равняться  1000(1+0,09)n капитал Р под r% годовых через n лет преобразуется в наращённый капитал: Pn = P (1+ r 100) . Формула сложных процентов. Она есть одной из базовых в   руб. Следовательно, вложенный в банк начальный  n финансовых расчетах. Задача 7. Вкладчик поклал в банк 200.000 рублей под сложные 7% годовых.  Какую процентную сумму он будет иметь через 5 лет? Решение: Составляем формулу сложных процентов Pn = P  n (1+ r 100)  . В данном  случае r = 7, n=5.Следовательно, Р5 = Р ( 1,07 ¿ ¿5 . При Р = 200.000 имеем: Р5 = 200.000 ?( 1,07 ¿ ¿5 = 280.510. Сравним с начальным капиталом: 280.510­200.000=80.510(руб). Ответ: 80.510 руб. Выберите задачи, которые относятся темы вашей исследовательской работе и решите их.  Составьте свои задачи с темы выбранного проекта. 1) Оклад служащегося ­40.000 руб. С нового года его обещают повысить на 20%.  Каким станет оклад служащегося? 2) Для изготовления рассола для засола огурцов нужно 0,76 кг соли на ведро воды (12  кг). Выразите процентный состав раствора. 3) Из 1050 зерен пшеницы 1000 взошло. Какой процент всхожести имеет семечка? 4) Банк обслуживает 50.000 клиентов: 21.000 юридические лица, а остальные­  физические. Сколько процентов составляют: а) юридические лица; б) физические  лица? 5) Площадь поверхности Земли составляет 510,1 млн км², из них 149,2 млн км ² ­  суходол. Сколько процентов поверхности Земли покрыто водой? 6) Тракторист должен вспахать 25 га, а вспахал – 27 га. На сколько процентов он  выполнил задание? На сколько процентов перевыполнил задание? 7) С молока получают 10% сыра. Сколько нужно молока для 20 кг сыра? 8) С сахарной свеклы получают 12% сахара. Сколько свеклы нужно, чтобы получит 1т  сахара? 9) В одной книге на 20% страниц меньше, чем в другой. На сколько процентов во  второй книге страниц, чем в первой? 10) Какая была цена товара до переоценки, если после повышения ее на 20% этот товар  стоит 4500руб? 11) Цена платья сначала снизилась на 10%, а потом еще раз на 10%. На сколько  процентов она изменилась после двух переоценок? 12) Цена на автомобиль сначала повысилась на 20%, а потом снизилась на 20 %. Как  снизилась цена на автомобиль после этих двух переоценок? 13) В двух баках содержится 140л бензина. Если с первого бака 12,5% бензина перелили в другой, то в обоих баках бензина станет поровну. Сколько литров бензина в  каждой баке? 14) Завод увеличил выпуск продукции за первый год на 20%, а за второй – на 25%. Как  вырос выпуск продукции на заводе за два года? 15) Объём работы на строительстве увеличился на 50%, а продуктивность работы – на  20 %. Как изменится количество работников? 16) До 18 кг 10­процентного раствора кислоты долили 2 кг водою. Определите  процентную концентрацию нового раствора. 17) Сколько нужно смешать 10 – процентного и 20 – процентного раствора соли, чтобы  иметь 1кг 12­процентного раствора? 18) Сколько килограммов 7­процентного раствора нужно долить к 5 кг 5­процентного  раствора, чтобы он стал 6­процентный? 19) Сколько пресной воды нужно долить до 100 кг морской, которая содержит 5 %  соли, чтобы концентрация соли в ней равнялась 1,5%? 20) Латунь – сплав 60% меди и 40% цинка. Сколько меди и цинка нужно сплавить,  чтобы получит 500т латуни? 21) Бронза – сплав меди и олова. Сколько процентов меди в бронзовом слитке, который содержит 17 кг меди и 3 кг олова? 22) Сколько воды нужно долить до 10 кг раствора соли, концентрация которого 5%,  чтобы получить раствор концентрацией 3%? 23) Сколько нужно смешать раствора соли концентрацией 2% и раствора соли  концентрацией 10%, чтобы получит 800 г раствора, концентрация которого 7%? 24) Сколько золота 375 пробы нужно сплавить из 30 г золота 750 пробы, чтобы  получить сплав золота 500 пробы? 25) Из молока жирностью 5 % изготовляют сыр жирностью 15,5%, при этом остается  сыворотка жирностью 0,5%. Сколько сира получат из 100 кг молока? 26) На первом поле 65% площади засеяно житом. На другом поле под жито отвели 45%  площади. Известно, что на обоих полях житом засеяли 53% общей площади. Какую  часть всей засеянной площади составляет первое поле? 27) Фирма взяла в банке кредит 250.000 руб на 5 лет под простые 3:%. Определите: а)  сколько рублей фирма повернет банку через 5 лет; б) какую прибыль получит банк? 28) Предприниматель внес в банк 15.000 рублей под сложные 5% годовых. Какой будет  сумма его вклада через 4 года? 29) Предприятию дано 500.000 руб в кредит на 6 месяцев за ставкой 8% годовых.  Какую сумму предприятие должно вернуть в банк через полгода? 30) На вклад в размере 90.000 руб сроком на 5 лет банк начисляет 18% годовых. Какая  сумма будет на счете в конце срока, если начисление процентов происходит по  схеме сложных процентов: а) каждые полгода; б) квартально? В задачах 31­32 рассмотрите разные условия начисления процентов. 31) Вкладчик вложил в банк 200.000 руб под 17% годовых. Какие процентные деньги он получит через два года? 32) На каком основании вложенный в банк капитал через два года увеличится на 44%?