Проектная работа «Четырехугольники на клетчатой бумаге».

Проектная работа «Четырехугольники на клетчатой бумаге».  Актуальность темы. Задачи по нахождению площадей фигур на клетчатой бумаге заинтересовали  меня потому, что они встречаются в заданиях ЕГЭ и практической деятельности:  увеличение масштаба рисунка, вышивание, художественная графика и  др. Определение предмета исследования.  При решении задач по нахождению площадей фигур на клетчатой бумаге один  ученик 11 класса предложил свой способ нахождения площадей  четырехугольников: найти площадь прямоугольника, описанного около данного  четырехугольника, и разделить на 2. Формулировка проблемы. • Проверить достоверность предложенного способа нахождения площади  вписанного четырёхугольника в прямоугольник. • Изучить и предложить разные способы решения задач по нахождению площадей  фигур на клетчатой бумаге. Выдвижение гипотезы. Площадь любого вписанного четырехугольника в прямоугольник равна половине  площади этого прямоугольника. Проверка гипотезы (выбор методов исследования).       С целью проверки гипотезы применим методы наблюдения, анализ, сравнение,          предположение, доказательство, синтез.           Для решения задач используем свойство площадей: «Если многоугольник  разбит на несколько многоугольников,  не имеющих общих внутренних точек, то его  площадь равна  сумме площадей этих многоугольников».          Вычислим площадь фигуры на рисунке 1.  Рассмотрим         1, 2,3,4 S  =       S4   = 1 2 1 2 a∙b ;       S1  =  1 2 ∙2∙3=3 ;   S2   =   1 2 ∙2∙3=3 ;  S3   =  1 2 ∙2∙2=2  ; ∙3∙3=4,5    S1+S2+S3+S4=12.5;         S      = 5∙5=25 ;   Sиск=25 ­ 12,5=12,5 Проверим гипотезу «Площадь любого вписанного четырехугольника в  прямоугольник равна половине площади этого прямоугольника». Sописан. 4­хуг.=25;  Sиск=25:2=12,5  ­ гипотеза верна.                                                                                                                                                                                                                 (рисунок 1)  Вычислим площадь фигуры на рисунке 2.    Sиск = 5∙8−(7+6+6+1)=20   Проверим гипотезу: Sиск. =S опис. 4­хуг : 2 Sиск=40:2=20 ­ гипотеза верна.                                                                                                                    (рисунок 2) Вычислим площадь фигуры на рисунке 3. Sиск.= 7∙4−(3+6+2,5+2)=14,5 Проверим гипотезу Sиск. =S опис. 4­хуг : 2 Sиск= 28:2=14≠14,5 ­ гипотеза не верна (рисунок 3) Интерпретация. Гипотеза подтверждается только в том случае, если хотя бы две противоположные  вершины четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон  прямоугольника, описанного около четырёхугольника. В этом случае площадь четырёхугольника равна половине площади описанного около него прямоугольника. Докажем эту теорему. S= SАВМ+SBMK= 1 2 ВМ∙АС+ 1 2 ВМ∙НК=1 2 ∙ВМ(АС+НК)=1 2 ВМ∙a= 1 2 ∙a∙b= 1 2 Sпрямоугольника Итак, мы доказали, утверждение «Если хотя бы две противоположные вершины  четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника,  описанного около четырёхугольника, то площадь четырёхугольника равна половине  площади прямоугольника».   Меня заинтересовала проблема нахождения площадей, и я изучила формулу Пика, для которой необходимо знать понятие узла. Узел – пересечение двух прямых. A, B – внутренние узлы. C, D – узлы на границе. Формула Пика: Вычислим площадь фигуры на рисунке 4. 1) S=  1 2 АС∙ВД=1 2 ∙5∙4=10 2) По формуле Пика: a =8;  b=6 S=  8+1 2 ∙6−1=10 Вычислим площадь фигуры на рисунке 3. Раннее я показала, что Sиск=20. Найдем площадь четырёхугольника по формуле Пика. A = 19;  b = 4 S=  19+ 1 2 ∙4−1=20                                                           В заданиях ЕГЭ встречаются такие задачи: Эта задача решается просто: Sиск=Sкр 4 =πr2 4 =π∙9 4 π∙9 4 :π=2,25 Sкр. сек. =  πr2 360 ∙α Как быть, если угол сектора явно не  определяется? Ставим новую задачу:  рассмотреть углы и найти их связь с узлами клеток.  Я построила с помощью транспортира углы от 10° до 80° со стороной, идущей по  горизонтальной линии сетки, отметила у каждого угла ближайший узел сетки, через  который прошла другая сторона каждого угла. 10° 70°  80°    20°  30° 40° 50°  60°  «Путь» из вершины в таблицу, величину угла отмеченную точку я занесла  в  по которой легко определить  угла без транспортира. Теперь задачу решить не трудно. Определим угол по таблице: 6 клеток  →   , 5 клеток   ↑  , значит  α=40° Sкр. сек. =  πr2 360 ∙40° Sкр. сек. =  36π 9 =4π Вывод:  Площадь фигур на клетчатой бумаге можно вычислять • По формулам площадей. • По свойству площади фигуры, составленной из нескольких фигур. • По формуле Пика. По доказанной мною гипотезе.  («Если хотя бы две противоположные вершины  • четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника,  описанного около четырёхугольника, то площадь четырёхугольника равна половине  площади прямоугольника») Открывать новое для себя и других очень интересно! Присоединяйтесь!