Проектная работа «Четырехугольники на клетчатой бумаге».

Четырехугольники Четырехугольники Четырехугольники Четырехугольники на клетчатой на клетчатой на клетчатой на клетчатой бумаге. бумаге. бумаге. бумаге. Работу выполнила ученица Работу выполнила ученица Новобатайской СОШ №9 Полякова Новобатайской СОШ №9 Полякова Руководитель: Оноприенко Е.В. Руководитель: Оноприенко Е.В. ЮлияЮлия

Актуальность. • Задачи по нахождению площадей фигур на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ЕГЭ и практической деятельности: увеличение масштаба рисунка, вышивание, художественная графика и др.

Определение предмета исследования. • При решении задач в 11 классе один ученик предложил свой способ нахождения площадей четырехугольников: найти площадь прямоугольника, описанного около данного четырехугольника, и разделить на 2.

Формулировка проблемы. • Проверить достоверность предложенного способа. • Изучить и предложить разные способы решения задач по нахождению площадей фигур на клетчатой бумаге.

Выдвижение гипотезы. • Площадь вписанного четырехугольника в прямоугольник равна половине площади этого прямоугольника.

Проверка гипотезы. • Для решения задач используем свойство площадей: «Если многоугольник разбит на несколько многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников».

Вычислим площадь фигуры на рисунке 2. Sиск. = 5∙8- (7+6+6+1)=20 Проверим гипотезу: Sиск. =S опис. 4-хуг : 2 Sиск.=40:2=20 - гипотеза верна.

Интерпретация. • Гипотеза подтверждается, если хотя бы две противоположные вершины четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника, описанного около четырёхугольника. В этом случае площадь четырёхугольника равна половине площади прямоугольника, описанного около него.

Докажем эту теорему. b

• Итак, мы доказали, утверждение Вывод: «Если хотя бы две   противоположные вершины четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника, описанного около четырёхугольника, то площадь четырёхугольника равна половине площади прямоугольника».

заинтересовала проблема нахождения площадей, и я изучила формулу Пика, для которой необходимо знать понятие узла. Узел – пересечение двух прямых. Узел – пересечение двух прямых. A, BA, B – внутренние узлы. – внутренние узлы. C,DC,D – узлы на границе. – узлы на границе.

Формула Пика. S  a 1 2 b  ,1 где a b   количество количество внутренних узлов на ; узлов границе .

В заданиях ЕГЭ встречаются такие задачи:

Задача: рассмотреть углы и найти их связь с узлами клеток.

Я построила с помощью транспортира углы от 10° до 80° со стороной, идущей по горизонтальной линии сетки, отметила у каждого угла ближайший узел сетки, через который прошла другая сторона каждого угла. 10 20

30 50 40 60 70 80

«Путь» из вершины угла в отмеченную точку я занесла в таблицу, по которой легко определить величину угла без транспортира. Величина угла 10 20 30 40 50 60 70 80 Клеток вправо 6 8 7 6 5 4 3 1 Клеток вверх 1 3 4 5 6 7 8 6

Вывод: Площадь фигур на клетчатой бумаге можно вычислять • По формулам площадей. • По свойству площади фигуры, составленной из нескольких фигур. • По формуле Пика. • По доказанной мною гипотезе.

•Открывать новое для себя и других очень интересно! Присоединяйтесь!