Проектная работа по математике "ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школы №16 Бугульминского муниципального района  Республики Татарстан Проектная работа ЭЛЕМЕНТЫ  КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Работа выполнена: Толстовой О.Ф.,  учителем математики I кв. категории  МБОУ СОШ №16 г. Бугульма РТ  Бугульма ­ 2018 г Введение……………………………………………………………………...3 1. Методологические основы изучения темы Содержание «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» …………………… 4 1.1. Цели и задачи изучения темы…………………………………….……4 1.2. Требования к знаниям и умениям……………………………………...5 1.3. Формы контроля………………………………………………………...5 1.4. Культурно­исторический фон изучения темы………………………...5 2. Теоретические основы комбинаторики и теории вероятностей ………9 3. Виды задач……………………………………………………………….11 3.1. Задачи, решаемые по определению вероятности……………………11 3.2. Задачи, решаемые с использованием элементов комбинаторики….11 3.3. Задачи, решаемые с применением таблиц, графов………………….11 3.4. Задачи на правила сложения и умножения вероятностей…………..12 4. Экзаменационные задачи……………………………………………… .13 4.1. Задачи ЕГЭ базового уровня………………………………………….13 4.2. Задачи ЕГЭ профильного уровня………………………………..........14 5. Список использованной литературы …………………………….. …. .16 Введение Модернизация  общеобразовательной  школы  предполагает  ориентацию образования   не   только   на   усвоение   обучающимися   определённой   суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей.  Всей нашей жизнью правят законы вероятности. Кто знает, что ждет нас  завтра – выигрыш в лотерее или несчастный случай? Точно предсказать  будущее невозможно. Но, обладая нужной информацией, можно просчитать  степень вероятности того ли иного события в нашей жизни.  Актуальность этой работы определяется успешным применением  комбинаторики и поиска алгоритма решения комбинаторных задач. Проект  имеет социальную  и личную значимость, которая заключается в возможности  овладения основными и нетрадиционными методами решения задач, а также  возможностью научиться ориентироваться в проблемных ситуациях. Проект может быть назван как исследовательский межпредметный,  информационный и долгосрочный.  Область исследования – комбинаторика, статистика и теория вероятности.  Предметом исследования является применение комбинаторики и теории  вероятности при решении экзаменационных задач.  Цель исследования: познакомиться с теоретическими основами  комбинаторики, научиться применять их при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.  В соответствии с поставленной целью нами были сформулированы следующие задачи: 1. Изучить литературу по комбинаторике и математике.  Приобрести  навыки и умения при решении задач с применением комбинаторных  2. знаний.   Разработать рекомендации по применению комбинаторных знаний при  решении задач.  При работе над проектом применялись следующие методы: 1) теоретические: изучение и анализ источников информации по  комбинаторике и математике; моделирование приемов  использования комбинаторики в задачах; анализ результатов задач и  нахождение процента успешности в случае применения теории; 2)  эмпирические: исследование различных ситуаций путей решения  задач с использованием комбинаторики и теории вероятностей.  Работа «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»  имеет практическое значение. Оно заключается в следующем: в  работе собраны основные формулы, показаны примеры решения   задач, примеры задачи ЕГЭ базового и профильного уровня. 1. Методологические основы изучения темы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» 1.1. Цели и задачи изучения темы Изучение   темы   «Элементы   комбинаторики   и   теории   вероятностей» направлено на достижение следующих целей:  –   усвоить,   углубить   и   расширить   знания   методов,   приёмов   и   подходов   к решению комбинаторных задач; –   формирование   интеллектуальных   умений   и   навыков   самостоятельной   и творческой   математической   деятельности, государственными стандартами.   определённых   новыми Достижение поставленных целей возможно через решение заданий   по теории вероятности, встречающихся в ГИА, что позволяет решать следующие задачи: –   обеспечение   прочного   и   сознательного   овладения   учащимися   системой математических знаний и умений при решении комбинаторных задач; – обеспечение прочной математической подготовки к ОГЭ и ЕГЭ;  – накопление базы задач. 1.2. Требования к знаниям и умениям В   результате   изучения   темы   учащиеся   должны   уметь   выполнять следующие учебные действия: – исследовать и решать задачи по комбинаторике; – исследовать и решать по теории вероятностей; – применять полученные знания для решения прикладных задач. 1.3. Формы контроля При   изучении   данной   темы   могут   быть   предусмотрены   следующие формы контроля:  – промежуточные и итоговые тесты; – выполнение и защита индивидуальных и групповых проектов по проблеме решения задач; – самостоятельное решение задач КИМ ОГЭ. 1.4. Культурно­исторический фон изучения темы Где   и   когда   возникла   комбинаторика?     Чтобы   ответить   на   этот   вопрос придется   перевернуть   многие   страницы   истории.   Еще   первобытный   вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше,   чем   у   одного.   Поэтому   и   охотились   тогда   коллективно. Неосновательно   было   бы   думать,   что   такие   древние   полководцы,   как Александр   Македонский   или   Дмитрий   Донской,   готовясь   к   сражению, уповали   только   на   доблесть   и   искусство   воинов.         Несомненно,   они   на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как­ то оценить вероятность своего возращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклоняться от него.      Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей. Комбинаторика ­ ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов.   Еще   комбинаторику   можно   понимать,   как   перебор   возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты,   воинов   –   во   время   битвы,   инструментов   ­   во   время   работы. Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать,   когда   наряду   с   состязаниями   в   беге,   метании   диска,   прыжках появились   игры,   требовавшие,   в   первую   очередь,   умения   рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их   лучше   изучил,   знал   выигрышные   комбинации   и   умел   избегать проигрышных.   Не   только   азартные   игры   давали   пищу   для   комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки,   изобретали   сложные   шифры,   а   секретные   службы   других государств   пытались   эти   шифры   разгадать.   Стали   применять   шифры, основанные   на   комбинаторных   принципах,   например,   на   различных перестановках   букв,   заменах   букв   с  использованием   ключевых   слов   и   т.д. Комбинаторика   как   наука   стала   развиваться   в   18   веке   параллельно   с возникновением  теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым   Дж.Кардано,   Н.Тарталье   (1499­1557),   Г.Галилею   (1564­1642)   и французс­ ким ученым Б.Паскалю (1623­1662) и П.Ферма. Комбинаторику как самостоятельный   раздел   математики   первым   стал   рассматривать   немецкий   «Об   искусстве   комбинаторики», ученый   Г.Лейбниц   в   своей   работе   опубликованной   в   1666   году.   Он   также   впервые   ввел   термин «комбинаторика».   Значительный   вклад   в   развитие   комбинаторики   внес Л.Эйлер.   В   современном   обществе   с   развитием   вычислительной   техники комбинаторика «добилась» новых успехов. Комбинаторика — важный раздел математики,   знание   которого   необходимо   представителям   самых   разных специальностей.   С   комбинаторными   задачами   приходится   иметь   дело физикам,   химикам,   биологам,   лингвистам,   специалистам   по   кодам   и   др. Комбинаторные   методы   лежат   в   основе   решения   многих   задач   теории вероятностей и ее приложений. В книге в популярней форме рассказывается об интересных комбинаторных задачах и методах их решения. Комбинаторика занимается   различного   вида   соединениями,   которые   можно   образовать   из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны   в   Индии   еще   во   II   в.   до   н.   э.   Нидийцы   умели   вычислять   числа, которые сейчас называют «сочетания». В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических   произведениях.   Например,   в   связи   с   подсчетом   возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге «Теория   и   практика   арифметики»   (1656   г.)   французский   автор   А.   Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу. Б. Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике» и в «Трактате о исловых порядках» (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное   обоснование   теории   сочетаний   и   перестановок.   Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги «Ars conjectandi» (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в IX в. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка).   Современный   вид   теория   вероятностей   получила   благодаря аксиоматизации,   предложенной   Андреем   Николаевичем   Колмогоровым. Корни   теории   вероятностей   уходят   далеко   вглубь   веков.   Известно,   что   в древнейших государствах (Китае, Индии, Египте, Греции) уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения и даже определения численности войска неприятеля. Но все­таки начало теории вероятностей как науки приписывают середине XVII века. Из исторических романов мы помним: это время королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных кавалеров. Как это ни парадоксально, с именем одного из них, причем реального исторического лица, связано начало теории вероятностей. Следует   сразу   оговориться,   что   основоположником   теории   вероятностей считают великого ученого, математика, физика и философа Блеза Паскаля (1623­1662). Но полагают, что впервые он занялся теорией вероятностей под влиянием   вопросов,   поставленных   перед   ним   одним   из   придворных французского двора шевалье де Мере (1607­1648). Блестящий кавалер, умный и   развитый   человек,   де   Мере   увлекался   философией,   искусством   и...   был азартным игроком! Но игра, оказывается, тоже была для него поводом для довольно   глубоких   размышлений.   Де   Мере   предложит   Б.Паскалю   два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам.  Вопросы были такие.  1. Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний? 2. Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким­то причинам прекратили игру преждевременно?  Эти   задачи   обсуждались   в   переписке   двух   великих   ученых   Б.Паскаля   и П.Ферма  (1601­1665)   и   послужили   поводом   для   первоначального   введения такого   важного   понятия,   как   математическое   ожидание,   и   попыток формулирования основных теорем сложения и произведения  вероятностей. теории вероятностей. Он содержал общую теорию перестановок и сочетаний. А открытый им знаменитый закон больших чисел дал возможность установить связь между вероятностью какого­либо случайного события и частотой его появления,   наблюдаемой   непосредственно   из   опыта.     Дальнейшие   успехи теории   вероятностей   связаны,   прежде   всего,   с   именами   ученых   А.Муавра (1667­1754),   П.Лапласа   (1749­1827),   К.Гаусса   (1777­1855),   С.Пуассона (17811840) и других.   2. Теоретические основы комбинаторики и теории вероятностей А) Классическое определение вероятностей:                                                          Вероятностью события А называется число Р(А) =    m n  – отношение числа  m элементарных событий (исходов), благоприятствующих событию А, к n –  числу всех элементарных событий (исходов).  Б) Несовместимые события: Элементарные события называются  несовместимыми (несовместными), если они не могут произойти вместе в  одном и том же испытании. В) Независимые события: События называются независимыми, если  вероятности каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое  событие. Г) Правила сложения и умножения Правило сложения: если некоторый объект A можно выбрать k способами, а  объект B – l способами, то объект «А или В» можно выбрать k + l способами. Правило умножения: если объект А можно выбрать k способами, а после  каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от  объекта А) l способами, то пару объектов «А и B» можно выбрать k∙l  способами. Д) определения перестановок, размещений и сочетаний, вычислительные  формулы.  Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих  элементов в определенном порядке: Рп = п! Размещениями множества из n элементов по m (m  ≤  n) называется любое  множество, состоящее из m элементов, взятых в определенном порядке из  данных n элементов.  Сочетаниями из n элементов по k называется любое множество, составленное  из k элементов, выбранных из данных n элементов. Е) Правила сложения и умножения вероятностей. Правила сложения: 1) для несовместимых событий: если A и В несовместимые события, то  вероятность того, что наступит хотя бы одно из двух событий А или В (сумма  событий), равна сумме их вероятностей: P(A + B) = P(A) + P(B)                          2) для совместимых событий : вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A∙B). Правила умножения: 1) для независимых событий: если A и В независимые события, то вероятность одновременного наступления обоих событий А и В (произведение событий),  равна произведению их вероятностей: P(A∙B) = P(A) P(B)                                     2) для зависимых событий: вероятность произведения двух событий равна  произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого  при условии, что первое событие произошло: P(A∙B) = P(A) P(B/A). 3. Виды задач 3.1. Задачи, решаемые по определению вероятности Пример. Из множества натуральных чисел от 101 до 200 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 4? Решение. Надо вспомнить, что «на 4 делится каждое четвертое число в натуральном ряду» и определить количество групп из четырех чисел на участке ряда от 101 до 200. На этом участке всего 100 чисел: 200 – 100 = 100. Они составляют 25 полных групп (100/4 = 25). В каждой полной группе есть одно число, которое делится на 4. Итого у нас 25 «благоприятствующее» (m=25) число из «всего» 100 (n=100). P(A) = 25/100 = 0,25. Ответ: 0,25. 3.2.  Задачи, решаемые с использованием элементов комбинаторики Пример. В случайном эксперименте симметричную монету бросают  четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение.  Воспользуемся правилом умножения для независимых испытаний. При  каждом бросании возможны 2 исхода, значит при четырех бросаниях  возможны 2∙2∙2∙2 = 16 исходов. При каждом бросании орел не выпадет одним способом, значит при четырех бросаниях он не выпадет 1∙1∙1∙1 = 1 одним  способом. По формуле P(А) = 1/16 = 0,0625. Ответ: 0,0625. подсчет числа n всех возможных событий 3.3. Задачи, решаемые с применением таблиц, графов Пример: В случайном эксперименте бросают 2 игральные кости. Найдите  вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5 или 6.  Всего = 36, Р= 9 /36 =0,25 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 5. 1 6. 1 1. 2 2. 2 3. 2 4. 2 5. 2 6. 2 1. 3 2. 3 3. 3 4. 3 5. 3 6. 3 1. 4 2. 4 3. 4 4. 4 5. 4 6. 4 1. 5 2. 5 3. 5 4. 5 5. 5 6. 5 1. 6 2. 6 3. 6 4. 6 5. 6 6. 6 3.4. Задачи на правила сложения и умножения вероятностей Пример1: На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка  экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему  «Механика», равна 0,25. Вероятность того, что этот вопрос на тему  «Электричество», равна 0,3. Вопросов, которые относились бы сразу к двум  темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос  по одной из этих двух тем. P(A∪B) =P(A)+P(B)=0,25+0,3=0,55 Пример 2: Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05. Покупатель  в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две такие  ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся  исправными. P (A∩B) = P(A)⋅P(B) =0,95⋅0,95= 0,9025. Пример 3: Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность  перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит. P(A∩B) =P(A)⋅P(B) =0,4⋅0,4= 0,16 (так как события A и B независимы). Искомая вероятность равна 1−P(A∩B) = 1 ­ 0,16 =1−0,16= 0,84. Пример 4: Из города М. в город Р. ежедневно ходит автобус. Вероятность  того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 15 пассажиров,  равна 0,64. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,46. Найдите вероятность того, что в этот день пассажиров будет  от 10 до 14. P(A∪B) = P(A)+P(B). Искомая вероятность равна P(B) = 0,64­0,46 = 0,18. 4. Экзаменационные задачи 4.1. Задачи ЕГЭ базового уровня 1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за  перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для  пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В.  достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Ответ: 0,1 2. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов  забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того,  что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 0,2 3. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3? Ответ: 0,3 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них  встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в  случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по  неравенствам. Ответ: 0,6 5. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из  США, остальные ­ из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки,  определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка,  выступающая первой, окажется из Китая. Ответ: 0,25 6. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают.  Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос  не подтекает. Ответ: 0,995 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.  Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Ответ: 0,12 4.2. Задачи ЕГЭ профильного уровня 1. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у  шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает  у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во  второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А.  выиграет оба раза. Ответ: 0,15 2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в  магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.  Ответ: 0,8836 3. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше  года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна  0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но  больше года. Ответ: 0,06. 4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание  автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что  вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна  0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах,  равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в  обоих автоматах. Ответ: 0,65. 5. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в  мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что  биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся.  Результат округлите до сотых. Ответ: 0,02. 6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает  3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите  вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг  соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и  проигрыша одинаковы и равны 0,4. Ответ: 0,32. 7. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Ответ: 0,392 Список использованной литературы 1. Алгебра.   9   класс:   учеб.   для   учащихся   общеобразоват.   организаций   / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с. 2. ОГЭ­2016:   Математика:   20   вариантов   экзаменационных   работ   для подготовки к основному государственному экзамену в 9 классе / под ред. И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2016. – 110 с.  3. Высоцкий   И.Р.,   Ященко   И.Р.   ЕГЭ   2016.   Математика.   Теория вероятностей. Задача 10 (базовый уровень). Рабочая тетрадь / под ред. И.В. Ященко. – М.: Изд­во МЦНМО, 2016. – 64 с. – http://ege­ok.ru/wp­ content/uploads/2015/11/Высоцкий­И.Р.­ЕГЭ­2016.­Математика.­Теория­ вероятностей.­Задача­4­проф.ур..­Задача­10­баз.ур..­Рабочая­тетрадь­ 2016.pdf  4. https://oge.sdamgia.ru/test?a=catlistwstat Статистика и вероятность