ПРОГРАММА элективного курса по математики «Декартовы координаты на плоскости» 9 класс

ПРОГРАММА элективного курса «Декартовы координаты на плоскости» 9 класс Пояснительная записка Геометрическая   линия   является   одной   из   центральных   линий   курса математики.   Она   предполагает   систематическое   изучение   свойств геометрических   фигур   на   плоскости,   изучаемых   методом   координат, формирование   пространственных   представлений,   развитие   логического мышления   и   подготовку   аппарата,   необходимого   для   изучения   смежных дисциплин ( физики, черчения и т. д.) и курса стереометрии. Рассматриваются такие линии как окружность, прямая, парабола, эллипс и гипербола. Программа курса « Декартовы координаты на плоскости» предполагает дальнейшее   формирование   ключевых   компетенций     готовности   учащихся использовать   усвоенные   знания,   умения   и   способы   для   решения геометрических задач единого государственного экзамена. ─ Целями курса « Декартовы координаты на плоскости» являются: предпрофильная   подготовка   учащихся   девятых   классов   к   углубленному изучению математики:   углубление знаний учащихся по геометрии, включая изучение   ряда   разделов   высшей   математики.   Создание   условий   для самореализации   учащихся   в   процессе   учебной   деятельности.   Развитие математических,   интеллектуальных   способностей,   обобщенных   умственных умений.   Практическая   цель     научить   школьников   решать   задачи   с применением   метода   координат:   описывать   геометрические   фигуры средствами   алгебры,   т.   е.   задавая   фигуры   уравнениями   и   выражая   в координатах   соотношения;   выработать   у   учащихся   навыки     переводить геометрические   задачи   на   алгебраический   язык.   Научиться   истолковывать уравнения   и   неравенства   геометрически   и   таким   образом   применять геометрию к алгебре и анализу. ─ Для реализации этих целей необходимо решить следующие задачи:   *приобщить учащихся к работе с математической литературой; *выделять и способствовать осмыслению логических приемов мышления,  развитию образного и ассоциативного мышления. Элективный курс « Декартовы координаты на плоскости» предназначен для учащихся    IX  классов,   рассчитан   на   17   часов,   предполагает   углубленное изучение аналитической геометрии на плоскости. Введение метода координат проводится на векторной основе, поэтому используются некоторые известные понятия векторной алгебры и формулируются ряд новых. Метод координат позволяет перейти к изучению трёх замечательных линий, хорошо известных ещё с древности  ─  парабола, эллипс, гипербола. Включенный в программу материал может применяться для разных групп  учащихся, что достигается обобщенностью включенных в неё заданий, их  отбором в соответствии с задачами предпрофильной подготовки.     № 1 2 3 4 5 6 7 8 Тематическое планирование. Тема занятия Количество часов Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах. Зачёт № 1. Окружность. Прямая. Зачёт № 2. Парабола. Эллипс. Зачёт № 3.  Гипербола. Полярная система координат. Решение задач. Итоговая тестовая работа. 1 2 2 4 2 2 2 2 Содержание. Тема I. Координаты вектора (1ч). *Лемма о коллинеарных векторах. *Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. 2 ?  и   ─   ,  а   и  а    и   в    и   в коллинеарны. Доказать, что векторы   коллинеарны. Коллинеарны ли векторы  Пример 1. . Векторы   а  в  Пример 2. Пусть векторы   а     коллинеарны. 2 ва ва Пример 3. В параллелограмме АВСD О      Разложить   векторы   по   векторам    . ВОвАОа   . векторам  а  и  в *Определение координат вектора. Правила действий над векторами (дополнительно рассмотреть аффинную систему координат). Пример   4.   Построить   в   данной   прямоугольной   системе   координат векторы   Пример   5.   Найти   координаты   вектора    а Пример   6.   Разложить   вектор    а  точка пересечения диагоналей,   по    по   векторам   а  а с   ADDССВВА  ,  ,  ,    и   в  );1;7(    если  );0;2( ).6;4(   р   а 3  );7;1(  в 2   ,5,0 с ,   если );1;3(  );2;1(   ).7;1( ).1;3(   а );2;3(  в  в  в  с  с  р в  с *Координатные   признаки   коллинеарности   векторов.   Понятие определителя второго порядка из координат двух векторов. Теорема 1.  Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Теорема   2.  Два   вектора   коллинеарны   тогда   и   только   тогда,   когда определитель из их координат равен нулю. Пример 7. Указать среди векторов    пары коллинеарных. Пример 8. При каком значении коэффициента  k  векторы     c  коллинеарны, если   ).3;1(  2 с  а  );1;2( );3;1(  );3;2(  а  в  с  р  а   bk   и  а );7;3(  в  с );1;2(   е )1;2(  Тема II. Простейшие задачи в координатах (2ч). Центральное   понятие   координат   точки   в   данной   системе   координат необходимо   определить   через   координаты   соответствующего   ей   радиус­ вектора. *Понятие радиус – вектора точки в данной системе координат.  *Определение координат точки и их геометрический смысл. Пример 1. Построить в прямоугольной и аффинной системах координат точки  А(2;3) ; В( 1;  2) , пользуясь определением координат. ─ ─ *Задача о координатах вектора, заданного  координатами его  начала и конца. *Задачи о координатах середины отрезка и центра тяжести  треугольника. *Лемма о длине вектора с заданными координатами. Задача о  расстоянии между точками. Пример 2. Найти координаты вершин С и D параллелограмма АВСD, если  А( 4;4) ; В(2;8) ; М(2;2)  (точка пересечения АС и ВD). ─ Пример 3. Найти координаты концов отрезка АВ, разделенных точками М(2;2)  и Р(1;5) на три равные части. Пример 4. Найти координаты вершины С треугольника АВС, если А(a;0) ;  В(0;b) ; О(0;0)  (точка пересечения его медиан). *Понятие деления направленного отрезка в данном отношении.  Задача о координатах делящей точки. Пример 5. В точках А(3;2) и В(  1; 4) сосредоточены массы 1 и 3 г. Найти  координаты центра тяжести системы двух материальных точек А и В. Пример 6. Найти длину биссектрисы АD треугольника АВС, если А(4;1) ;  В(7;5) ; С( 4;7). ─ ─ *Применение метода координат к решению задач. * Зачёт № 1. Теорема Стюарта. Пусть в данном треугольнике АВС точка D лежит между В  и С. Доказать, что АВ2 ? DС + АС2 ?ВD  АD─           Тема III. Окружность (2ч). 2 ?ВС = ВС ? DC?BD Среди геометрических фигур на плоскости, изучаемых методом координат, чаще всего рассматриваются линии. Простейшими примерами из них являются окружность и прямая. *Понятие уравнения линии в данной системе координат. *Общее уравнение окружности в прямоугольной системе координат 2 х  2 у  Ах  Ву  0 С . ─ ─ Пример 1. Составить уравнение окружности с центром С(0;6) и  проходящей через точку  В( 3;2). Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки  А( 3;0) и В(0;9), с центром на оси ординат. Пример 3. Найти центр и радиус окружности, заданной общим  уравнением х2 +у2 – 4х – 2у +1 =0. Пример 4. Найти центр и радиус окружности, проходящей через точку  А(2;1) и касающейся обеих осей прямоугольной системы координат. *Применение уравнения окружности к решению задач. ─ ─  А и В. Найти множество точек М, для  Пример 5. Даны две точки  которых АМ2 + ВМ2 =k2 , где k  Пример 6. Даны две точки  которых АМ:ВМ=k , где  k ≠ 1  Что представляет собой множество точек плоскости, отношение  расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная?  данное число ( окружность Аполлония).  А и В. Найти множество точек М, для  ─  данное число. ─ ─ 1 МА МВ  серединным   , т.е. МА=МВ, является прямой  Решение: пусть даны две точки А и В и некоторое положительное число  k, равное отношению расстояний. Если k=1, то множество точек М, для  которых  перпендикуляром отрезка АВ. Рассмотрим случай, когда k≠1. Например, k=2 . Решение задачи состоит  из двух этапов: 1. Вывод уравнения фигуры ( множество точек). Введем систему  прямоугольных координат. Начало выберем в точке В. В качестве  положительной оси возьмем луч ВА. Будем считать, что точка А имеет  координаты (3;0). Возьмем точку М(х;у), удовлетворяющую условию  задачи, и выразим расстояния от нее до точек Аи В по формулам  МА2=(х – 3 )2 + у2, МВ2=х2 + у2 . Так кА по условию  2 МА , то МА2 = 4МВ2 . В координатах равенство выражается так: МВ (х – 3 )2 + у2 = 4(х2 + у2 ) или х2 + у2  + 2х = 3 или (х + 1 )  + у2 = 4 ( I ).  Итак, точка М (х;у) удовлетворяет условию   тогда и только  тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению ( I ). Мы знаем,  что уравнение ( I ) задает окружность с центром в точке ( 1;0) и  радиусом 2. МА МВ 2 ─ * Задание фигур неравенствами.   Тема IV. Прямая (4ч).  );2;3(р *Понятие направляющего вектора прямой. Уравнение прямой,  заданной точкой и направляющим вектором.  *Уравнение прямой, заданной двумя точками. Уравнение прямой «в  отрезках». Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А92;6)  и :  а) параллельной вектору  точки, лежащие на каждой из прямых, и направляющие векторы.   *Общее уравнение прямой в аффинной системе координат Ах + Ву + С = 0. *Применение уравнения прямой к решению задач. Пример 2. Даны две точки  которых АМ2 – ВМ2 =k, где  k  *Взаимное расположение двух прямых. Случай совпадения прямых.  А и В. Найти множество точек М, для   б) через точку В(5; 4). Указать   данное число. ─ ─ ─ 1 Пример 3. При каких значениях коэффициентов µ и  прямые             : а) совпадают; б) параллельны?  :     3х  2у + 1 = 0  и    у х  2 :  ─ 3  0 *Понятие вектора нормали к прямой. Уравнение прямой, заданной  точкой и вектором нормали в прямоугольной системе координат. *Понятие расстояния от точки до прямой. Формула для вычисления  расстояния от точки до прямой в прямоугольной системе координат. Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку  А(5;10),   и перпендикулярной прямой  а:  х  Пример 5. Найти расстояние от начала О прямоугольной системы  координат до прямой  b : 3х 4у – 2 = 0. Пример 6. Составить уравнения прямых, содержащих биссектрисы углов между прямыми   а1: 3х+4у – 5 = 0 и  а2: 4х – 3у + 10 = 0. Каково их  взаимное расположение?  ─  у + 1 = 0. ─ *Линейные неравенства Ах + Ву + С ≤ 0 и Ах + Ву + С ≥ 0;  полуплоскости, определяемые прямой Ах + Ву + С = 0. * Зачёт № 2. Тема V. Парабола (2ч).   *Определение параболы. Фокус, директриса и фокальный  параметр. *Каноническое уравнение параболы. Пример 1. Найти фокус, директрису и фокальный параметр параболы :  а) у2=6х;   б) х2=  2 +8х – 16 = 0. ─  у;  в) у Пример 2. Написать каноническое уравнение параболы, если : а) F(3; 0);   б) d : у + 12 = 0;  в) F(0;5), d : у + 2 = 0. Пример 3. Доказать, что если хорда параболы проходит через её фокус,  то расстояние от середины этой хорды до директрисы параболы равно  половине длины хорды.   *Построение точек параболы с помощью циркуля и линейки. *Оптическое свойство параболы ( всякая касательная к параболе  образует равные углы с лучами, проведенными из точки касания, один из которых параллелен оси, а другой проходит через фокус параболы). Под касательной к параболе следует понимать прямую, пересекающую  параболу в двух совпадающих точках. Тема VI. Эллипс (2ч). *Определение эллипса. Фокусы. *Каноническое уравнение эллипса. Фокальные радиусы и  эксцентриситет эллипса. Центр, полуоси и фокальное расстояние. Пример 1. Найти центр, полуоси, фокальное расстояние и  эксцентриситет эллипса:  а) 9х2 + 16у2 = 144 ; б) х2 +4у2 +4х – 8у – 8 = 0. Пример 2. Составить уравнение эллипса с фокусами F1( 4;0) и  для точек М  которого выполняется равенство : МF1+MF2= 5F1F2. F2 (4;0),  ─ *Построение точек эллипса с помощью циркуля и линейки. *Оптическое свойство эллипса ( всякая касательная к эллипсу  образует равные углы с лучами, проведенными из точек касания в  фокусы эллипса). * Зачёт № 3. Тема VII. Гипербола (2ч). *Определение гиперболы. Фокусы. *Каноническое уравнение гиперболы. Фокальные радиусы и  эксцентриситет гиперболы. *Асимптоты гиперболы. Центр, полуоси и фокальное расстояние. Пример 1. Найти центр, полуоси, фокальное расстояние и  эксцентриситет гиперболы: а) 9х2  2 = 144; б) х2  16у ─  у─ 2 –4х +6у – 6= 0. Пример 2. Составить уравнение гиперболы, проходящей через фокусы  эллипса   и имеющей фокусы в вершинах этого эллипса.  у  1 2 2 х 169 144 *Построение точек гиперболы с помощью циркуля и линейки. *Оптическое свойство гиперболы. *Определение директрисы эллипса и гиперболы. *Директориальное свойство эллипса и гиперболы (эллипс  (гипербола) представляет собой множество точек, отношение расстояний от каждой из которых до фокуса и до соответствующей  директрисы равно эксцентриситету). * Конические сечения. Имеется ряд важных свойств, объединяющих в один класс эллипсы,  гиперболы параболы. Например, ими исчерпываются «невырожденные»,  т.е. не сводящиеся к точке, прямой или паре прямых, кривые, которые  задаются на плоскости в декартовых координатах уравнением вида   хα 2  + bху +су2 + dx +ey+f  = 0. В старших классах будет доказано, что  эллипс, гиперболу и параболу можно получить как сечение конуса  плоскостью. Эти сечения называют коническими. Конические сечения  изучали еще древние геомеры, и теория конических сечений была одной  из вершин античной геометрии.  Тема VIII. Полярная система координат (1ч). *Понятие полярной системе координат. Полюс и полярная ось. *Определение полярных координат точки. *Связь полярной системы координат с прямоугольной. * Итоговая тестовая работа. Пример 1. Построить в данной  полярной системе координат точки  А(2; π ∕4); В(3;0); С(3∕2; ), пользуясь определением полярных координат. π Пример 2. Составить уравнение окружности радиусом R с центром  С(R,0). Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(а;0)  и перпендикулярной полярной оси. Приме 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(а,0) и  пересекающей полярную ось под углом  .α Задачи к темам I  ─ III.  1.Пусть векторы  а векторы  ар 2. АВС  векторы  DA 3. АВСD  векторы  СВ ─  и  b   неколлинеарны. Доказать, что при р≠0 и k≠0   неколлинеарны.    по векторам  CA   и  bk   и  CA ─ ─  середина ВС, М   параллелограмм, К   середина  СD. Разложить     и  DС ─ ─  произвольный треугольник, АD   .   и  ВА   и  МА  .   по векторам  КА  его биссектриса. Разложить ─  ,  СВ  ,   DС  , AD   по векторам   CA  .   и  DB ─ ─  середина СD, Т   трапеция, у которой нижнее основание АВ вдвое больше верхнего  4. АВСD  DC. Разложить векторы  ВА 5. Доказать, что сумма квадратов сторон любого четырехугольника равна  сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом  отрезка, соединяющего середины диагоналей. 6. Доказать, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна сумме  квадратов отрезков, попарно соединяющих середины всех его сторон. 7. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов  ее непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований. ─  середина АВ, К    8. Дан выпуклый пятиугольник АВСDЕ, в котором Н  середина ВС, Р   середина DE. Доказать, что отрезок,  соединяющий середины отрезков НР и КТ , параллелен стороне АЕ, а его  длина в 4 раза меньше длины АЕ. 9. Доказать теорему Лейбница: если Т  для любой точки М  АМ2 + ВМ2 + СМ2 = ( АВ2 + ВС2 + АС2 ) ∕ 3 + 3МТ2. 10. Дан прямоугольник АВСD. Доказать, что для любой точки М   +СМ2 = ВМ2 + DМ2. Найти площадь АВСD, если АМ = 3, ВМ = 5, СМ = 4. 11. АВС  любой точки М на АС верно, что АМ ? СМ = ВС2 – ВМ2 . 12. Окружность описана около правильного треугольника. Доказать, что  расстояние от любой точки окружности до наиболее удаленной вершины  треугольника равно сумме расстояний от этой точки до двух других его  вершин. 13. Окружность касается одной из сторон прямого угла в точке А на  расстоянии  а  от его вершины и проходит через точку В, лежащую на другой  стороне угла на расстоянии b от его вершины. Найти радиус  окружности и  длину отрезка, отсекаемого ею на стороне угла. 14. Окружность касается обеих осей прямоугольной системы координат и  проходит через точку М(a,b). Найти центр и радиус этой окружности. 15. Окружность вписана в треугольник с вершинами О(0,0); А(а,0); и В(0,b).  Найти центр этой окружности. ─  равнобедренный треугольник с основанием АС. Доказать, что для  ─  центр тяжести треугольника АВС, то  ─ АМ2  Задачи к темам IV   ─ VII. ─  касаются? Найти точку касания. 1. Даны прямая Ах + Ву + С = 0 и окружность х2 + у2 = R2. В каком случае они  пересекаются, а в каком   2. Доказать теорему Гаусса: в любом четырехугольнике, противоположные  стороны которого непараллельны, середины диагоналей и середина отрезка,  концами которого являются точки пересечения прямых, содержащих  противоположные стороны четырехугольника, лежат на одной  прямой. 3. Доказать, что центр С описанной окружности, точка Н пересечения высот и  центр тяжести Т  треугольника лежат на одной прямой ( прямая Эйлера). ─  произвольная точка окружности. 4. Диагонали ромба АВСD имеют длины 2а и 2b. Найти множество точек М,  для которых АМ2 + DМ2 = ВМ2 + СМ2. 5. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС. Найти множество точек М,  для которых  АМ2 + СМ2 = ВМ2 + DM2. 6. Даны окружность и точка А . Найти множество точек М пересечения  серединного перпендикуляра к отрезку АК и касательной к окружности,  проходящей через К, где К  7. Хорда, проведенная через фокус параллельно оси ординат, пересекает  параболу, заданную каноническим уравнением, в точках М1 и М2. Найти длину  М1М2.  8. Найти длину отрезка асимптоты, заключенного между центром гиперболы и  директрисой. 9. Найти координаты точек эллипса, заданного каноническим уравнением, где  ε  > b :  10. Найти координаты точек гиперболы, заданной каноническим уравнением,  для которых фокальные радиусы перпендикулярны.  11. Найти полуоси, фокальное расстояние и эксцентриситет равносторонней  гиперболы ху = k > 0. Какие координаты имеют ее фокусы? 12. Составить уравнение параболы, фокус которой находится в полюсе, а  директриса перпендикулярна полярной оси. Литература. а , для которых фокальные радиусы перпендикулярны. ─  9. «Просвещение» ; М., 2008. 1. Атанасян Л.С. и др.  Геометрия  7  ─ 2. Атанасян Л.С. и др.  Геометрия 10   11. «Просвещение»; М., 2008. 3. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике.  Решение задач. М..1996. 4. Войтман Э.Г. Решение геометрических задач аналитическими методами.  М., 1979. 5. Крайзман М.Л. Решение геометрических задач методом координат.  Киев, 1993. 6. Сатьянов П.Г. ( Под редакцией Никольской П.Л.) Метод координат. М.,  «Просвещение», 2001. 7. Программа для классов с углубленным теоретическим и практическим  изучением математики. 8. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 8­9.                       (с углубленным изучением математики). « Просвещение», М., 1996.