Die arithmetischen und geometrischen
Die arithmetischen und geometrischen Progressionen in unserem Leben
Die Arbeit ist vom Schüler der 9. Klasse des Gymnasiums №6 Nikita Krjutschkow gemacht
Mathematiklehrerin – Irina Wladimirowna Beljaewa
Deutschlehrerin – Swetlana Wladimirowna Bobrik
Die arithmetische Progression ist die
Die arithmetische Progression ist die Reihenfolge von Zahlen, in der jede nachfolgende Zahl, mit zweiter beginnend, wird aus der vorhergehenden Zahl durch ihre Vergrößerung auf eine bestimmte Zahl erhalten.
Sie sieht so aus: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…
Die geometrische Progression ist die Reihenfolge der Zahlen, in der jede nachfolgende Zahl, mit zweiter beginnend, wird aus vorhergehender Zahl durch ihre Multiplikation auf eine bestimmte Zahl erhalten.
Sie sieht so aus: b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…
Der Vergleich der arithmetischen und geometrischen
Der Vergleich der arithmetischen und geometrischen Progressionen
an+1=an+d
bn+1=bn ·q
an=а1+d (n-1)
bn = b1qn-1
d = an -а1
q =bn+1:bn
Die Definitionen der arithmetischen und der geometrischen Progressionen sind sehr ähnlich.
Die Addition wird nur durch die Multiplikation ersetzt. Und aus der Formel des n-Gliedes
der arithmetischen Progression
kann man die Formel
für die geometrische Progression
bekommen, wenn man die Addition durch die Multiplikation und die Multiplikation durch
die Potenzierung ersetzt.
Die Aufgaben mit dem praktischen
Die Aufgaben mit dem praktischen Inhalt
Aufgabe №2 Die Schnecke kriecht auf dem
Aufgabe №2
Die Schnecke kriecht auf dem Baum. In erster Minute ist sie 30 cm gekrochen, und für jede nächste Minute — auf 5 cm mehr, als für die vorhergehende. Wann erreicht die Schnecke den Gipfel des Baumes, der 5,25 m lang ist, wenn die Bewegung von seiner Gründung begonnen ist?
Lösung. a1 =30, d=5, Sn= 525, n>0.
Sn= (2a1+ d (n-1))n/2;
525= (2·30+ 5(n-1))n/2;
1050= (60+ 5(n-1))n;
1050= 55n + 5n2;
n2 +11 n -210=0, n1=-21, n2=10 (n>0).
Die Schnecke erreicht den Gipfel des Baumes in 10 Minuten.
Aufgabe №3 Beim freien Fallen ist der
Aufgabe №3
Beim freien Fallen ist der Körper in die erste Sekunde 5m gelaufen, und in jeder folgenden Minute auf 10m mehr. Finden Sie die Tiefe der Grube, wenn der freifallende Körper seinen Grund in 5 c. nach dem Anfang des Fallens erreicht hat.
Lösung (1)
Erste Sekunde: 5m,
Zweite Sekunde: 15m,
Dritte Sekunde: 25m,
Vierte Sekunde: 35m,
Fünfte Sekunde: 45m.
Insgesamt für 5 Sekunden:
5+15+25+35+45=125(m).
Antwort: die Tiefe der Grube ist 125 m.
Lösung (2)
а1=5, d=10.
а5=а1+4d; а5=45
S5=(a1+a5)·n/2
S5=(5+45)·5/2=125
Antwort: die Tiefe der Grube ist 125 m.
Die Entwicklung des Lernens über die
Die Entwicklung des Lernens über die Progressionen
Die ersten theoretischen Nachrichten, die mit den
Die ersten theoretischen Nachrichten, die mit den Progressionen verbunden sind, kamen zu uns aus dem altertümlichen Griechenland.
Schon im altertümlichen Ägypten im V. Jh. v.u.Z. wussten die Griechen die Progressionen und ihre Summen:
1+2+3+ … +n = =2+4+6+ … +2n = n · (n+1).
Einige Formeln, die zu den Progressionen gehörten, waren den chinesischen und indischen Gelehrten im V. Jh. bekannt.
Die Aufgaben mit den Progressionen, die zu uns aus dem Altertum kamen, waren mit den Anfragen des Wirtschaftslebens verbunden: die Verteilung der Lebensmittel, die Teilung des Erbes u.a.
In den Werken von Archimedes (ungefähr 287-212 v.u.Z.) wurden die ersten Nachrichten über die Progressionen dargelegt.
Während seiner Forschungen hat
Während seiner Forschungen hat Archimedes die Summe der unendlichen geometrischen Progression mit dem Nenner 1/4 gefunden, was das erste Beispiel der unendlichen Reihe in Mathematik war…
Pythagoras Pythagoras im IV. Jh
Pythagoras
Pythagoras im IV. Jh. bis zu unserer Zeitrechnung und seine Schüler betrachteten die Reihenfolgen, die mit den geometrischen Figuren verbunden sind. Durch die Berechnung der Zahl der Kreise in den Dreiecken, Quadraten, Fünfecken bekamen sie:
- die Reihenfolge (ап) der dreieckigen Zahlen 1, 3, 6, 10, 15...;
- die Reihenfolge (bп) der quadratischen Zahlen 1, 4, 9, 16, 25...;
- die Reihenfolge (сп) der fünfeckigen Zahlen 1, 5, 12, 22, 35...
Die Reihenfolge (а п ) der dreieckigen
Die Reihenfolge (ап) der dreieckigen Zahlen wird aus der Reihenfolge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3 erhalten..., d.h. aus der arithmetischen Progression, in der das erste Glied und die Differenz 1 gleich sind:
а1 = 1, а2 = 1 + 2, а3 = 1 + 2 + 3, ап = 1 + 2 + 3 + ... + п.
Also, ап = (1 + п ):2·п.
Die Reihenfolge (bn) der quadratischen
Die Reihenfolge (bn) der quadratischen Zahlen wird aus der Reihenfolge der unpaaren Zahlen 1, 3, 5 in der ähnlichen Weise erhalten..., d.h. aus der arithmetischen Progression, deren erstes Glied 1 und die Differenz 2 gleich ist:
b1= 1, b2 = 1 + 3, bз = 1 + 3 + 5, …, bn = 1 + 3 + 5 + ... + 2n- 1
Also, bn =(1+2n-1):2·n; bn=n2.
Also, сn =(1+1+3( п- 1)):2·n; сn=(3n-1)·n/ 2
с1= 1, с2 = 1 + 4,
bз = 1 + 4 + 7, …, сn = 1 + 4 + 7 + ... +(1+3( п- 1))
Also, сn =(1+1+3( п- 1)):2·n; сn=(3n-1)·n/ 2
Die Reihenfolge von
Die Reihenfolge von Fibonacci Die Zahlen Fibonacci — die Elemente der Zahlenreihenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …, in der jede nachfolgende Zahl gleich der Summe von zwei vorhergehenden Zahlen ist.
Die Progressionen in der Natur
Die Progressionen in der Natur
Das Infusorium Im Sommer pflanzen sich die
Das Infusorium
Im Sommer pflanzen sich die Infusorien in der geschlechtslosen Weise durch die Teilung in zwei Hälften fort.
Die Frage: wie viel Infusorien gibt es nach der 15. Vermehrung?
Alle Organismen verfügen über die Intensität
der Vermehrung in der geometrischen Progression.
Die Lösung Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии с геометрической прогрессией;
Die Lösung
Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии с геометрической прогрессией;
Кривая роста численности любого вида при отсутствии ограничений называется экспонентой.
b15 = 2·214 = 32 768
Es ist bekannt, dass sich die Bakterien durch die
Es ist bekannt, dass sich die Bakterien durch die Teilung vermehren: eine Bakterie teilt sich in zwei; jede von dieser zwei Bakterien teilt sich auch, und es ergeben sich vier Bakterien usw. Das Ergebnis jeder Doppelbildung nennen wir die Generation. Die Fähigkeit der Bakterien zur Vermehrung ist so groß, dass wenn sie nicht sterben und sich ununterbrochen fortpflanzen würden, so könnte in drei Tagen die allgemeine Masse der Generation einer Bakterie 7500 Tonnen bilden. Mit solcher riesigen Zahl der Bakterien könnte man 375 Eisenbahnwagen ausfüllen.
Die Bakterien
Die Bakterie, wenn sie in den lebendigen
Die Bakterie, wenn sie in den lebendigen Organismus gerät, teilt sich zu Ende der 20. Minute in zwei Bakterien, jede von ihnen zu Ende der folgenden 20 Minuten teilt sich wieder in zwei usw. Finden Sie die Zahl der Bakterien, die sich aus einer Bakterie zu Ende der Tage bilden.
Die Lösung. Tag und Nacht haben 1440 Minuten, jede zwanzig Minuten erscheint die neue Generation - für einen Tag 72 Generationen. Nach der Formel der Summe n der ersten Glieder der geometrischen Progression, wo b1=1, q=2, n=72, finden wir: S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 – 1 =
4 722 366 482 869 645 213 695
Der Löwenzahn Eine Pflanze des
Der Löwenzahn
Eine Pflanze des Löwenzahns nimmt auf der Erde die Fläche den 1 m2 ein und gibt im Jahr etwa 100 flüchtige Samen.
а) Wieviel km2 der Fläche wird die ganze Generation eines Löwenzahns in 10 Jahren abdecken, wenn er sich ungehindert nach der geometrischen Progression fortpflanzt?
Lösung: [1012 km2]
b) Ob diesen Pflanzen auf das 11. Jahr Platz auf der Oberfläche der Erde ausreichen wird?
Lösung: [nein, S des Festlandes = 148 Mio km2]
Die Beispiele der interessanten
Die Beispiele der interessanten Aufgaben
Der indische Zar Scheram hat den
Der indische Zar Scheram hat den Erfinder des Schachspieles Set eingeladen und hat ihn gefragt, welche Belohnung er für seine Erfindung bekommen wollte.
Dann hat Set den Zaren gebeten, auf den ersten Schachkäfig ein Korn zu legen, auf zweiten – 2 Körner, auf dritten – 4, auf vierten – 8 usw.
Der Zar war zuerst von der Bescheidenheit des Erfinders erstaunt.
Aber bald wurde es sich herausgegeben, dass der Staatsschatz des Zaren zu gering war, um die Bitte von Set zu erfüllen.
Wieviel Körner musste der Erfinder des
Schachspieles bekommen?
Die altertümliche indische Legende
S64=264-1 = 18446744073704551615
Siedlungsgerüchte: Es ist merkwürdig, wie schnell sich die
Über die Siedlungsgerüchte:
Es ist merkwürdig, wie schnell sich die Gerüchte in der Siedlung verbreiten! Kaum zwei Stunden sind nach einem Vorfall vergangen, den nur einige Menschen gesehen haben, und die Neuheit ist schon allen bekannt.
Beispiel:
In der Siedlung gibt es 16 000 Einwohner. Ein Reisende erzählt die Neuheit den drei Nachbarn um 8 Uhr; jeder von ihnen erzählt die Neuheit noch drei Nachbarn usw. Um wieviel Uhr ist diese Neuheit der Hälfte der Siedlung bekannt?
Die Lösung. Also, um 8. 15 war die
Die Lösung. Also, um 8. 15 war die Neuheit nur vier Menschen bekannt: dem Angereisten und drei Ortsbewohnern. Diese drei Bürger erzählen die Neuheit den anderen 3 Menschen. Es hat auch die Viertelstunde gefordert: 4+3·3=13
Um 8.45 ist die Neuheit schon 13+9·3= 40 Menschen bekannt.
Um 9.00 40+27 ·3=121
9.15 121+81 ·3 =364
9.30 364+243 ·3=1093
9.45 1093+729 ·3=3280
10.00 3280 + 2187 ·3 =9841
Die Progressionen in der Literatur:
Die Progressionen in der Literatur:
Ямб/Jamb – das ist ein Versmaß mit der Betonung auf den gerade Silben 2; 4; 6; 8; … die Nummern der Stosssilben bilden die arithmetische Progression mit dem ersten Glied 2 und der Differenz der Progression 2.
Хорей/Horej – ein Versmaß mit der Betonung auf unpaaren Silben des Gedichtes. Die Nummern der Stosssilben bilden die arithmetische Progression 1; 3; 5; 7
Beispiele
Ямб «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», Progression 2; 4; 6; 8
Хорей «Я пропАл, как звЕрь в загОне» von Pasternak, «БУря мглОю нЕбо крОет» von Puschkin , Progression 1; 3; 5;7
Finanzpyramiden: Wie funktionieren die
Über die Finanzpyramiden:
Wie funktionieren die Mechanismen dieser Organisationen?
Der Gründer beginnt, zur Organisation zuzuziehen und sagt, wenn der Mensch 1 Rubel an die angegebenen Adressen bezahlt, und dann noch an 5 Adressen, die erste Adresse wird dabei ausgestrichen und als letzte seine eigene geschrieben, bekommt man später eine Menge Geld. Obwohl viele Leute reich werden möchten, gewinnen in diesem Fall nur die Organisatoren dieser Pyramide.
Die Lösung. Es handelt sich darum, dass die Zahl der Teilnehmer in 5 Male mit jedem Kreis zunimmt. Wenn 5 Veranstalter 120 Menschen mit ihren Adresse unterschreiben, so nehmen am ersten Kreis 120 Menschen teil, am zweiten – 600, am dritten – 3 000, …, am zehnten – 234 375 000 Menschen; es ist mehr als die Bevölkerung des Landes. So bekommt der Teilnehmer, der sich im achten oder neunten Kreis einreihte, schon nichts.
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