Пропорциональные отрезки треугольнике «Теоремы Чевы и Менелая", *8 класс, геометрия)

Цели: 1) Формирование исследовательского подхода к решению задач; 2) Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и его истории; 3) Сформулировать и доказать теоремы Чевы и Менелая; 4) Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при доказательстве теорем, а также логического перехода от одного шага к другому; 5) Формирование навыка решения задач «в один шаг» на непосредственное применения изученных теорем. Задачи: 1) Решение задач, подводящих к формулировке теорем Чевы и Менелая; 2) Сформулировать и доказать теоремы Чевы и Менелая; 3) Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при доказательстве теорем, а также логического перехода от одного шага к другому; 4) Формирование навыка решения задач «в один шаг» на непосредственное применения изученных теорем.Пропорциональные отрезки треугольнике «Теоремы Чевы и Менелая.» Цели: 1) Формирование исследовательского подхода к решению задач; 2) Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и его истории; 3) Сформулировать и доказать теоремы Чевы и Менелая; 4) Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при доказательстве теорем, а также логического перехода от одного шага к другому; 5) Формирование навыка решения задач «в один шаг» на непосредственное применения изученных теорем. Задачи: 1) Решение задач, подводящих к формулировке теорем Чевы и Менелая; 2) Сформулировать и доказать теоремы Чевы и Менелая; 3) Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при доказательстве теорем, а также логического перехода от одного шага к другому; 4) Формирование навыка решения задач «в один шаг» на непосредственное применения изученных теорем. Оборудование: мультимедийный проектор. Ход урока: I. Решение задачи с помощью обобщённой теоремы Фалеса. № 1. В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ : МС = 1 : 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ. (Указание: через точки N и С провести параллельные прямые, пересекающие АВ; и через точки М и С провести параллельные прямые, пересекающие АВ). Эту задачу можно решить более рациональным способом, но для этого нужны дополнительные знания. II. Доклад о математике Джованни Чева. Джованни Чева — итальянский математик. Родился в 1648 г. и умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Старался возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении «О взаимопересекающихся прямых». В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Прилагаемый к вопросам, в которых рассматриваются отношения между отрезками, образованными пересекающимися линиями друг на друге, он состоит в помещении в точках пересечения тяжестей, обратно пропорциональных соответствующим отрезкам, и в последующем за тем выводе отношения между тяжестями на основании принципа рычага в статике. Достаточно назвать известное в геометрии под именем теоремы Чевы предложение о произведениях отрезков, образованных на сторонах треугольника трансверсалями, проходящими через общую точку (произведение трех отрезков, не сходящихся попарно в одной общей точке, равно произведению трех других отрезков), и на подобное же предложение об отрезках, образованных на сторонах четырехугольника плоскостью, их пересекающею, если не все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости. Во второй части идеи и теоремы, изложенные в 1-й, прилагаются к коническим сечениям. Наконец, прибавление занимается теоремами о площадях некоторых плоских фигур и об объемах и центрах тяжести тел вращения второго порядка. Чева был инженером-гидравликом и в качестве такового несколько раз служил правительству Мантуи. Смерть его последовала во время осады Мантуи. Считался выдающимся автором в области экономики — первым проницательным математическим писателем по этому предмету. Его брат, Томмазо Чева, математик (1648 — 1737), иезуит. В 1695 г. изобрел инструмент для механического деления угла на три части. III. Определение чевианы и доказательство теоремы Чевы. Определение. Чевианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой на противоположной стороне этого треугольника. Теорема Чевы. Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки . Отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: . Доказательство: Необходимость. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке O. Проведем через вершину B треугольника прямую a║AC. Пусть прямые АА1 и ВВ1 пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников АА1С и МА1В1 по двум углам (А1СА = А1ВМ как накрест лежащие и ВА1М = АА1С как вертикальные) имеем: . (1) Аналогично из подобия треугольников АС1С и ВС1N по двум углам (С1СА = С1NB и С1АС = С1BN – как пары накрест лежащих): . (2) Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам (ОСА = ONP и ОАС = OMN) получаем . (3) Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств (1), (2) и (3), получим необходимое равенство. Достаточность. Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 проходят через одну точку. Пусть O – точка пересечения отрезков АА1 и СС1, а C2 – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что . Сравнивая с условием теоремы, получим . Следовательно, точки C2 и С1 совпадают. IV. Решение задач. № 2. Решить задачу №1 с помощью теоремы Чевы. № 3. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD : DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения? V. Презентация о математике Менелае Александрийском. VI. Доказательство теоремы Менелая. (Доказательство ведётся с помощью мультимедийного аппарата в программе «Живая геометрия»). VII. Решение задач. № 4. В треугольнике АВС точка М – середина АВ, точка N такая, что BN : NC = 3 : 2. Прямая МN пересекает прямую АС в точке К. Найти отношение КС : АК. № 5. В треугольнике АВС отрезки AD и ВЕ, проведённые из вершин А и В к сторонам ВС и АС соответственно, делятся точкой пересечения Q в соотношении AQ : QD = 7 : 5, BQ : QE = 3 : 4. В каков отношении точки D и Е делят сторону треугольника? VIII. Итог урока: Объявление отметок и домашнего задания.