Добавить материал

и получить 10 документов
и свидетельство СМИ

Семенова Альбина Михайловна

Простейшие тригонометрические уравнения

docx
14.05.2024

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал

Простейшие тригонометрические уравнения..docx

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

«Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

РАССМОТРЕНО и ОДОБРЕНО

на заседании

ЦМКОГСЭ

Протокол № ____

«____» _______________ 20 ___ г.

Председатель ЦМК

____________Л.М Иванова

утверждено

Зав. филиалом БПОУ «ЧМК»

МЗ Чувашии в г. Канаш

____________ Т.Э Фадеева

Методическая разработка теоретического занятия

Простейшие тригонометрические

уравнения.

учебная дисциплина БД. 04 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

(базовая подготовка)

Канаш, 2021

Составитель: Семенова А.М., преподаватель высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Рецензент: Иванова Л.М., преподаватель, высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Аннотация

Данная разработка предназначена для изучения темы «Простейшие тригонометрические уравнения» обучающимися 1 курсов СПО. Эта тема является введением в последующие, следовательно, именно ее успешное понимание и отработка послужат базой под изучение других.

Для того чтобы установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных, повторяется тема «Тригонометрия», которая подготавливает учащихся к восприятию нового материала.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

1. методический блок. 4

1.1. Учебно-методическая карта. 4

Формы деятельности. 4

1.2. Технологическая карта. 8

2. Информационный блок. 10

2.1. План лекции. 10

2.2 Текст лекции. 11

2.3. Глоссарий. 18

3. Контролирующий блок

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка занятия на тему «Простейшие тригонометрические уравнения.» из раздела «Тригонометрическая функция» составлена на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.

Цель изучения данной темы узнатьосновные тригонометрические тождества, формулы приведения.

Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Методическая разработка занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Простейшие тригонометрические уравнения.» –2 часа. В процессе практического занятия студенты закрепляют полученные знания: определения функций, их свойства и графики, преобразования графиков, непрерывные и периодические функции, обратные функции и их графики.

Методическая разработка предназначена для оказания методической помощи студентам при изучении занятий по теме «Простейшие тригонометрические уравнения». Методическая разработка основывается на учебнике для базового и профильного обучения: Алгебра и начала математического анализа Ш.А Алимов.

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

1.1. Учебно-методическая карта

Тема занятия	Логарифмы.
Учебная дисциплина	БД.04 Математика
Специальность	34.02.01 Сестринское дело (базовая подготовка)
Курс	I
Группа	9М-11-20, 9М-12-20, 9М-13-20,9М-14-20, 9М-15-20.
Место проведения	Кабинет № 5
Продолжительность занятия	90 мин.
Характеристика занятия	Вид	Вид занятия: Лекция текущая, обзорная.
	Тип	Типы учебных занятий урок изучения нового материала; комбинированный урок
	Форма	Изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных пособий. Формы деятельности Фронтальная.
Технологии обучения	Традиционная технология обучения
Методы обучения	Метод Репродуктивный: упражнения, действия по алгоритму. Интерактивные методы – практическая отработка осваиваемых знаний, умений, навыков на уровне компетенций
Средства обучения	1.По характеру воздействия на обучаемых: ИКТ - презентации; 2.По степени сложности: простые: учебники, печатные пособия.
Методическая цель	Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений. - реализовывать индивидуальный дифференцированный подход в процессе выполнения обучающимися заданий для самостоятельной работы;
Цели и задачи занятия	Воспитательная			Формулировать интеллектуальных, нравственных, эмоционально-волевых качеств у обучающихся.		Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний; Воспитывать ответственность за свои действия и поступки; Вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.
	Образовательная			Сформирование представлений у студентов понятия простейших тригонометрических уравнений. Обобщение и систематизирование приобретенных знаний по теме Простейшие тригонометрические уравнения.		Закрепить знания при решении тригонометрических уравнений, используя основные тригонометрические тождества; Включить новые знания в систему ранее усвоенных; закрепить изученный на этом уроке.
	Развивающая			Развитие речи, мышления, сенсорной восприятие внешнего мира через органы чувств сферы;		Формировать навыки познавательного мышления. Продолжить развитие умения выделять главное. Продолжить развитие умения устанавливать причинно-следственные связи. Развивать навыки и умения, в выполнении заданий по теме, умение работать в группе и самостоятельно. Развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ. развивать познавательный интерес.
Планируемый результат	Уметь	Воспроизвести опорные знания по теме; совершенствовать навыки применения основных тригонометрических формул и формул приведения; формировать навыки решения простейших тригонометрических уравнений;
	Знать	Методы решения простейших тригонометрических уравнений.
Формированиекомпетенций у обучающихся	Общие (ОК)				Л1. Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики; Л5. Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; Л8. Отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем; М2. Умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты; М5. Владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
	Профессиональные (ПК)				П1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке; П3. Владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; П4. Владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
Межпредметные связи	Входящие		Алгебра, тригонометрия.				Математический анализ.
	Выходящие		Тригонометрическое тождество				Формулы приведения.


Внутрипредметные	Синус, косинус, тангенс и котангенс. Формулы приведения.

Оснащение занятия	Методическое			Методическая разработка занятия.
	Материально-техническое			Ручка, карандаш, тетрадь, линейка.
	Информационное			Компьютер, интерактивная доска.
Список литературы	Основная			1.Алимов, Ш. А. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)10—11 классы / Ш.А. Алимов — М., 2018. – с.455. 2.Колягин, Ю.М. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / М. В Ткачева., Н. Е Федерова. — М., 2018. - 384 с.
	Дополнительная			1 Александров А.Д., Геометрия / А.Л.Вернер, В.И. Рыжик (базовый и профильный уровни). 10—11 кл. – 2017. – 344 с. 2. Богомолов, И.Д. Математика: учебник / И.Д. Богомолов. – М., 2018. - 384 с.
	Интернет-ресурсы			1. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. 2. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/78472. 3.http://fcior.edu.ru/ - Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов 4.http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

1.2. Технологическая карта

Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся	Методическое обоснование		Формируемые ОК и ПК
1. Организационный этап -5 мин.
Проверяет готовность обучающихся к занятию. дает положительный эмоциональный настрой, организует, проверяет готовность уч-ся к уроку	Готовятся к началу занятия.	Включение обучающихся в деятельность на личностно значимом уровне.		ОК 1, ОК 4. П1.
2. Этап всесторонней проверки домашнего задания - 10мин.
Выявляет правильность и осознанность выполнения всеми обучающимися домашнего задания; устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях.	По очереди комментируют свои решения. Приводят примеры. Пишут под диктовку.	Повторение изученного материала, необходимого для открытия нового знания, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого обучающегося.		ОК1, ПК 1, ПК4
3. Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся - 5 мин.
Озвучивает тему урока и цель, уточняет понимание обучающегося поставленных целей урока. Эмоциональный настрой и готовность преподавателя на урок.	Эмоционально настраиваются и готовятся обучающихся на урок. Ставят цели, формулируют тему урока.	Обсуждение затруднений; проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить. Методы, приемы, средства обучения: побуждающий от проблемы диалог, подводящий к теме диалог.		ОК 1, ОК 4. П1.
4. Актуализация знаний -30 мин.
Уточняет понимание обучающимися поставленных целей занятия. Выдвигает проблему. Создает условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел, имели представление о пределе числовой последовательности	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух.		Создание проблемной ситуации. Уч-ся- фиксируют индивидуальные затруднения. Создание условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел.	ОК 1, ОК 4. П1.
5. Первичное усвоение новых знаний- 10 мин.
Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний.	Внимательно слушают, записывают под диктовку в тетрадь.	Создание условий, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел.		ОК1, ПК 1, ПК4
6. Первичная проверка понимания- 10 мин.
Проводит параллель с ранее изученным материалом. Проводит беседу по уточнению и конкретизации первичных знаний;	Отвечают на заданные вопросы преподавателем.	Осознание степени овладения полученными знаниями - каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.		ОК1, ПК 1, ПК4
7. Первичное закрепление- 5 мин.
Контролирует выполнение работы. Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль. Побуждает к высказыванию своего мнения. Показывает на доске решение, опираясь на алгоритм.	записывают решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга;	Тренировка и активизация употребления новых знаний, включение нового в систему Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная.		ОК1, ПК 1, ПК4
8. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция (подведение итогов занятия 5 мин
Отмечает степень вовлеченности обучающихся в работу на занятии. Задает вопросы по обобщению материала.	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух;	Оценивание работу обучающихся, делая акцент на тех, кто умело взаимодействовал при выполнении заданий		ОК 1, ОК 4. П1.
9. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению5 мин
Обсуждение способов решения домашнего задания. Записывает номера заданий на доске.	Обобщают полученные знания, делают вывод о выполнении задач урока.	Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению		ОК 1, ОК 4. П1.
10. Рефлексия (подведение итогов занятия),5 мин
Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на занятии.	1. Проводят самоанализ: “Чему научились и что нового узнали?”	Осознание своей учебной деятельности; самооценка результатов деятельности своей.		ОК1, ПК 1, ПК4

2. Информационный блок

2.1. План лекции

№ п/п	Изучаемые вопросы	Уровень усвоения
1.	Объяснение темы Простейшие тригонометрические уравнения.	1
	1.1 Простейшие тригонометрические уравнения.	2
	1.2 Методы решения тригонометрических уравнений.	2
2.	Закрепление нового материала.
	2.1 Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.	3
	2.2Решение примеров устно.
3.	Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы № 620- 627.	3
4.	Домашнее задание № 620-627. (четные пункты).	3

2.2 Текст лекции

1. Теоретический материал. Простейшие тригонометрические уравнения.

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов: $https://latex.codecogs.com/png.latex?sinx=a,\:&space;\:&space;cosx=a,\:&space;\:&space;tgx=a,\:&space;\:&space;ctgx=a.$

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.

Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.

Уравнения cosx = a и sinx = a

Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии $https://latex.codecogs.com/png.latex?|a|&space;\leq&space;1$ . Абитуриент, будь внимателен! Уравнения $https://latex.codecogs.com/png.latex?sinx&space;=&space;\frac%7b3%7d%7b2%7d$ или cosx = −7 решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

1. cosx = 1.

Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

2. cosx = -1.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:

Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\pi&space;+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

3. sinx = 1.

Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:

И записываем ответ:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\frac%7b\pi%7d%7b2%7d&space;+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

4. sinx = -1.

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? :-)

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=-\frac%7b\pi%7d%7b2%7d&space;+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\frac%7b3\pi%7d%7b2%7d&space;+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Это — дело исключительно вашего вкуса.

Заодно сделаем первое полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.

5. sinx = 0.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов π (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

6. cosx = 0.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из $https://latex.codecogs.com/png.latex?\frac%7b\pi%7d%7b2%7d$ прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\frac%7b\pi%7d%7b2%7d+\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.

7. $https://latex.codecogs.com/png.latex?cosx=\frac%7b1%7d%7b2%7d.$

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой $https://latex.codecogs.com/png.latex?\frac%7b1%7d%7b2%7d$

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x_%7b1%7d=\frac%7b\pi&space;%7d%7b3%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x_%7b2%7d=-\frac%7b\pi&space;%7d%7b3%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Обе серии решений можно описать одной формулой:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x_%7b2%7d=\pm&space;\frac%7b\pi&space;%7d%7b3%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

8. $https://latex.codecogs.com/png.latex?cosx=\frac%7b\sqrt%7b2%7d%7d%7b2%7d$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\pm&space;\frac%7b\pi&space;%7d%7b4%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

9. $https://latex.codecogs.com/png.latex?cosx=\frac%7b\sqrt%7b3%7d%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\pm&space;\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

10. $https://latex.codecogs.com/png.latex?cosx=-\frac%7b1%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\pm&space;\frac%7b2\pi&space;%7d%7b3%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

11. $https://latex.codecogs.com/png.latex?cosx=-\frac%7b\sqrt%7b2%7d%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\pm&space;\frac%7b3\pi&space;%7d%7b4%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

12. $https://latex.codecogs.com/png.latex?cosx=-\frac%7b\sqrt%7b3%7d%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\pm&space;\frac%7b5\pi&space;%7d%7b6%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

13. $https://latex.codecogs.com/png.latex?sinx=\frac%7b1%7d%7b2%7d.$

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой $https://latex.codecogs.com/png.latex?\frac%7b1%7d%7b2%7d$ :

Углы, отвечающие правой точке:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x_%7b1%7d=&space;\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Углы, отвечающие левой точке:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x_%7b2%7d=&space;\frac%7b5\pi&space;%7d%7b6%7d+2\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=(-1)%5e%7bk%7d\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d+\pi&space;k,\:&space;\:&space;k\in&space;Z.$

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=(-1)%5e%7b2n%7d\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d+\pi\cdot&space;2&space;n=\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d+2\pi&space;n.$

Мы получили первую серию решений x₁. А если k нечётно, k = 2n + 1, то

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=(-1)%5e%7b2n+1%7d\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d+\pi(2n+1)=-\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d+2\pi&space;n+\pi&space;=\frac%7b5\pi&space;%7d%7b6%7d+2\pi&space;n.$

Это вторая серия x₂.

Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1)^k обычно ставится правая точка, в данном случае $https://latex.codecogs.com/png.latex?\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d$ .

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

14. $https://latex.codecogs.com/png.latex?sinx=\frac%7b\sqrt%7b2%7d%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=(-1)%5e%7bk%7d\frac%7b\pi&space;%7d%7b4%7d+\pi&space;k,\:&space;\:&space;k\in&space;Z.$

15. $https://latex.codecogs.com/png.latex?sinx=\frac%7b\sqrt%7b3%7d%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=(-1)%5e%7bk%7d\frac%7b\pi&space;%7d%7b3%7d+\pi&space;k,\:&space;\:&space;k\in&space;Z.$

16. $https://latex.codecogs.com/png.latex?sinx=-\frac%7b1%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=(-1)%5e%7bk%7d\left&space;(-\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d&space;\right&space;)+\pi&space;k=(-1)%5e%7bk+1%7d\frac%7b\pi&space;%7d%7b6%7d+\pi&space;k,\:&space;\:&space;k\in&space;Z.$

17. $https://latex.codecogs.com/png.latex?sinx=-\frac%7b\sqrt%7b2%7d%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=(-1)%5e%7bk+1%7d&space;\frac%7b\pi&space;%7d%7b4%7d&space;+\pi&space;k,\:&space;\:&space;k\in&space;Z.$

18. $https://latex.codecogs.com/png.latex?sinx=-\frac%7b\sqrt%7b3%7d%7d%7b2%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=(-1)%5e%7bk+1%7d&space;\frac%7b\pi&space;%7d%7b3%7d&space;+\pi&space;k,\:&space;\:&space;k\in&space;Z.$

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?\frac%7bAB%7d%7bOA%7d=\frac%7bMN%7d%7bON%7d$

Но $https://latex.codecogs.com/png.latex?OA=1,&space;\:&space;\:&space;MN=sinx,\:&space;\:&space;ON=cosx,$ поэтому

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.

Уравнение tg x = a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

19.

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

20. $https://latex.codecogs.com/png.latex?tgx=\frac%7b1%7d%7b\sqrt%7b3%7d%7d.$

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\frac%7b\pi%7d%7b6%7d+\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

21.

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\frac%7b\pi&space;%7d%7b4%7d+\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

22. $https://latex.codecogs.com/png.latex?tgx=\sqrt%7b3%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=\frac%7b\pi%7d%7b3%7d+\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

23. $https://latex.codecogs.com/png.latex?tgx=-\frac%7b1%7d%7b\sqrt%7b3%7d%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=-\frac%7b\pi%7d%7b6%7d+\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

24.

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=-\frac%7b\pi%7d%7b4%7d+\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

25. $https://latex.codecogs.com/png.latex?tgx=-\sqrt%7b3%7d.$

$https://latex.codecogs.com/png.latex?x=-\frac%7b\pi%7d%7b3%7d+\pi&space;n,\:&space;\:&space;n\in&space;Z.$

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:

• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;

• при $https://latex.codecogs.com/png.latex?a\neq&space;0$ уравнение равносильно уравнению $https://latex.codecogs.com/png.latex?tgx=\frac%7b1%7d%7ba%7d.$

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях :-)

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций.

3.Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы № 620-627.

4. Домашнее задание № 620- 627. (четные пункты). Подведение итогов.

2.3. Глоссарий

Термин	Значение

Формулы приведения	– это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

3. Контролирующий блок

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения.

№ п/п	1 вариант	2 вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10	Найдите решения , удовлетворяющих условию	Найдите решения , удовлетворяющих условию

Время выполнения -15 минут

Нормы оценок меньше 4 заданий – 2 балла

5-6 верно выполненных заданий – 3 балла

7-8 верно выполненных заданий – 4 балла

9-10 верно выполненных заданий – 5 баллов

Скачано с www.znanio.ru

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения

Составитель: Семенова А.М. , преподаватель высшей квалификационной категории филиала

ВВЕДЕНИЕ Методическая разработка занятия на тему «

МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК 1.1. Учебно-методическая карта

Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний

Информационный блок 2.1. План лекции № п/п

Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π,

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Посмотрите также