Простые и сложные проценты. Процентные вычисления в профессиональных задачах.

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения

Чувашской Республики

«Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашской                            Республики в городе Канаш

Простые и сложные проценты. Процентные вычисления

 в профессиональных задачах.

Специальность 31.02.01 Лечебное дело

Канаш, 20224

                                                            Введение.

       Умение выполнять процентные вычисления, − безусловно, одна из самых необходимых математических компетенций  вычисление процентов.
Процентом (от латинского pro cento – с сотни) называется сотая часть. Запись 1% означает 0,01; 27%=0,27; 100%=1; 150%= 1,5 и т.д.

1. При решении задач на проценты используются основные формулы:

1% числа а равен а.

р% от числа а равно  а.

Если известно, что некоторое число а составляет р% от х, то х можно найти из пропорции

а   − р%

х   − 100%,

откуда х= а.

Пусть имеются числа a, b, причем а<b. Тогда

Число b больше числа а на100%.

Число а меньше числа b на100%.

Три основные математические задачи на проценты таковы.
Задача 1. Найти указанный процент данного числа.
Данное число делится на 100, и полученный результат умножается на число процентов.
Примеры:
Найти 20% от числа 40
Найти 15% от числа 150
Задача 2. В отделении за сутки в среднем расходуется 0,5 кг хлорной извести. Во время генеральной уборки помещений было израсходовано 153% среднесуточного количества хлорной извести. Сколько хлорной извести израсходовал персонал отделения во время генеральной уборки помещения?
Решение:
Ответ: Во время генеральной уборки израсходовано 0,765 кг хлорной извести.
Задача № 3. Найти число по данной величине указанного его процента.
Данная величина делится на число процентов, и результат умножается на 100.
Вес хлорной извести в растворе составляет 10%. Сколько потребуется воды для разведения раствора, если известно, что хлорной извести взяли 0,2 кг?
Решение:
Ответ: Потребуется 2 литра воды.
Задача № 4: Длина малой берцовой кости человека составляет 22% его роста, а локтевой кости – 16%. При раскопках нашли малую берцовую кость длиной 37,8 см и локтевую кость длиной 20,3 см. Определить принадлежали ли эти кости одному и тому же человеку?
Ответ: Кости не принадлежали одному и тому же человеку.
Примеры:
Найти 100% , если 5% это число 10
Решение:
Найти 100%, если 20% это число 12
Решение:
Задача № 3 Найти выражение одного числа в процентах другого.
Примеры:
Найти 25%, если 75% это число 120
Решение:
Найти 50%, если 23% это число 69
Решение:
Задача: За сутки в отделении израсходовано 765 г хлорной извести вместо среднесуточной нормы расхода 500 г. На сколько процентов больше израсходовано хлорной извести?
Решение:
Ответ: хлорной извести было израсходовано на 53% больше.
Задачи для самостоятельной работы:

Задача 1: Найти массу костной системы человека весом 95кг, если известно, что костная система составляет 55% от массы тела.

 Задача 2:Сколько граммов фурацилина находится в:

а) 200 мл 0,02% раствора;

б) 500мл 0,02% раствора.

2. Формула сложных процентов.

        Задачи на сложные проценты Сложные проценты каждый раз начисляются на всю имеющуюся суму А₀ (с учетом процентов, которые до этого были уже начислены и тем самым добавлены к сумме вклада). Пусть изначальная сумма вклада равна А₀ и x% начисляются в конце каждого периода по правилу сложных процентов (в зависимости от условия задачи периодом может быть месяц, квартал, год и т.п.). Тогда через m периодов величина средств, лежащих на счету вкладчика, станет равной 𝐴𝑚 = (1 + 𝑥 100 ) 𝑚 𝐴0  

         Пример 1. Предприниматель Петров получил в 2005 году прибыль в размере 12000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 110% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2008 год? Решение. Прибыль увеличивалась 3 года, следовательно, к 2008 году она составит 𝐴3 = (1 + 110 100) 3 12000 = 111132 Ответ: 111132 руб.

          Если на вклад положена сумма а денежных единиц, банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит

aден.ед.

                                                  Задачи на проценты.

Задача 1.

Умных людей на 45 % меньше, чем красивых, 36% умных обладают красивой внешностью. Каков процент умных людей среди красивых?

Решение: пусть х − количество красивых людей, тогда количество умных людей:

х − 0,45х = 0,55х.

Среди умных 36% составляют красивые люди, следовательно, количество умных и одновременно красивых людей:

0,36 ·0,55х= 0,198х.

Составим пропорцию:

х −  100%

0,198х −  а%.

Отсюда получим:

а = 19,8%.

Ответ: 19,8%

           Студенты с интересом решают текстовые задачи на проценты, которые ближе к реальной жизни. Особый «прикол» представляет собой подача задач не из задачника, а прямо с газетной полосы. Тут уж не возникает мыслей о ненужности математики. А «процентная журналистика» в связи с разразившимся экономическим кризисом на страницах газет буквально процветает.

    Задача 2.

Цены на путевки уже подросли: например, туры во Францию − на 20%. Можно ли сказать, на сколько процентов раньше тур во Францию был дешевле?

Решение: пусть х − старая цена, а n − новая цена.

1) Составим первую пропорцию:

х −  100%

n − 120%,

Получим n=1,2х.

2) Составим вторую пропорцию:

1,2х − 100%

х − (100-а%)

(100-а) 1,2х = 100х

Решив уравнение, получим: а ≈17%.

Ответ:17%.

5. Литература.

1. С.Я. Криволапов. Пособие по математике для абитуриентов. М., 2020
2. Математика в школе. №6, 2009.
3. Типовые варианты ЕГЭ-2022.