Рабочая тетрадь "за страницами учебника" 5 класс. Нестандартные математические задачи

Методика решения представленных задач Задачи   на   восстановление   знаков   арифметических   действий. Учащимся   предлагается   определить   с   помощью   какой   арифметической операции получено данное выражение. Такие задачи развивают логическое и творческое мышление, внимательность, сообразительность. Среди таких задач есть   и   те,   которые   можно   решить   и   устно.   Для   этого   достаточно   лишь внимательно посмотреть на выражение.  Задачи   на   восстановление   знаков   арифметических   действий   между некоторыми   числами   вызывают   некоторые   затруднения.   Учитель   может помочь   учащимся   составить   план   решения   или   вовсе   подсказать   первое действие.  Для   задачи   в)   достаточно   всего   лишь   определить   результатом   какой арифметической операции из пятерок может получится число 2. Данное число может получится только если разделить какое­то число на пять, но тогда уже сразу   становится   понятно   какое   это   должно   быть   число   и   как   его   можно получить. (5+5):5=2. Получить же из трех пятерок значение выражение пять немного легче. Уже по аналогии с первой задачей можно какое­то число разделить на 5, из некоторой величины вычесть 5 или же прибавить. Как только это удалось, легко восстановить оставшиеся знаки. 5∙5:5=5; 5­5+5=5; 5+5­5=5. Задачи   г)   и   д)   аналогичны   предыдущим   по   характеру   решения,   но добавляется   еще   одно   действие.   Для   получения   необходимого   значения можно объединять цифры друг с другом, причем в любом месте выражения. При   решении   данных   задач   учитель   может   сделать   подсказку,   что   решать лучше, отталкиваясь от ответа, или с помощью наводящих вопросов подвести учащихся к решению. Задача.  Пользуясь   пятью   пятерками   и   знаками   действий,   запишите число 100.  Давайте   сначала   внимательно   посмотрим   на   число   100.   Оно трехзначное. О чем нам это может сказать?  Трехзначное   число   можно   получить   из   двузначного   или трехзначного   путем   прибавления   или   вычитания   либо   однозначного,   либо двузначного числа. А использовать  будем только операцию сложение или какие­то еще арифметические действия? Еще можно использовать умножение и деление. Почему? Заметим, что число 100 не только трехзначное, четное, но еще и       круглое (то есть оканчивается нулями). Число 5 можно умножить само на себя (или возвести в степень) так, что полученное число будет оканчиваться цифрой 5. Поэтому при вычитании чисел, оканчивающихся цифрой 5, может получиться круглое число. Аналогично,   если умножить двузначное круглое число на 5, то можно получить 100. Хорошо. Как вы думаете, как это можно сделать? Первые три пятерки можно перемножить, мы получим 125. Затем, перемножит   оставшиеся   пятерки   –   получим   25.   Из   первого   произведения отнять второе и получим 100 (5∙5∙5­ (5∙5)=100). Или можно решить еще одним способом: число 100 можно получить, если умножить некоторое число на 5. Для того, чтобы это число найти, нужно 100 разделить на 5, получим 20. Данное   число   можем   получить   из   оставшихся   четырех   пятерок   путем   их сложения. Таким образом, получим (5+5+5+5)∙5=100. Аналогично можно рассуждать при решении задачи д). При   решении   задачи   е)   учащиеся   должны   найти   закономерность   при восстановлении   знаков   арифметических   действий.   Также   решаются   и остальные задачи данного типа. Задачи на переливание. Все задачи на переливание можно представить двумя типами:  Задачи­«водолеи»   ­   это   задачи,   в   которых   нужно   получить конечное   число   жидкости   с   помощью   неких   емкостей   из   бесконечного источника.   Бесконечный   источник   –   это   источник,   из   которого   можно наливать и в который можно вливать жидкости.   Задачи­«Переливашки»   ­   задачи,   в   которых   нужно   разделить жидкость   в   большей   емкости   с   помощью   нескольких   емкостей   меньшего объема. При решении задач учащиеся должны учитывать следующее:  Разрешено наливать в емкость столько жидкости, сколько в нее может поместиться; если она вся в нее помещается?   Разрешается переливать всю жидкость из одной емкости в другой, Разрешается   отливать   из   емкости   столько   жидкости,   сколько необходимо для того, чтобы вторая емкость стала полной. Перед тем, как начать решать задачу, необходимо понять к какому типу задач на переливание она относится. Для них также существуют алгоритмы решения.  Для решения задач типа «водолей» предлагается следующий алгоритм: 1. 2. 3. 4. Наполнить больший сосуд жидкостью из бесконечного источника. Перелить жидкость из большего сосуда в меньший. Вылить жидкость из меньшего сосуда. Повторять   действия   1­3   до   тех   пор,   пока   не   будет   получено обозначенное в условии задачи количество жидкости. Алгоритм для решения задач типа «переливашка»: 1. 2. Из большей емкость наполнить емкость промежуточного объема. Затем   перелить   жидкость   из   промежуточной   емкости   в   самую маленькую. 3. Перелить   жидкость   из   самой   маленькой   емкости   в   самую большую. 4. Повторять   емкость   2­3   до   тех   пор,   пока   не   будет   пустой промежуточная емкость. 5. Если   емкость   промежуточного   объема   пуста,   то   повторять действия   1­5   до   тех   пор,   пока   не   будет   получено   из   условия   задачи количество жидкости. Задача. Однажды Винни – Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам.   Пчелки   очень   обрадовались,   увидев   мишку   с   букетом   цветов,   и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни – Пух долго думал, но все таки смог решить эту задачу. Как он это сделал? Решение задач на переливание удобно оформлять в виде таблицы. 1. Определить какого типа данная задача. Речь идет о двух  сосудах, с   помощью   которых   необходимо   налить   данный   объем   воды.   Значит,   это задача «переливашка».  2. Составляем таблицу: ходы 5 л 3 л 1 5 ­ 2 2 3 3 2 ­ 4 ­ 2 5 5 2 6 4 3 1. 2. 3. Из бочки наполняем 5­литровый сосуд. Из 5­литрового сосуда переливаем 3 литра в 3­литровый сосуд. После чего в нем осталось 2 литра меда. Выливаем из 3­литрового сосуда мед обратно. 4. 5. Из 5­литрового сосуда дополняем 2 литра в 3­литровый сосуд. Наполняем из почки 5­литровый сосуд. И из наполненного сосуда дополняем медом 3­литровый сосуд. 6. В результате, получили 4 литра меда в 5­литровом сосуде. Задачи, решаемые «с конца». Решение такого типа задач производится от   конечного   условия   к   начальному.   Рассмотрим   решение   задачи   двумя способами. Задача. Я задумал число, умножил его на два, прибавил три и получил 17. Какое число я задумал? 1 способ: арифметический или по действиям. Мы будем отталкиваться от того, что в результате нужно получить 17. 17­3=14 – число до прибавления 3. 14:2=7 – искомое число. 1) 2) Ответ: искомое число 7. 2 способ: алгебраический или с помощью уравнения. Пусть x – искомое число.   По   условию   это   число   умножают   на   два,   затем   прибавляют   три   и получают 17. Составим уравнение:  x∙2+3=17. Так как первое действие это умножение,   скобки   в   выражении   не   обязательны.   Решаем   полученное уравнение: 2х+3=17; 2х=17­3; 2х=14; х=14:2; х=7. 7 – искомое число.  Результаты   решения   данной   задачи   двумя   способами   одинаковы, однако, второй способ более рационален на данном этапе обучения. Решать задачи по действиям – это материал младшего звена обучения. Сейчас же учащимся предлагается переходить на решение задач с помощью уравнения. По   окончании   данного   курса   были   рассмотрены   и   проанализированы работы   учащихся.   В   группах,   где   проводилось   исследование,   большинство учащихся с высоким уровнем самостоятельной познавательной деятельности.  В процессе самостоятельного решения учащимися данных задач, наблюдалось   упорство   и   кропотливость   при   их   решении.   Каждую   задачу некоторые учащиеся рассматривали с разных точек зрения, разбирали каждое условие, составляли план решения и пытались найти все возможные решения задач, сравнивали и анализировали. Так как у каждого учащегося выработана своя скорость решения задач, то определенного времени на решение одной задачи рассчитать не было возможным. У некоторых учеников был верный ход рассуждения решения, но из­за   ошибки   в   счете   получали   неверный   ответ.     Но,   не   смотря   на   это, исследование прошло на хорошем уровне. Многие учащиеся для себя решили и дальше заниматься математикой.