Рационализация (метод замены множителя

Рационализация (метод замены множителя)

Школа современного учителя математики

Неравенства наряду с уравнениями являются одной из ключевых тем школьной программы и успешное освоение различных методов их решения является обязательным условием качественного усвоения программы. Отдельно стоит отметить, что неравенствам уделено значительное внимание в профильном ЕГЭ по математике. В явном виде ученикам предлагается решить неравенство в части с развернутым ответом (№14), однако не редко задачи с практическим содержанием, текстовые задачи, задачи экономического содержания и т.д. сводятся к неравенствам.

Для иллюстрации эффективности рассмотрим логарифмическое неравенство:

Без использования метода рационализации данное неравенство сводится к следующей совокупности:

Как мы видим решение даже такого компактного примера становится достаточно громоздким, в то время как метод рационализации позволяет значительно ускорить процесс решения.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) >0 равносильно неравенству
F(x) >0 в области определения выражения F(x).

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

Где

- некоторые функции

Теорема №1.
Логарифмическое неравенство

Равносильно следующей системе неравенств:

(1)

(2)

Доказательство

Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство.
Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство

Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство

Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода.
Терема доказана.

Решить неравенство:

Решение:

Ответ:

Решить неравенство:

Решение:

Ответ:

Решить неравенство:

Решение:

Ответ: