Садикова Евгения Ивановна
У р о к 55
Алгебра 8
Тема: теорема Виета
Тип урока: урок формирования знаний, умений, навыков
Цели и задачи урока:
- формировать знание теоремы Виета; умения и навыки применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых квадратных уравнений;
- развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру; развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать математические ситуации;
- воспитывать такие качества, как познавательная активность, самостоятельность, побуждать учеников к самоконтролю и самоанализу.
Ход урока
1. Организационный момент.
Психологическая минутка. Притча.
Расскажу вам историю.
Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жил один мудрец, слава о котором прошла по всему городу. Но в этом же городе жил злой человек, который завидовал его славе. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, сжал ее между сомкнутых ладоней и подумал: «Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет – живая, я сомкну ладони, и бабочка умрет. Тогда станет ясно, кто из нас мудрее». Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил ее между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка – живая или мертвая?» Но мудрец ответил: «Все в твоих руках…». Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. И уравнение совсем не решается… Тогда вспомните слова мудреца «Все в твоих руках…». Упражнение. Микрофон
2. Актуализация опорных знаний
Беседа по вопросам:
1. Дайте определение квадратного уравнения.
2. Какое квадратное уравнение наз. приведенным? Примеры.
3. Какое квадратное уравнение наз. неполным? Примеры.
4. Что такое дискриминант?
5. Формула корней квадратного уравнения.
2) Устная работа.
1. Назовите полные, неполные и приведённые квадратные уравнения:
а) 3х2 – 2х = 0; е) –21х2 + 16х = 0;
б) 7х2 – 16х + 4 = 0; ж) х2 = 0;
в) х2 – 3 = 0; з) х2 + 4х + 4 = 0;
г) –х2 + 2х – 4 = 0; и) х2 = 4;
д) 2 – 6х + х2 = 0; к) –7х2 + 6 = 0.
2. Что необходимо сделать, чтобы преобразовать квадратное уравнение в приведённое:
а) 3х2
+ 6х – 12 = 0; г) 
х2 + 
х – 2 = 0;
б) 2х2 = 0; д) 3х2 – 7 = 0;
в) –х2 – 2х + 16 = 0; е) –5х2 + 10х – 2 = 0.
3. Объяснение нового материала. Мы с вами в доме французского математика, адвоката по профессии Франсуа Виета (1540 – 1603).
Чем же занят хозяин? Он что-то пишет. Заглянем в его записи. На протяжении всего урока мы будем наблюдать за его работой. На доске
1. х2 – 15х + 14 = 0;
2. 9 – 2х2 – 3х = 0;
3. х2 + 8х + 7 = 0;
4. 3х2 – 2х = 4;
5. 6х2 – 2 = 6х;
6. х2 = - 9х – 20.
Что здесь записано?
Назовите общий вид квадратного уравнения.
А какое квадратное уравнение является приведённым?
Разделите уравнения на две группы, признак деления определите сами и запишите в 2 столбика. Что же у вас получилось? Как распределили уравнения?
Тем временем, у месье Виета появились новые записи:
Итак, как называются квадратные уравнения, у которых первый коэффиц равен 1?
Исследование.
1.Решите уравнения в тетради и приготовьтесь результаты занести в таблицу.(работа в парах).
1. «О т к р ы т и е» теоремы Виета. Обмен информацией. А теперь вместе заполним таблицу. Проверим:
|
Уравнение |
b |
c |
Корни |
Сумма корней |
Произведение корней |
|
х2 – 3х + 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
х2 – х – 12 = 0 |
|
|
|
|
|
|
х2 + 5х + 6 = 0 |
|
|
|
|
|
Сравнить сумму и произведение полученных корней с коэффициентами b и c и выдвинуть гипотезу. Какова связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Учебник с. 134.
Физкультминутка.
Коль писать мешает нос,
Значит, это сколиоз
Вас сгибает над тетрадкой,
Позвоночник не в порядке.
Мы ему сейчас поможем:
Руки за голову сложим,
Повороты влево – вправо,
И наклоны влево – вправо,
Ручки к солнцу потянулись,
Мы назад ещё прогнулись,
Повращаем мы плечами,
Чтоб они не подкачали.
Улыбнулись всем, кто рядом.
Вот! Уже другой порядок!
А теперь повыше нос:
Нам не страшен сколиоз.
Сядем ровно, ручки – в руки,
Продолжаем путь к науке.
Данное утверждение называется теоремой Виета, Эта теорема справедлива для приведенных квадратных уравнений. На математическом языке запишем на доске и в тетради.
|
Т е о р е м а В и е т а Если х1, х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0, то х1 + х2 = –р; х1 · х2 = q. |
1) № 580 (а, б, в, г) – устно.
2) х2
– 
х – 5 =
0.
3) х2 + 3х + 5 = 0.
Т е о р е м а, обратная теореме Виета. Теорема, в которой условием явл. заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы, называется обратной данной.
Учебник с. 135. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x2 + px + q = 0,
2. Как от квадр. уравнения общего вида перейти к приведённому кв. уравнению? Разделить обе части уравнения на а
ax2 + bx + c = 0
x2 + b/ax + c/a = 0
x2 + px + q = 0
А теперь давайте сформулируем выводы для квадратного уравнения, которое записано в общем виде . Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, тогда х1 + х2 = - p= -b/a,
x1 ∙ x2 = q = c/a.
Т е о р е м а В и е т а для неприведённого квадратного уравнения.
|
Т е о р е м а В и е т а Если х1, х2 – корни уравнения аx2 + bx + c = 0, то х1 + х2 = |
; х1
∙ х2 = 
.Вот видите, ребята, мудрец был прав, действительно оказалось все в ваших руках. Вы сегодня сделали такое же открытие, что и великий французский математик Франсуа Виет 420 лет назад.
4. Формирование умений и навыков.
1. № 580 (д, е, ж, з) – устно.
2. № 581 (а, в), № 582 (а, б, г, д).
3. Решите квадратное уравнение по формуле и сделайте проверку, используя теорему Виета:
а) х2 + 7х – 8 = 0; в) х2 – 4х – 5 = 0;
б) х2 – 5х – 14 = 0; г) х2 + 8х + 15 = 0.
4. № 583 (а, в).
5. Найдите подбором корни уравнения:
а) х2 – 11х + 28 = 0; г) х2 + 3х – 28 = 0;
б) х2 + 11х + 28 = 0; д) х2 + 20х + 36 = 0;
в) х2 – 3х – 28 = 0; е) х2 + 37х + 36 = 0.
5. Проверочная работа.
Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х1 и х2. Не находя их, найдите значение выражений х1 + х2 и х1 · х2:
В а р и а н т 1
а) х2 – 7х – 9 = 0; в) 5х2 – 7х = 0;
б) 2х2 + 8х – 19 = 0; г) 13х2 – 25 = 0.
В а р и а н т 2
а) х2 + 8х – 11 = 0; в) 4х2 + 9х =0;
б) 3х2 – 7х – 12 = 0; г) 17х2 – 50 = 0.
6. Итоги урока
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни и дробь уж готова?
В числителе c, в знаменателе a.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда
В числителе b в знаменателе a.
Зачем нужна теорема Виета? Назовите практическое значение теоремы. (Упрощает решение квадратных уравнений, позволяет подбором находить корни)
-Можно найти сумму корней и произведение корней, не решая уравнение.
-Можно составить кв уравнение, зная корни.
-Зная один корень, можно найти другой.
-Определить знаки корней.
7. Рефлексия: продолжи мысль:
§ Сегодня я выполнял задания…
§ Сегодня я понял, что…
§ Было трудно…
§ Я попробую…
§ Урок дал мне для жизни…
Домашнее задание: выучить п. 24, решить № 581 (б, г), № 582 (в, е), № 583 (б, г), № 584.
Д о п о л н и т е л ь н о: найти подбором корни уравнения:
а) х2 – 12х + 27 = 0; в) х2 + 9х – 36 = 0;
б) х2 + 6х – 27 = 0; г) х2 – 35х – 36 = 0.
Скачано с www.znanio.ru
Садикова Евгения Ивановна У р о к 55
Чем же занят хозяин? Он что-то пишет
Сядем ровно, ручки – в руки,
Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х 1 и х 2
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
