Разработка урока по теме "Геометрический смысл производной"

Геометрический смысл производной.

    Класс: 10(профильный уровень)

   Тип урока: урок-исследование (с использованием слайдовой-презентации)

   Цели урока:

  - обучающая: обобщить и закрепить идею геометрического смысла производной на основе знакомства с составлением математических «портретов» (под математическим «портретом» понимается схематичное или словесное описание требуемых свойств); сформировать начальное представление об истории развития математического анализа, учить работать с теоретическими вопросами учебника; «открыть» зависимость между значениями производной и свойствами монотонности функции, экстремумами;

  - развивающая: способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышление, смысловой памяти и произвольного внимания,  

    развитию навыков исследовательской деятельности (планирование свой деятельности, выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов);

  - воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства); способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

     Оборудование и материалы для урока: проектор, экран (интерактивная доска), презентация для сопровождения урока.

Ход урока.

I.                  Организационный момент (1 мин).

Слайды № 1-3

      Учитель: Сегодня на уроке мы обобщим и закрепим идею геометрического смысла производной, сформируем начальное представление о приложениях производной в математике и истории их развития, «откроем» зависимость между свойствами  монотонности функции, экстремумами и значениями производной; рассмотрим план  дальнейшего изучения темы: «Исследование свойств функций при помощи производной ».

Слайд №4

      Эпиграфом к уроку служат слова французского  философа материалиста, атеиста Дени Дидро (1713 - 1784) – современник Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой.

      «Начинать исследования можно по-разному… Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится,  рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки». (Дени Дидро)

II.               Проверка домашнего задания и постановка проблемы (9 мин).

            Учитель: Дома вы должны выполнить лабораторную работу: построить график функции схематично по точкам график ее производной, используя геометрический смысл производной. А также вы должны были ответить на вопросы. Проверим, как вы справились с домашним заданием.

1.     Акцентируем теорию по теме.

Слайды №5-6

        Учитель: Ответьте на вопросы и проведите самооценку своего устного ответа, сопоставив его с выводимыми на экран элементами опорного контекста.

Учитель объясняет метод теоретического опроса. Подает вопросы теории на слайдах презентации. Демонстрирует после ответа учащегося соответствующие элементы опорного конспекта. Учащиеся отвечают на теоретические вопросы устно. После демонстрации элементов опорного конспекта ими проводится самооценка своего устного ответа

2.     Применение теории на практике.

Слайд №7

          Учитель: на экране представлен график функции с домашнего задания. По графику функции нам предстоит с вами определить некоторые свойства функции и ее производной. Далее составим так называемые «математические портреты» функции и ее производной. Под «математическим портретом» будем понимать либо словесное описание, либо схематическое изображение соответствующих свойств на числовой оси.

       - Назовите промежутки убывания функции (кадр)

       - Отметьте эти промежутки на «портрете» функции (кадр)

       - В каждой точке промежутков убывания проведем касательные (кадр). Под каким углом наклонена касательная к положительному направлению оси ОХ?

       - Какой знак имеет производная?

       - Отметим знаки значений производной на «портрете» производной (кадр).

       - Назовите промежутки возрастания  функции (кадр).

       - Отметим эти промежутки на «портрете» функции (кадр)

       - В каждой точке промежутков возрастания проведем касательные (кадр). Под каким углом наклонена касательная к положительному направлению оси ОХ?

       - Какие значения имеет производная?

       - Отметим эти точки на «портрете» функции (кадр).

       - Проведем касательные в каждой точке экстремума (кадр).

       - В каждой ли точке экстремума можно провести касательную? Если можно, то какой угол она образует с положительным направление оси ОХ?

        - В каждой ли точке экстремума существует значение производной? Если такое значение существует, то чему оно равно?

        - Отметим сделанные вами выводы на «портрете» производной надписями «Не сущ.» и «0» в точках экстремума (кадр).

     3.  Постановка проблемы и выдвижения гипотезы.

Слайд №8

        Учитель направляет предложения учащихся по выдвижению гипотезы. Выдвигаемые предположения фиксируются на слайдах. Намечается план действий по исследованию проблемы. Учащиеся проводят обсуждение ответов, выдвигают идеи по дальнейшему плану действий.

III.           Открытие нового знания. Анализ наблюдений (15мин).

Слайды №9-11

         Задание 1. Учитель демонстрирует тестовые задания, зачитывает условие с экрана. Проверка результатов ответов осуществляется выводом на экран столбца с ответами по каждому вопросу. Учащиеся самостоятельно отвечают на вопросы. Для проверки обмениваются тетрадями в статических группах. Идет обсуждение под руководством учителя.

          Задание 2. Учитель демонстрирует тестовые задания, результаты проверки. Зачитывает условие с экрана. Если возникают трудности при решении, делает подсказки различных уровней, дает комментарии. Учащиеся работают в динамических группах, обсуждают решение. Представители групп оглашают принятое решение.

           Задание 3. Учитель демонстрирует задание на экране. Зачитывается условие с экрана. Если возникают трудности при решении, делает подсказки различных уровней, дает комментарии. Учащиеся работают самостоятельно, предлагают свои решения.

IV.            Открытие нового знания. Обобщение наблюдений (9мин).

1.     Первичное обобщение.

Слайды №12-13

Учитель: Установите соответствие между строками столбцов так, что бы образовалось верное утверждение, соответствующее схеме, представленной на экране. При этом одной строке из левого столбца должна соответствовать только одна строка из правого столбца.

Учитель демонстрирует тестовые задания по выбору в виде таблицы. Оказывает помощь, если она требуется, выводя подсказки на экран. Учащиеся работают в динамических группах, обсуждают решение. Представители групп оглашают принятое решение.

2.     Вторичное обобщение.

Слайд №14

         Учитель: Рассмотрим две схемы построения утверждений (кадр). Чем отличаются они друг от друга? Рассмотрим утверждение предыдущей таблицы (кадр). Формально поменяем местами (кадр). Получим ли опять верное утверждение? (Ответ: Нет, так как, во-первых, не указано «место», где выполняется условие «если…»; во-вторых, условие «и имеет на нем производную» выполняется автоматически в условии «если…»; в-третьих, из условия «если…» не следует преобразованное условие «то…» (может существовать промежуток, в каждой точке которого f’(x)=0).)

        Теперь рассмотрим правильно построенные утверждения.

V.               Открытие нового знания. Работа с учеником. (5 мин)

Слайд №15

           Учитель выводит на экран каждому ряду задания по работе с учебником, предполагая, что учащиеся применят результаты своих исследований при выполнении задания по учебнику. Зачитывает условия с экрана. Учащиеся работают самостоятельно с учебником, предлагают решения, делают выводы.

           Слайды №16-18

           Учитель проводит обсуждение результатов работы, выводит на экран отсканированные утверждения из учебника и правильные ответы.

VI.            Экскурс в историю. (3 мин)

            Учитель: Математический анализ, ядро которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления, - самая тонкая область всей математики. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением, а раздел математики, в котором изучается операция интегрирования функции, то есть восстановления функции по ее производной, называется интегральным исчислением.

             Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия.

             Большой вклад в развитие дифференциального исчисления внесли:

             -    Архимед, который задолго до этого решил задачу на построение касательной спирали, сумел найти максимум функции

f(x) = x² (a-x),

             -    Ж.Лагранж (1736-1813), который ввел современные обозначения y’ , f’ ,

             -    Исаак Ньютон (1643-1727), проводивший математические исследования, при помощи которых легче всего было понять природу производной,

             -    Пьер Ферма (1601-1665), математическое определение производной которого было принято всеми математиками, успешно применявшими в своём методе нахождения экстремумов многочленов задачи о построениях касательных к кривым,

             -    Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), который установил геометрический смысл производной, как тангенс угла наклона к касательной.

       «Штрихи к портрету» Готфрида Лейбница (кадр): в своей работе «Новый метод максимумов и минимумов», используя геометрическое истолкование, он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба. Его знаменитая фраза: «Без настоящих единиц не может быть и множества». С ним связаны имена выдающихся личностей, термины и понятия: Эпоха Просвещения, Петр I, Россия, Ньютон, рококо, арифмометр, кратер на Луне, подводная лодка, «Философский век». Подумайте над этим дома. 

Исследование свойств функций при помощи производной  применяется к решению так называемых задач на наибольшее и наименьшее значения. Например, Ферма решила задачу определения конуса  наибольшего объёма и цилиндра с наибольшей поверхностью, вписанных в данный шар. Подобные задачи мы с вами тоже будем решать.

VII.Подведение итогов (2 мин).

Учитель предлагает учащимся обобщить свои исследования, демонстрирует на слайдах результаты подведения итогов и дальнейший план изучения темы. На экране непрерывно идут титрами новые математические понятия: необходимые условие, достаточное условие, необходимое и достаточное условие.

  Учащиеся высказывают своё мнение, подводят общий итог исследования.

VIII.Подведение итогов (1мин).

   Учитель выводит на экран обязательную и необязательную части домашнего задания, делает соответствующие пояснения о том, что результаты будут необходимы на следующем  уроке.

        Учащиеся записывают задания.

                              Литература

1.     Алгебра и начала анализа.10 класс. В 2-х ч. Ч.1. Учебник профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В.Семёнов.- 4-е изд., доп.- М.:Мнемозина,2007-08-01

2.     Алгебра и начала анализа: Учеб. для  10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова.-10-е изд.-М.: Просвещение,2000.-С.160-166.

3.     Единый государственный экзамен: Математика: Контрол.измерит.материалы/ Л.О.Денищева,Е.М.Бойченко, Ю.А.Глазков и др.; М-во образования Рос. Федерации.- М.: Просвещение, 2003. 

Скачано с www.znanio.ru