Разработка урока по теме "Комбинаторные задачи" (8 класс)

Комбинаторика

- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторные задачи.

Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.
В разделе представлены комбинаторные задачи на размещение, сочетание, перестановки с повторением и без повторения элементов. Используется естественный, доступный детям всех возрастов метод решения комбинаторных задач с помощью непосредственного перебора возможных вариантов (комбинаций).

Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 2; 5; 9?
Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
22;25;29;(начали с 2)
52;55;59;(начали с 5)
92;95;99;(начали с 9)
Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Ответ: 9 чисел.

Реши задачи:

Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
В школе проводятся соревнования по хоккею .В качестве призов решили использовать мячи, ракетки, клюшки и шайбы. Сколько различных призов можно составить из этих предметов, если каждому победителю решено давать по 2 разных предмета?
В четверг в первом классе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Решение задач с помощью дерева возможных вариантов

Существует более общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Задача.

Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7. Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов.

число

1

4

7

4

7

7

4

1

7

7

1

1

4

4

1

Ответ: числа 147;174;417;471;714;741

Решение задач с использованием дерева возможных вариантов.

В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, а также синие и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов.
Сколькими способами три друга могут разделить между собой 2 банана, 2 груши и 2 персика так, чтобы каждый получил по два каких-нибудь плода?
Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Запишите все такие пары, если имеются морковь, свекла и капуста.
Из 4 ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?
Наташа хочет сделать аппликацию на платье из двух цветных вертикальных полос. Из скольких вариантов придётся выбирать Наташе, если у неё есть материя жёлтого, красного и синего цвета?

Правило умножения в комбинаторных задачах.

Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче.
Рассмотрим этот метод на примере одной задачи:
На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?

Суп 2 Вторые блюда 3 Сок 4

Решение: 2 x 3 x 4= 24

Ответ: Можно составить 24 варианта различных обедов

Комбинаторные задачи на умножение.

Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой?
В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту кружка и его заместителя?
Концерт состоит из 5 номеров. Сколько имеется вариантов программы этого концерта?
В буфете есть 4 сорта пирожков. Сколькими способами ученик может купить себе 2 пирожка?
Трое ребят должны дежурить по классу три дня подряд по одному дню каждый. Сколькими способами можно составить расписание их дежурств?

Перестановки в комбинаторных задачах.

В комбинаторике часто приходиться решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений называют перестановкой.
Задача.
В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
Решение. Первое место может занять любой из 4 участников. При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвёртом месте остаётся последний участник.
Значит, места между участниками могут быть распределены следующим образом 4•3•2•1=24.

Ответ: 24 способами.

Решите задачу на перестановки

Задача. Андрей, Борис и Василий входят в комнату по одному. Сколько у них есть способов это сделать?

Решение. Пусть первым войдёт Андрей, но тогда вторым может войти Борис или Василий, т.е.имеются две возможности. Аналогично есть две возможности, если первым войдёт Борис и если первым войдёт Василий. Таким образом 6 возможностей.

Ответ: 6 способов.

Ответьте на вопросы

Что такое комбинаторика?
Что значит решить комбинаторную задачу?
Какие методы решения комбинаторных задач мы рассмотрели на уроке?