Разработка олимпиадных заданий по математике 9 класс

Школьный тур всероссийской олимпиады по математике 9 класс (90 минут) 1. (1 балл) Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?  2. (2 балла) В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом написано “крупа”,   на   втором   “вермишель”,   на   третьем   “крупа   или   сахар”.   В   каком   ящике,   что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи? 3. (3 балла)  Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В? 4. (4 балла) За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился? 5. (5 баллов) Али­Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али­Баба   может унести за один раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото и алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)? 6. (6 баллов)  На основаниях  AB  и  CD  трапеции  ABCD  взяты точки  K  и  L. Пусть  E  – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL. Методические рекомендации Критерии оценивания работы в 7 классе. Максимальное количество баллов – 21 балл. 1). Баллы 1 балл 0 баллов В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен неверный ответ. Критерии 2). Баллы 2 балла 1 балл 0 баллов 3). Баллы 3 балла 2 балл 1 балл 0 баллов 4). Баллы 4 балла 2 балла 1 балл 0 баллов 5). Баллы 5 баллов 3 балла 2 балла 1 балл 0 баллов 6). Баллы 6 баллов 4 балла 3 балла 1 балл 0 баллов Критерии Получен верный ответ, решение обосновано. Получен неверный ответ. В решении имеются незначительные неточности (не менее 2х) Получен неверный ответ. Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован. В решении есть ошибка, что привело к неверному ответу, но ход рассуждений правильный. Получен неверный ответ. Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован или рассуждения содержат ошибки. Получен неверный ответ, но в решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует Критерии В представленном решении обоснованно получен верный ответ. Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован. Решение не доведено до конца В решении есть некоторые подвижки Получен неверный ответ, решение отсутствует 1. Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?  Решения и ответы Ответ: 2. В трех ящиках находятся крупа,  вермишель и сахар. На первом  написано “крупа”, на втором “вермишель”, на третьем “крупа или сахар”. В каком ящике, что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи? Ответ: Так каждая надпись не соответствует действительности, то в третьем ящике – вермишель, в первом – сахар, а во втором – крупа. 3. Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В? Решение:  По   течению   катер   проплывает   за   день   1/3   часть   пути,   а   против   течения   1/5   часть. Следовательно, плоты проплывут за день (1/3 – 1/5) : 2 = 1/15 часть пути.  Ответ: 15 дней. 4. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился? Решение: Пусть a – первоначальный вес Обломова, тогда его вес через год будет равен a  0,75  1,2  0,9  1,2 = 0,972 a, что меньше чем a. Таким образом, Обломов похудел. Ответ: Обломов похудел. 5. Али­Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али­Баба может унести за один раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото и алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)? Решение:  Вначале заметим, что 5 кг золота имеют тот же объем, что и 1 кг алмазов, но стоят дороже. Докажем, что:  1). Али­Баба может получить за сокровища 3000 динаров. Действительно в мешок входит 40кг алмазов. Если мы заменим 15кг алмазов на 75кг алмазов, то объем мешка останется прежним, а стоимость его будет равна 3000 динаров. 2).   Докажем   теперь,   что   3000   динаров   –   это   наибольшая   сумма,   которую   можно   выручить   за сокровища. Если из мешка содержащего 25кг и 75кг золота убрать еще алмазов, то заменить их будет можно таким же количеством золота (чтобы не было превышения в весе) и общая стоимость уменьшится, так как алмазы стоят дороже. Если же убрать часть золота, то общая стоимость уменьшится, так как вес взятых вместо него алмазов будет в пять раз меньше (иначе – превышение по объему !). Например, если взять 5x  кг золота и заменить их на  x  кг алмазов, то стоимость сокровищ уменьшится на 40x динаров. Ответ: 3000 динаров. 6. За круглым столом сидят 8 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый из них говорит: «Мои соседи – лжец и рыцарь». 1) Сколько среди них лжецов? 2) Решите задачу, если за столом – 9 человек. Решение:  1). За столом сидит хотя бы один лжец. Действительно, если бы за столом сидели только рыцари, то высказывание каждого из рыцарей: «рядом со мной сидит рыцарь и лжец» было бы ложным, что невозможно.  2). Соседями лжеца могут быть либо 2 лжеца, либо 2 рыцаря.  3). Если у лжеца оба соседа лжецы, то и дальше за столом сидят одни лжецы, иначе высказывание одного из лжецов «рядом со мной сидит рыцарь и лжец» будет правдой, что невозможно. Таким образом, один из возможных ответов – все лжецы.  4). Если же соседями лжеца являются рыцари, то за каждым рыцарем должен сидеть еще рыцарь, затем лжец, затем снова два рыцаря , затем лжец и так далее. Если за столом 9 человек, то лжецов – 3 (рис. 1), если 8 человек, то получим противоречие (рис 2). Примечание: р – рыцарь, л – лжец. Ответ: 1). Если за столом 8 человек, то все лжецы. 2). Если за столом 9 человек, то лжецов либо 9, либо 3.                               Р  Р    Л  Р  Л  Р  Р  Р  Л  Рис. 1    Р  Р  Л  Л  ?  Р  Л  Р  Кто может сидеть здесь?   Оба возможных предположения  приводят к противоречию.  Рис. 2  7. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL. Решение                             A      D                       E            L                        F    C                                  K                    B   SADK  = SALK,   так   как   они   имеют Имеем, общее   основание  AK  и   равные   высоты,   совпадающие   с   расстоянием   между параллельными прямыми AB и DC. SADE = SADK – SAEK = SALK – SAEK = SKLE. Аналогично,  SBCF  =  SKLF.  Таким   образом,   сумма   площадей   треугольников  ADE  и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.