Разработка урока по математике на тему "Определение производной" ( 10 класс)

Бурковская Нина Дмитриевна Преподаватель математики Уральский технологический колледж «Сервис» Тема программы: . Производная – 15 часов  Тема урока: Определение производной  Цели урока:  ­ ввести понятие производной, используя для этого понятие мгновенной  скорости в физике, уметь находить производную простейших функций с  помощью определения; ­ формировать умения применять полученные знания по математике на  уроках физики, биологии и химии, т.е. формирование целостного  мировосприятия; ­ отработать у учащихся приемы учебно­познавательной деятельности,   активизировать личностный смысл учащихся к изучении темы. Тип урока: Изучение новой темы, формирование зун. Методы ведения: лекционно-практическое занятие Оборудование   урока  презентация,   интерактивная   доска,   раздаточный материал. ХОД УРОКА: I Организационный момент – 1 – 2 мин. 1 Приветствие учащихся. 2 Отметить отсутствующих. Объяснение нового материала. Краткий конспект. II.      Опрос по домашнему заданию  II 1. Задачи, приводящие к понятию производной. Задача о скорости движения. Рассмотрим   прямолинейное   движение   некоторого   тела.   Закон движения задан формулой  S =  S(t), т.е. каждому моменту времени  t соответствует   определённое   значение   пройденного   пути  S.   Найти скорость движения тела в момент времени t.  Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.  Дадим   аргументу  t  приращение  Δt,   за   это   время   тело   переместится   в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.  Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS. Что можно найти, зная эти два значения? vср.=∆S ∆t   , т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t;t+∆t] . ∆t→0 ∆S . ∆t vср.= lim ∆t→0 Определение:  Средней   скоростью   движения  тела  называется   отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден. В   физике   часто   идёт   речь   о   скорости  v(t),   т.е.   скорости   в   определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью. Мгновенную скорость получим если Δt →0 , т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е.  vмгнов.= lim Много  задач   из  физики, геометрии (учебник,  стр.114 – 115),  для  решения которых   необходимо   отыскать   скорость   изменения   соответствующей функции. Например,   отыскание   угловой   скорости   вращающегося   тела,   отыскание теплоёмкости тела при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени и т.п. Все эти задачи требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей функции. Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или,   иначе,   к   вычислению   предела   отношения   приращения   функции   к приращению   аргумента,   когда   приращение   аргумента   стремится   к   нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства. Рассмотрим функцию у= f (x). Пусть точки х и х1 – два значения аргумента из  области определения функции. Определение: Разность значений аргумента х1  ­__  х называют приращением  аргумента в точке х. Обозначается приращение аргумента через  ∆х  читается «дельта икс». Алгоритм нахождения производной 1) С помощью формулы, задающей функцию f  , находим ее приращение в  точке  х0 :  f ( xf 0  ) x ( xf 0 ) 2) Находим выражение для разностного отношения      :  f  x  f  x xf ( 0   x )  x xf ( 0 ) Это выражение мы упрощаем, сокращаем, если это возможно. 3)  Выясняем, к какому числу стремится   , если   0x  f  x Найденное таким образом число называют скоростью изменения функции f  в точке х0   или производной функции  f  в точке  х0.    Определение.  Производной функции f в точке  х0 называется число, к  которому стремится разностное отношение                                      f  x xf ( 0   x )  x xf ( 0 )  при   0x Производная функции  f  в  точке  x0  обозначается     ( читается  «Эф  f  ( 0x ) штрих от икс нулевого») Пример №1 Найти производную  функции       в точке   х0    )( xf 3  x Решение Будем работать по схеме, данной выше: 1.    f  xx (  ) x )  2 x 0 ( xf 0 2  2  ) x x ( xf 0  2 x x x ( 0  x )  2 xx x 3 0 0 0 0 3  x ( x 0  3 xx 3( 0  2 0 x 0 xx 0 2 )  xx ( 0 0 x )(( 0  x  x 2 )  x ) x 2 0 )  2.   f  x 3( x 2 0   3 xx 0  x  x 2 )  x  3 x 2 0  3 xx 0  x 2 3.  Заметим, что       от    x 2 03x    не зависит,   0 xx 3 0   и    ( 2 x ) 0    при .  Получаем:    0x  f   x 2 03x    при    0x .   Итак,    ( f x 0 )  3 x 2 0   (мы нашли, к  чему стремится отношение   ).  f  x Пример №2 Найти производную функции   f(x)=kx+b  ( k  и   b  постоянны) в точке  х0 Решение  xk f ((  bxk  xk  kx kx kx b ) x ) b b )  ( 0 0 0 0  f  x  f  k k   xk  x     при      0x Функцию, имеющую производную в точке  х0 , называют дифференцируемой   в этой точке.   Пусть  D1 – множество точек, в которых функция  f   дифференцируема. Находя    , получим новую     для каждого   f  )(x 1Dx  функцию с областью определения  D1. Эта функция называется производной функции  y=f(x)  и обозначается   f    или   y. Нахождение производной данной функции  f  называется  дифференцированием. Такой переход от разностного отношения    к числу    f  x L  также называют предельным переходом. Выделим еще одно свойство предельного перехода:     Свойство. Если функция  f имеет производную в точке  х0  , то она  непрерывна в этой точке, т.е.      если    . 0f 0x Пример №3 Найти производную  функции  f=C  в точке  х0 (С – постоянная или  константа) Решение  ( xf f  0 f   x x  )( 0 f x  0  ) CC  0 ( xf  x ) 0 0 Пример №4  Найти значение производной функции   f(x)= 2x   в точке х=1 Решение  ( xf f 0   2 x f   x x  )( 2 f x  )1( f 2  x  )   x 2) ( xf (2     2 2 2 2 2 x x x x x x ) 0 0 0 0 0 Пример №5 Найти производную функции  f(x) = x2 Решение  ( f xf   x f  x  x 0  )( f x  x )  x x 0  x  x  x 0 2( ( xf   2 2 x x x x  ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 0 2  x x x 0 )( x 0  x x 0 )  x 2( x 0  x ) 0 Итоги 1. Мы познакомились с понятием производной в точке и производной  функции 2. Вывели план, как искать производную 3. В примерах были получены формулы дифференцирования:  ( x ) 2 x  2 x ( 3 ) x  kx ( ) b  0 C k 3 2 Закрепление нового материала: № 163 Задание на дом §13 №7164 Литература:  А.Е. Абылкасымова и др. Алгебра и начала анализа 10, 11            классы. Дидактический материал по алгебре и начала анализа для 10, 11  класов.