Разработка урока по теме "Размещения" (Математика, 11 класс)

УРОК №1 ТЕМА УРОКА: «РАЗМЕЩЕНИЯ» ТИП УРОКА: изучение нового материала. ЦЕЛЬ: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной  информации. ЗАДАЧИ:   Способствовать запоминанию основной терминологии, умению   вычислять перестановки и размещения;   Способствовать развитию интереса к математике; умений  применять новый материал на практике и в жизни   Способствовать воспитанию аккуратности. НОВЫЕ ПОНЯТИЯ: размещения, размещения с повторениями ОБОРУДОВАНИЕ: доска, презентация ХОД УРОКА: I. Изучение нового материала: Вспомним знаменитую басню Крылова «Квартет»: «Проказница Мартышка,  Осел,  Козел да косолапый Мишка» устроили любопытный эксперимент: они исследовали  влияние взаимного расположения на качество исполнения. И если бы не вмешался  Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы всевозможные варианты.  Зададим вопрос: сколько существует способов, чтобы рассадить, например, в один ряд, четырех музыкантов?    Вы уже знаете, что для ответа на этот вопрос нужно найти число перестановок из 4  элементов: Р4= 4!=24 способа.     Еще одна ситуация: нас приглашают на «Конкурс красоты» с восьмью участницами.  Одновременно проводится викторина: нужно угадать, кто займет в конкурсе 1, 2, 3  место. Сколько всего существует вариантов?       Общее у этих двух задач то, что их решением занимается отдельная область  математики, называемая комбинаторикой. Особая примета комбинаторных задач –  вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов  «Сколькими способами?». Отличие состоит в том, что во второй задаче нам нужно отобрать из имеющихся  объектов n=8, произвольное к=3 штук и расположить их в некотором порядке. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из восьми  элементов,  называют размещением из восьми  элементов по три. Определение. Размещением из n элементов  по k (k≤n) называется любое  множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном  порядке из данных n элементов. Число размещений из элементов n по k обозначают Ak n (читают: A из n по k). Решим вторую задачу:  сначала возьмем любую перестановку всех n (8) объектов и  рассмотрим первые к (3) из них. Они образуют размещение к (3) объектов из n (8)  имеющихся, последние n–к (8­3=5)объектов могут быть переставлены Р5 способами.  Значит каждому способу можно «пришить» Р5, что порождает столько же  перестановок всех объектов Pn = An        An k . Pn­k , отсюда получаем  k=  . P n P  n k )! ( ! n  n k P 3= 8 P  8 3 Получается A8  8!  (8 3)!  8! 5! g g 6 7 8 336    (способов). Эту же задачу можно решить и другим способом: первое место может занять одна из 8  участниц, второе место может занять любая из оставшихся 7 участниц, третье – любая  из оставшихся 6 участниц. Тогда общее число способов равно: 8 . 7 . 6 =336 (способов). n =n(n – 1)(n – 2)…..(n – k +1)  ТЕОРЕМА.                   Ak                            Доказательство: Выбрать  один элемент из n элементов можно n способами. Если этот  выбор сделан, то второй элемент выбирается из (n ­1) элементов, т.к. повторения  запрещены, то  третий элемент выбирают из  (n– 2) элементов,    к­ый элемент  (последний) из n – (к – 1).                По правилу произведения получим: Ak n =n(n – 1)(n – 2)…..(n – k +1).  Рассмотрим  еще одну задачу: У нас есть 9 разных книг из серии «Занимательная  математика». Сколькими способами можно: а) расставить из на полке; б) подарить три из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три места?      Решение: а) Р9=9!= 362 880,  б) А9 gg 7 8 9 504 3=    9!  (9 3)! 9! 6!       II. Закрепление  материала. Решение задач: 1. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из  горизонтальных полос, если имеется материал пяти различных цветов. Решение:  А3 5 = 5. 4 . 3=60 (способов) 2. Из 9 членов комитета надо выбрать председателя, его заместителя и  секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Решение: А9 3=9 . 8 . 7=504 (способа) 3. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12  спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них  побежит в эстафете 4 х 100 м на первом, втором, третьем и четвертом  этапах? Решение: А12 4= 12. 11 . 10 . 9 = 11 880 (способов) Примеры: 1) Вычислить:  6 A а)  10 5 A 10   5 A 10 4 A 10 Решение:   6 A 10 5 A 10   5 A 10 4 A 10 =  5 А 10 5 А 10  5  6 5 А 10 4 А 10  4 5  5 А 10  4 А 10  4   4 6 А 10  4 5 А 10  24 5 б)  4 А 8 3 А 7   3 А 8 2 А 7 Решение:  4 А 8 3 А 7   3 А 8 2 А 7 =  5 5  3 А 8   2 А 7 3 А 8 2 А 7  4 4  3 А 8  2 А 7   678  67  8 2) Решите уравнение: а) 5 А n  18 4 A  n 2 Решение: ! n  5)!  n 18   ( n. (n­1) (n­2) (n­3) (n­4) = 18. (n­2) (n­3) (n­4) (n­5) ( ( n n   2)! 6)! n. (n­1) = 18. (n­5) n2 – n – 18n + 90 = n2 – 19n + 90 = 0 Д = 1 n = 10 или  n = 9 Ответ : 9, 10 б)  2 nА 210 Решение: n  ! 2)!  n 210   ( n. (n­1) = 210 n2 – n – 210 = 0 n = 15 n = ­ N14 Ответ: 15 III. Изучение нового материала: Число размещений из n элементов по  m с повторениями. Выбор m элементов подмножества из n– элементов множества при условии,  что элементы подмножества возвращаются в исходное множество –  называется размещением с повторением Число размещений из n элементов по m с повторениями обозначается   m nA . m m nA n Теорема :  Доказательство: Выбрать один элемент из n элементов можно n способами.  После того, как этот выбор сделан, второй элемент опять выбирается из n  элементов, т.к. повторения разрешены, третий…m­ый элемент также из n  элементов. По правилу произведения      ..... n                                                                              m­раз Пример:  Сколько различных трехзначных  чисел можно составить из цифр  1,2.3,4,5,6,7,8,9?                   Решение:         729 nnn m nA   3 9 .  m n A  3 9 IV. Задание на дом: 1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр  1,2,3,4,5,6. Решение:   Ответ: 216 чисел. A  3 6 6 3 216 2. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье место 8 участниц финального забега на дистанции 100 м? Решение:  A     3 8 8 7 6 336 Ответ: 336 способов. 3. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими  буквами.  Сколькими способами это можно сделать? (в латинском алфавите 26 букв).  Решение:  26 25 24 23 22 7893600 A  5 26      4. Сколькими способами четыре пассажира Алексеев, Смирнов,  Федоров и  Харитонов могут разместиться в девяти вагонах поезда, если: а) все они хотят ехать в разных вагонах; б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Федоров и  Харитонов – в других вагонах, и причем в различных?  Решение: Вагоны поезда пронумерованы; осуществляется выбор 4 из 9 вагонов для размещения пассажиров; порядок выбора имеет  значение (каждому пассажиру сообщаем номер вагона). а) все четверо хотят ехать в разных вагонах:  (способа) б)двое едут в одном вагоне, а двое – в других, причем различных: A     3 9 A      4 9 9 8 7 6 3024 (способа). 9 8 7 504