В работе представлена методическая разработка урока математики по разделу «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» для учащихся 11 класса по теме «Размещения». Урок №1-лекция. Тема: «Размещения» Основная цель: Ознакомить учащихся с понятием размещения и соответствующими формулами для подсчета их числа( знать основные правила и методы решения комбинаторных задач, уметь решать простейшие комбинаторные задачи)
УРОК №1
ТЕМА УРОКА: «РАЗМЕЩЕНИЯ»
ТИП УРОКА: изучение нового материала.
ЦЕЛЬ: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной
информации.
ЗАДАЧИ:
Способствовать запоминанию основной терминологии, умению
вычислять перестановки и размещения;
Способствовать развитию интереса к математике; умений
применять новый материал на практике и в жизни
Способствовать воспитанию аккуратности.
НОВЫЕ ПОНЯТИЯ: размещения, размещения с повторениями
ОБОРУДОВАНИЕ: доска, презентация
ХОД УРОКА:
I.
Изучение нового материала:
Вспомним знаменитую басню Крылова «Квартет»: «Проказница Мартышка, Осел,
Козел да косолапый Мишка» устроили любопытный эксперимент: они исследовали
влияние взаимного расположения на качество исполнения. И если бы не вмешался
Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы всевозможные варианты.
Зададим вопрос: сколько существует способов, чтобы рассадить, например, в один ряд,
четырех музыкантов?
Вы уже знаете, что для ответа на этот вопрос нужно найти число перестановок из 4
элементов: Р4= 4!=24 способа.
Еще одна ситуация: нас приглашают на «Конкурс красоты» с восьмью участницами.
Одновременно проводится викторина: нужно угадать, кто займет в конкурсе 1, 2, 3
место. Сколько всего существует вариантов?
Общее у этих двух задач то, что их решением занимается отдельная область
математики, называемая комбинаторикой. Особая примета комбинаторных задач –
вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов
«Сколькими способами?».Отличие состоит в том, что во второй задаче нам нужно отобрать из имеющихся
объектов n=8, произвольное к=3 штук и расположить их в некотором порядке.
Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из восьми элементов,
называют размещением из восьми элементов по три.
Определение. Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое
множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном
порядке из данных n элементов.
Число размещений из элементов n по k обозначают Ak
n (читают: A из n по k).
Решим вторую задачу: сначала возьмем любую перестановку всех n (8) объектов и
рассмотрим первые к (3) из них. Они образуют размещение к (3) объектов из n (8)
имеющихся, последние n–к (83=5)объектов могут быть переставлены Р5 способами.
Значит каждому способу можно «пришить» Р5, что порождает столько же
перестановок всех объектов Pn = An
An
k . Pnk , отсюда получаем
k=
.
P
n
P
n k
)!
(
!
n
n k
P
3= 8
P
8 3
Получается A8
8!
(8 3)!
8!
5!
g g
6 7 8 336
(способов).
Эту же задачу можно решить и другим способом: первое место может занять одна из 8
участниц, второе место может занять любая из оставшихся 7 участниц, третье – любая
из оставшихся 6 участниц. Тогда общее число способов равно: 8 . 7 . 6 =336 (способов).
n =n(n – 1)(n – 2)…..(n – k +1)
ТЕОРЕМА. Ak
Доказательство: Выбрать один элемент из n элементов можно n способами. Если этот
выбор сделан, то второй элемент выбирается из (n 1) элементов, т.к. повторения
запрещены, то третий элемент выбирают из (n– 2) элементов, кый элемент
(последний) из n – (к – 1).
По правилу произведения получим: Ak
n =n(n – 1)(n – 2)…..(n – k +1).
Рассмотрим еще одну задачу: У нас есть 9 разных книг из серии «Занимательная
математика». Сколькими способами можно: а) расставить из на полке; б) подарить три
из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три места?
Решение: а) Р9=9!= 362 880, б) А9
gg
7 8 9 504
3=
9!
(9 3)!
9!
6!
II. Закрепление материала. Решение задач:1. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из
горизонтальных полос, если имеется материал пяти различных цветов.
Решение: А3
5 = 5. 4 . 3=60 (способов)
2. Из 9 членов комитета надо выбрать председателя, его заместителя и
секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: А9
3=9 . 8 . 7=504 (способа)
3. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12
спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них
побежит в эстафете 4 х 100 м на первом, втором, третьем и четвертом
этапах?
Решение: А12
4= 12. 11 . 10 . 9 = 11 880 (способов)
Примеры:
1) Вычислить:
6
A
а)
10
5
A
10
5
A
10
4
A
10
Решение:
6
A
10
5
A
10
5
A
10
4
A
10
=
5
А
10
5
А
10
5
6
5
А
10
4
А
10
4
5
5
А
10
4
А
10
4
4
6
А
10
4
5
А
10
24
5
б)
4
А
8
3
А
7
3
А
8
2
А
7
Решение:
4
А
8
3
А
7
3
А
8
2
А
7
=
5
5
3
А
8
2
А
7
3
А
8
2
А
7
4
4
3
А
8
2
А
7
678
67
8
2) Решите уравнение:
а)
5
А
n
18
4
A
n
2
Решение:
!
n
5)!
n
18
(
n. (n1) (n2) (n3) (n4) = 18. (n2) (n3) (n4) (n5)
(
(
n
n
2)!
6)!
n. (n1) = 18. (n5)
n2 – n – 18n + 90 = n2 – 19n + 90 = 0
Д = 1n = 10
или
n = 9
Ответ : 9, 10
б)
2 nА
210
Решение:
n
!
2)!
n
210
(
n. (n1) = 210
n2 – n – 210 = 0
n = 15
n =
N14
Ответ: 15
III. Изучение нового материала:
Число размещений из n элементов по m с повторениями.
Выбор m элементов подмножества из n– элементов множества при условии,
что элементы подмножества возвращаются в исходное множество –
называется размещением с повторением
Число размещений из n элементов по m с повторениями обозначается
m
nA .
m
m
nA
n
Теорема :
Доказательство: Выбрать один элемент из n элементов можно n способами.
После того, как этот выбор сделан, второй элемент опять выбирается из n
элементов, т.к. повторения разрешены, третий…mый элемент также из n
элементов. По правилу произведения
.....
n
mраз
Пример: Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр
1,2.3,4,5,6,7,8,9?
Решение:
729
nnn
m
nA
3
9
.
m
n
A
3
9
IV.
Задание на дом:
1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр
1,2,3,4,5,6.
Решение:
Ответ: 216 чисел.
A
3
6
6
3
216
2. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье место
8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
Решение:
A
3
8
8 7 6 336Ответ: 336 способов.
3. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими
буквами.
Сколькими способами это можно сделать? (в латинском алфавите
26 букв).
Решение:
26 25 24 23 22 7893600
A
5
26
4. Сколькими способами четыре пассажира Алексеев, Смирнов,
Федоров и
Харитонов могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:
а) все они хотят ехать в разных вагонах;
б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Федоров и
Харитонов – в других вагонах, и причем в различных?
Решение: Вагоны поезда пронумерованы; осуществляется выбор 4
из 9 вагонов для размещения пассажиров; порядок выбора имеет
значение (каждому пассажиру сообщаем номер вагона).
а) все четверо хотят ехать в разных вагонах:
(способа)
б)двое едут в одном вагоне, а двое – в других, причем различных:
A
3
9
A
4
9
9 8 7 6 3024
(способа).
9 8 7 504