Реферат по теории вероятностей на тему "Предыстория теории вероятностей и математической статистики"

Министерство образования и науки Российской Федерации Федерльное государственное бюджетное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский Государственный Национальный Исследовательский Университет» Соликамский филиал Педагогический факультет Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин РЕФЕРАТ на тему: Предыстория теории вероятностей и математической статистики Работу выполнила студентка 2 курса, гр. МиЭ очного отделения Вагина В. В. Научный руководитель старший преподаватель Солоник М. В.Соликамск, 2016 Оглавление Введение............................................................................................................3 Глава 1. Первый этап развития теории вероятностей и математической статистики.........................................................................................................4 Лукреций Кара, Данте, Лука Пачоли............................................................4 Джироламо Кардано, Никколо Тарталья......................................................5 Галилео Галилей.............................................................................................7 Глава 2. Второй этап развития теории вероятностей и математической статистики.........................................................................................................9 Блез Паскаль и Пьер Ферма...........................................................................9 Христиан Гюйгенс.........................................................................................12 Глава 3. Третий этап развития теории вероятностей и математической статистики.......................................................................................................15 Джон Граунт и Вильям Петти......................................................................15 Эдмунт Галлей..............................................................................................16 Якоб Бернулли..............................................................................................18 Пьер Ремон де Монмор, Абрахам де Муавр, Даниил Бернулли................20 Томас Симпсон и Жорж-Луи Бюффон.........................................................22 Томас Байес, Леонард Эйлер.......................................................................24 Глава 4. Четвертый этап развития теории вероятностей и математической статистики.......................................................................................................25 Карл Гаусс, Пьер-Симон Лаплас..................................................................25 Симеон Пуассон............................................................................................27 Глава 5. Пятый этап развития теории вероятностей и математической статистики.......................................................................................................30 П.Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков.................................................30 А. Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин.....................................................................33 Заключение......................................................................................................36 Список использованной литературы.............................................................37 2Введение Событие,   случай,   вероятность   –   понятия,   которые   окружают   людей повсюду:  случайная  встреча,  случайное  событие,  вероятность  исхода  какого­ либо события, статистические данные. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Данные понятия играют важную роль в жизни каждого человека, например, они позволяют   человеку   уверенно   чувствовать   себя   при   встрече   со   случайными событиями. Попытаемся   проследить   предысторию   развития   теории   вероятностей   и математической статистики, останавливаясь на наиболее важных моментах их формирования. Данный вопрос широко и разнообразно освещен во многих литературных источниках  (Гнеденко Б.В. и Хинчин А.Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., К.­Л., 2008, Луговая И.Н., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 2001, Бернштейн С.Н., Теория вероятностей, 4 изд., К.­Л., 2003) Актуальность данного вопроса обосновывает выбор темы нашей работы «Предыстория теории вероятностей и математической статистики». Цель:   выявить   предысторию   развития   теории   вероятностей   и математической статистики. Объект: теория вероятностей и математическая статистика. Предмет:   история   развития   теории   вероятностей   и   математической статистики. Задачи:  выявить и изучить этапы развития теории вероятностей и математической статистики  рассмотреть труды основных ученых, изучавших теорию вероятностей и математическую статистику 3Глава 1. Первый этап развития теории вероятностей и математической статистики К   первому   этапу   развития   теории   вероятностей   и   математической статистики относятся первые работы, в которых зарождались основные понятия теории  вероятностей,  которые   представляли   собой  попытки   создания  теории азартных игр. Временные рамки этого этапа: вторая половина XVI – XVII века. Лукреций Кара, Данте, Лука Пачоли Понятие вероятности восходит к древним временам; оно было известно уже   античным   философам.   Мысль   о   том,   что   законы   природы   проявляются через   множество   случайных   событий,   впервые   возникла   у   древнегреческих материалистов. Ее подробное изложение дано в поэме Лукреция Кара (ок. 99 до н.э. – 55 до н.э.) «О природе вещей», важнейшие отрывки из которой цитируются в беседе Паскаля и Митона, приводимой в четвертом письме. В развитии теории вероятностей   весьма   большую   роль   играли   задачи,   связанные   с   азартными играми, в первую очередь с игрой в кости. Более того, эти задачи послужили и некоторой базой для выработки первичных понятий теории вероятностей.  В   литературных   произведениях,   таких   как   «Божественная   комедия» Данте, неоднократно встречаются замечания об «игре в кости» и даже попытки подсчитать число благоприятствующих возможностей какой­либо комбинации. Более   определенные   вопросы,   связанные   со   случайными   событиями, впервые   встречаются   в   одном   из   первых   математических   сочинений   начала итальянского Возрождения, написанном Лукой Пачоли (1445–1514), носившее называние   «Сумма   знаний   по   арифметике,   геометрии,   отношениям   и пропорциональности». Написана эта книга была в 1487 г., но издана лишь через семь лет в Венеции. В разделе «необычных задач» в упомянутой книге были помещены   две   следующие   задачи,   которые   сыграли   определенную   роль   в формировании интереса к теории вероятности:  41. Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката. В связи с некоторыми   обстоятельствами   игра   прекращена   до   ее   окончания   причем одна сторона в этот момент имеет 50, а другая – 30 очков. Спрашивается, какую часть общей ставки должна получиться каждая сторона? 2. Трое соревнуются в стрельбе из арбалета. Кто первым достигнет 6 лучших попаданий,  тот  выигрывает.  Ставка  10  дукатов.  Когда  первый  получил 4 лучших попадания, второй – 3, а третий – 2, они не хотят продолжать и решают разделить приз справедливо. Спрашивается, какой должна быть доля каждого? Пачоли предложил решение, которое позднее многократно оспаривалось, поскольку   оно   было   признано   ошибочным.   А   именно,   он   предложил   делить ставку пропорционально числу выигранных партий. Таким образом, в первой задаче решение Пачоли таково: первый должен получить 5/8 ставки, т.е. 13,75 дуката, а второй – 3/8 ставки, т.е. 8,25 дуката. Во второй же задаче, согласно Пачоли, первый должен получить 4 и 4/9 дуката, второй – 3 и 3/9 дуката, третий – 2 и 2/9 дуката. Джироламо Кардано, Никколо Тарталья Существенное   продвижение   в   решении   первичных   задач   теории вероятностей связано с именами итальянских ученых Дж. Кардано (1501–1575) и Н. Тарталья (ок. 1499–1557).  В рукописи Дж. Кардано «Книга об игре в кости» (1526) были решены многие задачи, связанные с бросанием игральных костей и выпадением на них того или иного числа очков. Он правильно подсчитал числа различных случаев, которые могут произойти при бросании двух и трех костей. Кардано указал число  возможных  случаев  появления хотя бы  на одной кости  определенного числа очков. Таких случаев оказалось 11. Это место заслуживает пристального внимания,   поскольку   Кардано   дважды   предложил   рассматривать   отношение, которые   теперь   мы   называем   классическим   определением   вероятности.   А 5именно, 1/6 – это вероятность появления заданного числа очков при бросании одной кости, а 11/36 – вероятность получить хотя бы на одной из двух костей грань с заданным числом очков. Данное единичное наблюдение он не сделал основой   для   общего   заключения.   В   результате   он   не   заметил,   что   стоял   на пороге   введение   важного   понятия   для   всего   дальнейшего   развития   большой главы математики, да и всего количественного естествознания. В XIII главе «О сложных числах, как до шести, так и свыше, и как для двух,   так   и   для   трех   костей»,   Кардано   вновь   возвратился   к   рассмотрению отношений числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев. Вновь Кардано оперирует фактически классическим понятием вероятности, но не замечает его значения для изучаемых им задач. Задача Пачоли о разделе ставки до окончания игры интересовала также и Кардано. В книге «Практика общей арифметики» (1539), Кардано привел ряд критических замечаний в связи с решением Пачоли. Он указал на то, что Пачоли, предлагая делить ставку пропорционально числу уже выигранных партий, никак не   учитывает,   как   много   партий   еще   нужно   выиграть   каждому   из   игроков. Согласно мнению Кардано, если s – число партий, которое следует выиграть, а p и  q  –  число   фактически   выигранных   партий   первым   и  вторым   игроками,  то ставка должна делиться между игроками в отношении 1+2+…+ (s–q)):(1+2+… + (s–p). Решение, предложенное Кардано, в общем случае ошибочно и лишь в некоторых весьма частных случаях оно приводит к правильному результату. К задаче о разделе ставки вновь вернулся Н. Тарталья в книге «Общий трактат о мере и числе», которая была опубликована в 1556 году. Его подход изложен в 20 параграфе, озаглавленном «Ошибка брата Луки из Борго». Для первой задачи Пачоли (с измененным условием) Тарталья предложил следующее решение:   первый   игрок,   набравший   10   очков,   должен   получить,   во­первых, половину всей ставки и, во­вторых, (10–0)/60 всей ставки, или 22/6 дуката, т.е. всего 14 и 2/3 дуката, а второй 7 и 1/3 дуката. 6Решение,   предложенное   Тарталья,   также   ошибочно.   Но   следует согласиться   с   тем,   что   трудно   было   бы   требовать   от   него   самого   и   его предшественников правильного решения, поскольку в науке для этого еще не было   выработано   необходимых   понятий   –   понятия   вероятности   и математического ожидания.  Далее   он   предложил   делить   ставку   по   такому   правилу:   отклонение выигрыша   от   половины   ставки   должно   быть   пропорционально   разности выигранных партий. В только что приведенном примере, в котором игра шла до шестидесяти очков и ставка равнялась 22 дукатам, первый игрок выиграл 10 партий, а второй – 0, доли игроков согласно предложению Тарталья таковы: 14 и 2/3 = 11+(10–0)/60*22, 7 и 1/3 = 11+(0–10)/60*22. Галилео Галилей Заслуживает внимания вклад в развитие теории вероятностей известного естествоиспытателя Галилео Галилея (1564–1642). Его работа «О выходе очков при игре в кости», которая увидела свет только в 1718 году, была посвящена подсчёту   числа   возможных   исходов   при   бросании   трёх   костей.   Число   всех возможных случаев Галилей подсчитал самым простым и естественным путём – он возвёл 6 (число различных возможностей при бросании одной кости) в третью степень   и   получил  63=216,   что   неоднократно   непосредственным   подсчетом получалось и ранее. Далее   Галилей   подсчитал   число   различных   способов,   которыми   может быть получено то или другое значение суммы числа выпавших очков. Ясно, что эта сумма может принимать любое значение от 3 до 18. При подсчёте Галилей пользовался   полезной   идеей   –   кости   нумеровались   и   возможные   исходы записывались   в  виде  троек   чисел,  причём   на  соответствующем   месте  стояло число очков, выпавшее на кости с данным номером. Эта простая идея для своего времени   была   новой   и   весьма   полезной.   В   конечном   итоге,   Галилей   так   же получил: 2*(1+3+6+10+15+21+25+27) = 216. 7Заметим,   что   у   Галилея,   как   и   у   его   предшественников,   рассуждения ведутся   не   над   вероятностями   случайных   событий,   а   над   числами   шансов, которые им благоприятствуют. Для теории вероятностей и математической статистики большее значение, чем только что рассмотренная работа, имеют его соображения по поводу теории ошибок наблюдений. До Галилея никто этим не занимался. Таким образом, все, что он написал на эту тему, ново для его времени и важно даже в наши дни. Свои мысли и выводы Галилей достаточно подробно изложил в одном из основных своих произведений «Диалог о двух главнейших системах мира птолемеевой и коперниковой». Согласно   Галилею,   ошибки   наблюдений   являются   неизбежными спутниками каждого измерения, каждого экспериментального исследования. «В каждой комбинации наблюдений будет какая­нибудь ошибка; я думаю, что это неизбежно…».   При   этом   ошибки   могут   быть   двух   типов:   систематические, связанные прочно со способом измерений и с используемыми инструментами, и случайные, которые меняются непредсказуемым образом от одного измерения к другому.   Эта   классификация   сохранилась   до   нашего   времени   и   широко используется во всех руководствах по теории ошибок измерений. Эти   исследования   Галилея   имеют   принципиальное   значение,   поскольку они положили начало новой научной дисциплине – теории ошибок наблюдений. Эта   теория,   несомненно,   сыграла   важную   роль   в   формировании   теории вероятностей, но еще большее значение она имела для развития математической статистики,   потому   что   теория   случайных   ошибок   наблюдений   в   настоящее время   рассматривается   в   качестве   естественной   задачи   математический статистики. Таким   образом,   уже   в   XVI   –  XVII  веках   возникали   задачи   чисто вероятностного характера и упорно разыскивались подходы к их решению. Это неизбежно   приводило   к   необходимости   развития,   с   одной   стороны, 8комбинаторных методов, а с другой – к поиску тех понятий, в терминах которых можно было бы описывать возникающие ситуации. Ошибки, допущенные одним исследователем, подмечались другими. Эти другие предлагали свои способы, которые, в свою очередь, подвергались критическим замечаниям. Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились основой новой теории и, во всяком случае, позволяли решать отдельные задачи. Глава 2. Второй этап развития теории вероятностей и математической статистики Ко   второму   этапу   развития   теории   вероятностей   относятся   работы, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному   X.   Гюйгенсу,   которые   появились   в   связи   с   подсчётом   различных вероятностей в азартных играх. Временные рамки данного этапа: середина – конец XVII века. Блез Паскаль и Пьер Ферма Считается, что теория вероятностей зародилась в переписке двух ученых –   Б.   Паскаля   (1623­1662)   и   П.   Ферма   (1601­1665).   От   этой   переписки сохранилось лишь три письма Паскаля и четыре письма Ферма.  Однако   в   переписке   Паскаля   с   Ферма   еще   отсутствует   понятие   и   оба   они   ограничиваются   рассмотрением   числа вероятности, благоприятствующих   событию   шансов.   Конечно,   у   этих   авторов   впервые   в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много   усилий   у   исследователей   в   течение   длительного   времени.   Оба   они исходили   из   одно   и   той   же   идеи:   раздела   ставки   в   отношении, пропорциональном,   как   мы   теперь   сказали   бы,   вероятностям   окончательного выигрыша   каждого   игрока.   В   предложенных   ими   решениях   можно   увидеть зачатки использования  математического  ожидания  и в весьма несовершенной форме   теорем   о   сложении   и   умножении   вероятностей.   Точнее   сказать   не 9вероятностей, а шансов,  благоприятствующих  тому или  иному событию. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико­ вероятностного   характера.   Второй   шаг   был   сделан   Паскалем,   когда   он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на её значение для зарождающейся теории вероятностей. Толчком к появлению интереса Паскаля к задачам теории вероятностей послужили   его   встречи   и   беседы   с   одним   из   придворных   французского королевского   двора   –   шевалье   де   Мере   (1607­1648)   –   азартным   игроком, интересовавшимся   философией,  литературой   и   неплохо   знавшим   математику своего времени. О последнем свидетельствуют теоретические вопросы, которые он предложил Паскалю: 1. Сколько   раз   надо   подбросить   две   кости,   чтобы   число   случаев, благоприятствующих   выпадению   хотя   бы   раз   сразу   двух   шестёрок,   было больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестёрки одновременно? 2. Как нужно разделить ставку между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков? Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Решение,  предложенное   Паскалем,  в  подробностях   изложено  в  письме   от  29 июля: «Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля. Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок   будет   иметь   по   2   выигранных   партии,   и,   следовательно,   если   они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля. 10Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32, если же игроки не намерены рисковать на эту партию и хотят произвести раздел, то первый должен сказать, что он имеет 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша он их также получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо им, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля». Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной, и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй   ни   одной.   В   обоих   случаях   рассуждения   при   решении   подобны   тем, которые уже были проведены. Ответы же, предложенные Паскалем, таковы: в первом случае один игрок должен получить 56, а второй – 8 пистолей; во втором же – 44 и 20. Решение, которое для задачи Паскаля предложил Ферма, дошло до нас только  по   изложению,  которое  содержится  в письме  Паскаля  от 24  августа. Итак, решение Ферма: Пусть до выигрыша игроку А не достает двух партий, а игроку  В  – трех партий. Тогда для завершения игры достаточно сыграть еще максимум четыре партии. Таким образом, ставка между игроками А и В должна быть разделена в отношении 11 к 5. Иными словами, игрок А получит 11/16, а игрок В – 5/16 ставки. Совершенно очевидно, что Ферма так же, как и Паскаль, делит ставку пропорционально   вероятностям   выигрыша   каждым   их   игроков   всей   игры.   В результате они сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы.  В   письме   от   24   августа   Паскаль   высказал   сомнение   в   том,   что   метод Ферма можно распространить на число игроков, больше двух. Однако Ферма показал, что теми же рассуждениями можно решить задачу о разделении ставки и для случая трех игроков. Это решение им было использовано в задаче о трех 11игроках, когда до окончания игры игроку А недостает одной выигранной партии, а игрокам В и С – по две. Христиан Гюйгенс Несомненно, что на развитие теории вероятности значительное влияние оказала работа Х. Гюйгенса (1629­1695). Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой в Париж в 1655г., где он познакомился с рядом видных ученых   и   услышал   от   них   сведения   относительно   задач   о   разделе   ставки   в азартных играх, которые разрабатывались Паскалем и Ферма. Задачи Гюйгенса заинтересовали, и он самостоятельно занялся размышлениями над подобными же   вопросами.   Поскольку,   как   он   позднее   писал   в   трактате   «О   расчетах   в азартных играх», ни Паскаль, ни Ферма не опубликовали разработанных ими методов,   ему   пришлось   самому   искать   пути   решения.   Результатом   явилась работа   Гюйгенса,   опубликованная   в   1656   г.   в   виде   дополнения   к   книге   его учителя Ф. ван Схоутена «Математические этюды». Схоутен настолько высоко ценил эту работу Гюйгенса, что сам перевел её на латинский язык. Работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и 14 предложений. Эти предложения   весьма   различны   по   своему   содержанию.  Первые   три   являются теми принципами, на основе которых Гюйгенс основывал последующие решения. Предложения 4–9 посвящены решению задач, связанных с безобидным делением ставки. Предложения 10–14 содержат различные задачи, связанные с бросанием костей.   В   конце   мемуара   помещены   5   задач   без   решений,   которые   Гюйгенс предложил читателям для самостоятельных размышлений. Их решения были им даны лишь в 1665 г. Несомненно,   что   первые   три   предложения   составляют   идейную   основу всего сочинения Гюйгенса и поэтому приведем их полностью. Предложение 1. Если я имею равные шансы получить a или b, то это мне стоит (a+b)/2. 12Предложение 2.  Если я имею равные шансы получить  a, b  или  с, то это мне стоит столько же, как если бы я имел (a+b+с)/3. Предложение 3. Если число случаев, в которых получается сумма a, равно p, а число случаев, в которых получается сумма b, равно q, то стоимость моего ожидания равна (ap+bq)/(p+q). Этими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания для случайной величины, принимающей два или три значения. У Гюйгенса еще понятие вероятности не выделено, и он все время оперирует с числами шансов, благоприятствующих   тому   или   другому   событию.   Гюйгенс   предпочел,   так сказать, коммерческую терминологию и говорил о стоимости, за которую он готов   уступить   все   право   на   получение   выигрыша.   Термин   «ожидание»   был введен в употребление учителем Гюйгенса – Схоутеном – при переводе. Предложения 1 и 2 представляют собой ничто иное как версию задачи о разделе   ставки.   Гюйгенс   был   очень   близок   в   своих   рассуждениях   к рассуждениям Паскаля.  Разделение   ставки   между   тремя   игроками   Гюйгенс   рассматривает   в предложении 8, когда первому игроку не достает до выигрыша всей игры одной партии, а второму и третьему – по две партии. В предложении 9 он рассмотрел вопрос о разделе ставки между тремя игроками, но при произвольном состоянии игроков. Общего выражения для решения этой задачи им дано не было, и он изложил только принципы сведения общей задачи к частным случаям. Формулировки   предложений   10–14   следует   признать   недостаточно четкими.   Их   содержание   полностью   проясняется   лишь   при   рассмотрении предложенных Гюйгенсом вопросов.  Интересно отметить, что письма к Каркави от 6 июля 1656 г. Гюйгенс писал, что предложение 14 его трактата соответствует одной из шести задач Ферма, которые последний сообщил Каркави. 13К концу XVII века завершался длительный период накопления первичных сведений   о   случайных   события,   точно   поставленных   задач   и   подходов   к решению.  Многие   выдающиеся   умы  занимались   этими  вопросами  и  с  разных позиций   подходили   к   количественной   оценке   возможности   наступления случайного   события.   Казалось   бы,   что   этот   шаг   –   переход   от   рассмотрения числа   возможных   исходов,   благоприятствующих   наступлению   события,   к рассмотрению отношения этого числа к числу всех возможных исходов – был естественен. Однако никто этого шага не сделал. Рассуждения, благодаря этому, были   сложны   и   формулировки   задач   не   очень   точны.   Введение   в   науку классического   понятия   вероятностей   принадлежит   лишь   XVIII   столетию. Однако   оно  было   исследователями  XVII  века   хорошо   подготовлено.  Период предыстории   завершался   и   начинался   период   собственно   истории   теории вероятностей. Для этого уже был создан достаточно прочный фундамент. 14Глава 3. Третий этап развития теории вероятностей и математической статистики К   третьему   этапу   развития   теории   вероятностей   и   математической статистики  относятся первые  работы в области демографии Дж. Граунта, В. Петти, Э. Галлея и знаменитая работа Я. Бернулли «Искусство предположений». Временные рамки данного этапа: конец XVII – начало XVIII века. Джон Граунт и Вильям Петти Одним из толчков для развития основных понятий теории вероятностей сыграли исследования Джона Граунта (1620­1675) и Вильяма Петти (1623­1687) по   демографии   или,   как   тогда   говорили,   по   политической   арифметике.   Их работы наглядно продемонстрировали каким мощным орудием могут служить для   изучения   массовых   явлений   статистические   наблюдения,   если   их соответствующим образом обработать. Первой работой, с которой начинается история статистики как области научного знания, следует назвать книгу Д. Граунта, опубликованную в 1662 г. под   названием   «Естественные   и   политические   наблюдения,   перечисленные   в прилагаемом   оглавлении   и   сделанные   над   бюллетенями   смертности.   По отношению к управлению, религии торговле, росту, воздуху, болезням и разным изменениям   означенного   города».   Основная   задача,   которая   заинтересовала Граунта,   состояла   в   указании   метода,   который   позволял   бы   установить   с достаточной   точностью   возрастной   состав   населения   города   в   результате наблюдений за возрастом умерших. С этой целью им были проанализированы результаты 229 250 регистраций смертей в Лондоне происходивший за 20 лет. Среди этих смертей было отмечено 71 124 смертей детей от 0 до 6 лет. Причины смерти   были   тщательно   перечислены   Граунтом.  Он   специально   отметил,   что отношение числа смертей детей от 0 до 6 лет к общему числу смертей за этот же период времени, равное 71 124/229 250, приблизительно равняется 1/3. Иными 15словами, Граунт ввел представление о частоте события. Для развития теории вероятностей это обстоятельство сыграло огромную роль, как, впрочем, и его замечание: «…мы хотели бы отметить, что некоторые их случайностей имеют постоянное отношение к числу всех похорон». Здесь Граунт вплотную подошел к представлению о статистической устойчивости средних. Понятие   частоты   оказалось   полезным   и   его   сразу   подхватили   другие авторы.   Так   в   небольшой   книге   В.   Петти   «Два   очерка   по   политической арифметике,  относящиеся   к   людям,  зданиям,  больница   в  Лондоне,  Париже», вышедшей в 1682 г. в Лондоне, а через два года во французском переводе в Париже, были даны сравнительные данные о смертности в госпиталях шарите Парижа и Лондона. Так в одном из госпиталей шарите Парижа в течении года из 2647 больных скончались 338, а в двух госпиталях Лондона из 3281 больных ушли из жизни 461. Частоты госпитальной смертности для Парижа и Лондона оказываются   соответственно   равными   0.136   и   0.140.   Петти   не   использовал десятичных   дробей   и   обе   частоты   считал   приблизительно   равными   1/7.   Еще больший процент смертности оказался в парижском госпитале «Божий дом», а именно в нем их 21 591 больных скончалось 5360. Таким образом, для этого госпиталя   частота   окончательного   исцеления   от   всех   болезней   и   печалей оказалась равной 5360/21 491  ≈  0.262. Петти принимал ее за 1/4. Несомненно,   что   работы   Граунта,   Петти   и   ряда   их   последователей представляют   собой  никто   иное   как  первые   шаги  в  области   математической статистики. Эдмунт Галлей Непосредственным   продолжателем   исследований,   начатых   Граунтом   и Петти,   был   знаменитый   английский   астроном   Эдмунт   Галлей   (1656­1742).   В 1693 г. Галлей опубликовал в изданиях Лондонского королевского общества две статьи «Оценка  степеней   смертности   человечества,  выведенная   на   основании любопытных   таблиц   рождений   и   погребений   города   Бреславля,   с   попыткой 16установить  цену пожизненных  рент» и «Несколько дальнейших замечаний по поводу   Бреславльских   бюллетеней   смертности».   В   основу   этих   статей   были положены данные о движении населения Бреславля за 1687­1691 гг., присланные по   просьбе   секретаря   общества   Генриха   Жюстелля   пастором   Каспаром Нейманом. Более Галлей к этим вопросам не возвращался. Одна из причин интереса Галлея к таблицам смертности состоит в том, что сам Граунт и Петти сознавали недостаточную обоснованность своих выводов, поскольку   у   них   отсутствовали   численность   населения   и   возраст   умерших (зачастую). Кроме того, в городах, которые они изучали – Лондон и Дублин – был   большой   приток   населения   извне.   Это   обстоятельство   делает   указанные города «неподходящими в качестве стандарта для этой цели, которая требует, если это возможно, чтобы население, с которым имеют дело, было совершенно закрытым, т.е. таким, где все умирают там, где они родились, где нет никаких эмигрантов и иммигрантов». По словам Галлея, блеславльские  материалы  не имеют указанных дефектов. На   основании   имевшихся   у   него   данных   Галлей   составил   таблицу смертности, которую он рассматривал одновременно и как таблицу доживающих по возрасту лиц, так и как распределение населения по возрасту. Он ввел в науку понятие о вероятной продолжительности жизни, как о возрасте, которого одинаково можно достигнуть и не достигнуть. В вычислениях Галлея можно заметить использование им принципов, лежащих в основе теорем сложения и умножения вероятностей, а также рассуждения, близкие в формулировке закона больших чисел.  Работы   Галлея   имели   очень   большое   значение   для   развития   науки   и применений   статистических   исследований   о   народонаселении   к   вопросам страхования. 17Якоб Бернулли По существу, теория вероятностей как наука начинается с работы Якоба Бернулли   (1654–1705)   «Искусство   предположений»,   опубликованной   в   1716 году.   В   этом   произведении   уже   введено   и   широко   использовано   понятие вероятности случайного события, доказаны некоторые общие теоремы и сделаны полезные примечания к работе Х. Гюйгенса. Книга Я. Бернулли состоит из четырёх частей. Первая ее часть посвящена изложению работы Х. Гюйгенса и примечаниям к её содержанию. В одном их примечаний установлена известная формула Я. Бернулли для вероятности того, что при n независимых испытаниях событие А появится m раз с вероятностью, равной Pn (m) = Cn mpmqn­m (m=0, 1, …, n), если в каждом из испытаний событие А наступает с вероятностью p и не наступает с вероятностью q = 1 – p. Вторая часть «Учение о перестановках и сочетаниях» представляет собой обзор того, что во времена Бернулли было известно о комбинаторике, включая его   собственные   результаты.  Третья   часть   работы   Бернулли   «Применение учения о сочетаниях к различным случайным играм и играм в кости» содержит 24 задачи с подробными решениями. Четвёртая часть книги, носящая название «Применение предыдущего учения к гражданским, моральным и экономическим вопросам», не может считаться завершённой. Произведения   Граунта   и   Петти   убедительно   показали   преимущества понятия   частоты   перед   понятием   численности.   Именно   понятие   частоты позволяет получить серьезные практические выводы, тогда как рассмотрение численностей оставляет исследователя в состоянии неопределенности. Отсюда оставался   лишь   один   шаг   до   введения   понятия   классической   вероятности. Можно   заметить,   что   выводы   Граунта   и   Петти   относительно   устойчивости частоты   некоторых   событий   подготовили   почку   и   к   формированию   закона больших чисел. В весьма несовершенной форме классическое определение вероятности у Я.   Бернулли   появилось   в   первой   главе   четвертой   части   «Искусства 18предложений».   Там   он   сказал   следующие   слова:   «Вероятность   есть   степень достоверности и отличается то нее, как часть от целого». При формулировке главного предложения в пятой главе четвертой части Я. Бернулли вновь писал об отношении числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных. Но при этом он не оговаривал, а предполагал само собой разумеющимися, что эти случаи должны быть равновероятными.  Интересны рассуждения четвертой главы четвертой части сочинения Я. Бернулли. Он задал вопрос: как определить вероятность случайного события, ели   у   нас   нет   возможности   подсчитать   числа   всех   возможных   и благоприятствующих   ему  шансов?  Ответ  им  был  сформулирован  следующим образом: «Но здесь нам открывается другая дорога для достижения искомого. И то,   что   не   дано   вывести   а  priori,   то,   по   крайней   мере,   можно   получить   а posteriori,   т.е.   из   многократного   наблюдения   результатов   в   подобных примерах…   Ибо,   если,   например,   при   наблюдениях,   сделанных   некогда   над тремя сотнями людей того же возраста и сложения, в каких находится теперь Тит,   было   замечено,   что   из   них   двести   до   истечения   десяти   лет   умерли,   а остальные   остались   в   живых   и   дальше,   то   можно   заключить   с   достаточным основанием,   что   имеется   вдвое   больше   случаев   Титу   умереть   в   течение ближайшего десятилетия,  чем остаться в живых по  истечению этого  срока». Далее   важно   подчеркнуть,   что   в   высказанных   отрывках   достаточно   четко отслеживается  мысль о  статистическом   определении вероятности. Наверняка при этом Я. Бернулли основывался и на работах Граунта и Петти. Таким   образом   в   трактате   Я.   Бернулли   присутствуют   обе   концепции вероятности   –   классическая   и   статистическая.   Обе   они   изложены   не   очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотрение и использованы. Этим   был   сделан   принципиальный   шаг   в   науке   о   случае   –   введено   в рассмотрение   понятие   вероятности   случайного   события   как   числа, заключенного между 0 и 1.  19Центром   всей   книги   и   основным   её   результатом   следует   считать   ту теорему,   на   которой   заканчивается   изложение,   и   которая   получила впоследствии название закона больших чисел в форме Бернулли. Заключалась она в обосновании, подмеченного, по­видимому, на азартных играх сближения относительной частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний.  Теорема Бернулли явилась тем звеном, которое связало статистические наблюдения   с   теорией   вероятностей.   Его   рассуждения,   связанные   с обоснованием   этой   теоремы,   достаточно   определённо   показывают,   что   Я. Бернулли отчётливо понимал, как можно использовать результаты наблюдений для оценки неизвестной вероятности случайного события. Пьер Ремон де Монмор, Абрахам де Муавр, Даниил Бернулли Произведение Пьера Ремона де Монмора (1678 — 1719) «Опыт анализа азартных   игр»,   написанное   несколько   позже,   чем   «Искусство   догадок» Бернулли,   появилось   раньше   (в   1708   году).   Оно   также   опирается   на   книгу Гюйгенса и тем самым косвенно связано с перепиской Паскаля и Ферма.  Монмор   в   упомянутой   книге   использовал   понятие   вероятности   и применил   его   к   решению   достаточно   сложных   задач.   В   частности,   Монмор рассмотрел   и   правильно   решил   следующую   задачу:   имеется  n  предметов, пронумерованных числами от 1 до  n. Спрашивается, чему равна вероятность того,   что   при   последовательном   вынимании   этих   предметов   наудачу   (без возвращения) хотя бы один предмет будет вынут так, что номер вынимания совпадет с присвоенным ему номером. Эта вероятность оказалась равной  1 – 1/2! + 1/3! – . . . + (–1)n/n! Трактат  Я.  Бернулли   вызвал   резкий   подъём   интереса   к  вероятностным проблемам и рост числа исследований новых задач. Первым, кто дал серьёзное продолжение результата Я. Бернулли, был Абрахам де Муавр (1667–1754). В 20трактате   «Учение   о   случаях»   Муавр   не   только   полностью   решил   «задачу   о разорении игрока», но и оценил для неё среднюю продолжительность игры и вероятности выигрыша за заданное число игр для каждого игрока.  В   другой   работе,   называвшейся   «Аналитическая   смесь»,   Муавр   дал первый   вариант   теоремы   Муавра—Лапласа,   исследующей   распределение возможных отклонений статистической частоты от вероятности. Муавр открыл формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел,   заданных   в   тригонометрической   форме.   Он   первый   стал   использовать возведение   в   степень   бесконечных   рядов.   Муавр   рассмотрел   только   случай, когда   вероятность   равна   1/2,  т.е.  он   открыл   свои   замечательные   предельные (локальную и интегральную) теоремы. Общий же случай для любой вероятности доказал   Лаплас.   Это   был   следующий   за   открытием   теоремы   Бернулли решающий   шаг   в   развитии   теории   вероятностей,   вызвавший   многочисленные позднейшие   исследования   и   приведший   к   созданию   обширной   и   бурно развивающейся и в XX веке теории предельных теорем. Даниил   Бернулли  (1700­1782)   был   одним   из   последних   представителей рода Бернулли, которые внесли фундаментальный вклад в математику, теорию вероятностей и математическую статистику в XVII и XVIII веках. В одной из своих многочисленных работ, опубликованных на латинском языке, «Образец новой   теории   измерения   риска»   он   разрешил   так   называемый   санкт­ петербургский парадокс, в котором ожидаемая ценность выигрыша может быть точно рассчитана, но «честная» азартная игра предполагает бесконечно высокую ставку. Честная игрой называется такая игра, в которой игрок не должен делать ставку, превышающую  ожидаемую ценность  его выигрыша, то есть денежной величины выигрыша, умноженной на его вероятность. Но в действительности никто не согласится поставить бесконечно большую сумму денег в этой игре и, следовательно,   здесь   что­то   не   так.   Бернулли   разрешил   этот   парадокс, предположив,   что   игроки   максимизируют   не   ожидаемое   количество   денег,   а 21ожидаемую   полезность   этих   денег.   Более   того,   допуская,   что   предельная полезность дохода уменьшается с каждым приращением дохода, он показал, что ожидаемая полезность «честной» игры на самом деле отрицательна: никто не будет платить 1 фунт стерлингов за равные шансы выиграть или проиграть 2 фунта,   поэтому­то   игроки   всегда   настаивают   на   более   крупном   выигрыше, чтобы компенсировать риск допустимой потери. Томас Симпсон и Жорж-Луи Бюффон Уже в первой половине XVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности  имеет ограниченную область применений и возникают  ситуации, когда   оно   не   действует,   а   потому   необходимо   какое­то   естественное   его расширение.   Обычно   считают,   что   таким   толчком   послужили   работы французского   естествоиспытателя   Ж.   Бюффона   (1707­1788),   в   которых   он сформулировал   знаменитую   задачу   о   бросании   иглы   на   разграфленную плоскость   и   предложил   ее   решение.   Это   утверждение   требует   поправки, поскольку   исторически   оно   не  верно.  Дело   в  том,  что  задолго  до  рождения Бюффона появилась работа, в которой фактически уже был поставлен вопрос о нахождении   геометрической   вероятности.   Правда,   в   ту   пору   еще   не   было   и определения вероятности. В 1692 г. в Лондоне был опубликован английский перевод книги Х. Гюйгенса «О расчетах  в азартных играх», выполненный  Д. Арбутнотом (1667­1735). В конце первой части переводчик добавил несколько задач, среди которых была сформулирована задача совсем иной природы, по сравнению с теми, которые были рассмотрены великим автором. Он назвал эту задачу трудной и поместил ее в дополнении «для того, чтобы она была решена теми,   кто   считает   такого   рода   проблемы   достойными   внимания».   Задача, предложенная   Арбутнотом,   состоит   в   следующем:   на   плоскость   наудачу бросается   прямоугольный   параллелепипед   с   ребрами,   равными  a,  b,  c. Спрашивается,   как   часто   параллелепипед   будет   выпадать   гранью  ab?   Сам Арбутнот не сделал даже попытки решения придуманной им задачи. Это было 22осуществлено значительно позднее Т. Симпсоном (1710­1761) в книге «Природа и законы случая» (1740), где задача была приведены под номером XXVII. Т.   Симпсон   фактически   использовал   третье   (наряду   с   классическим   и статистическим)  определение  вероятности  —  геометрическое, пригодное  для исследования непрерывных случайных величин с бесконечным числом значений. Идея решения, предложенная Симпсоном, состоит в следующем: опишем около параллелепипеда сферу и спроектируем из центра на поверхность ее все ребра, боковые   грани   и   основания.   В   результате   поверхность   сферы   разобьется   на шесть непересекающихся областей, соответствующих граням параллелепипеда. Далее   Симпсон   написал:   «Нетрудно   заметить,   что   определенная   часть сферической поверхности, ограниченная траекторией, описанной таким образом радиусом,   будет   находиться   в   таком   же   соотношении   к   общей   площади поверхности, как вероятность появления некоторой грани к единице». В том, что было только что сказано, в полной мере заключены принципы разыскания геометрических вероятностей: вводится мера множества благоприятствующих событию случает и берется ее отношение к мере множества всех возможных случаев. Бюффон   дважды   публиковал   работы,   посвященные   геометрическим вероятностям. Первая его публикация на эту тему относится в 1733 г., когда он сделал   в   Парижской   академии   наук   доклад,   напечатанный   под   названием «Мемуар об игре франк­карро» (Мемуар об игре прямо в клетку). Позднее, в 1777 г. этот мемуар был целиком включен в «Опыт нравственной арифметики», являвшейся дополнением к тому IV его «Естественной истории». Цель, которую ставил перед собой Бюффон, состояла в том, чтобы показать, что «геометрия может   быть   использована   в   качестве   аналитического   инструмента   в   области теории вероятностей», в то время как до тех пор «геометрия казалось мало пригодной   для   этих   целей»,   поскольку   для   них   использовалась   только арифметика.  23Игра франк­карро состоит в следующем: пол разграфлен на одинаковые фигуры. На пол бросается монета, ее диаметр  2r  меньше каждой из сторон, и монета целиком укладывается внутрь фигуры. Чему равна вероятность того, что брошенная наудачу монета пересечет одну или две стороны фигуры? Для определенности рассмотрим покрытие плоскости прямоугольника со сторонами  a  и  b,  b>2r,  a>2r. Легко подсчитать, что площадь полосы между основным прямоугольником со сторонами, параллельными сторонам основного на расстоянии  r  от каждого из его сторон и целиком расположенного внутри основного,  равна  2r(a+b–2r).  Легко   понять,  что   центр   монеты,  попав   внутрь малого прямоугольника, не только не пересечет, но даже не коснется сторон основного. Значит, вероятность того, что монета пересечет по меньшей мере одну из сторон основного прямоугольника равна  2ra+b–2r ab . Вторая   задача,   сформулированная   и   решенная   Бюффоном,   состоит   в следующем: плоскость разграфлена равноотстоящими параллельными прямыми. На   плоскость   наудачу   бросается   игла.   Один   игрок   утверждает,   что   игра пересечет одну из параллельных прямых, другой – что не пересечет. Определить вероятность выигрыша каждого из игроков.  Менее   известна   задача   Бюффона   об   игре,   когда   игла   бросается   на плоскость, разграфленную на квадраты. В решении этой задачи Бюффон считал, что искомая вероятность равна   2ra–r πa2   , тогда как в действительности она равна  4r2a–r πa2  . Томас Байес, Леонард Эйлер В   1768   году   Томас   Байес   (1702–1761)   опубликовал   важную   работу,   в которой   была   решена   важнейшая   задача   расчёта   вероятности   для   сложных событий. Английский математик Т. Байес первым в отчётливом виде привёл теорему   сложения   вероятностей   для   нескольких   несовместимых   событий   и 24основополагающие   в   теории   вероятностей   и   статистике   «формулы   Байеса» (1763 год, опубликованы посмертно). В современной терминологии  формулы Байеса   позволяют   рассчитать   условную   вероятность,   а   также   уточнить рассчитанную вероятность после получения новых данных.  К середине XVIII века анализ игр всё ещё привлекает некоторый интерес — например, Леонард Эйлер (1707­1783) дал подробный анализ разных типов лотерей, но центром внимания математиков всё в большей степени становятся демографическая   статистика,   страхование   и   оценка   ошибок   (измерения, округления и т. п.). Статистике и страхованию Эйлер посвятил немало работ; он,  в  частности,  решал  задачу:   оценить   по   статистическим   таблицам,  какова вероятность того, что человек в возрасте m лет проживёт ещё n лет. Таким   образом,   к   концу  XVIII  века   можно   считать,   что   теория вероятностей  начала свою историю, до этого  же была  предыстория, которая подготавливала   почву   для   формирования   основных   понятий   и   задач   теории вероятностей.   Это   был   следующий   этап   в   развитии   теории   вероятностей, вызвавший многочисленные позднейшие исследования и приведший к созданию обширной, бурно развивающейся и в XX веке теории предельных теорем. Глава 4. Четвертый этап развития теории вероятностей и математической статистики К   четвертому   этапу   развития   теории   вероятностей   и   математической статистики относится ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике, главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы. Временные рамки данного этапа: XIX век. Карл Гаусс, Пьер-Симон Лаплас Карл   Фридрих   Гаусс   (1777–1855),   постоянно   занимавшийся астрономическими вычислениями, разработал вероятностную методику работы 25с   измерениями,   содержащими   погрешности   (1809).   Он   глубоко   изучил нормальное распределение, показал, что оно во многих практических ситуациях является предельным для случайных значений, обосновал применение метода наименьших   квадратов   для   оценки   измеряемого   значения   и   параметров   его возможного диапазона разброса. Окончательную версию теории Гаусс изложил в двух   трудах   «Теория   комбинации   наблюдений,   подверженных   случайным ошибкам» (1823, 1828). Хотя нормальный закон был известен задолго до Гаусса, его   вклад   в   теорию   этого   важнейшего   распределения   настолько   велик,   что долгое   время   нормальный   закон   называли   «законом   Гаусса»;   современный термин закрепился благодаря работам Карла Пирсона в конце XIX века. Огромный вклад в развитие теории вероятностей внёс Пьер­Симон Лаплас (1749­1827). Он первым дал определение вероятности, которое теперь известно как   классическое,   ввёл   во   всеобщее   употребление   теоремы   Муавра   для произвольного  p   (0   <   p   <   1),  ввёл   в   широкое   употребление   методы математического анализа. После   Бюффона   задачи   на   геометрические   вероятности   стали систематически включаться в трактаты и учебники по теории вероятности. Так, в   знаменитую   книгу   Лапласа   «Аналитическая   тория   вероятностей»   были включены и подробно рассмотрены все задачи Бюффона.  Основные  достижения теории вероятностей  подытожены   в капитальной монографии   Лапласа   «Аналитическая   теория   вероятностей»   (1812),   которая завершила «классический этап» развития этой науки. Лаплас исследовал как дискретные,   так   и   непрерывные   случайные   величины  (ещё   не   вводя   термина «случайная   величина»),   причём   для   непрерывных   дал   ключевое   понятие плотности   распределения   вероятности,   ранее   неявно   и   ограниченно использованное   Даниилом   Бернулли.   Введение   плотности   вероятности   и характеристических   функций   позволило   Лапласу   применить   для   решения 26вероятностных   дифференциальные уравнения в частных производных. задач   мощные   аналитические   средства,   включая Лаплас   привёл   формулу   полной   вероятности   для   нескольких несовместных «причин» (в современной терминологии, «гипотез»), доказал ряд предельных   теорем,   в   том   числе   теорему   Муавра—Лапласа   и   сходимость биномиального распределения к нормальному при увеличении числа испытаний. Значительная часть книги посвящена статистическим приложениям и решению задач.   Для   оценки   возможного   диапазона   значений   измеряемой   величины Лаплас, как и Гаусс, рекомендовал метод наименьших квадратов. Лаплас описал и своё понимание сущности случайности и вероятности. По   ход   реальных   процессов   полностью   предопределён его   мнению, («детерминирован»), случайность появляется лишь в человеческом восприятии и только там, где человек не владеет полным знанием происходящего. Симеон Пуассон Симеон Дени Пуассон (1781­1840) в 1837 году обобщил закон больших чисел Бернулли, сняв условие о том, что вероятность события в каждой игре одна и та же; при этих новых условиях статистическая частота будет сходиться к   среднему   арифметическому   для   вероятностей   отдельных   игр.   Он   же опубликовал формулу Пуассона, удобную для описания схемы Бернулли в том случае, когда вероятность события близка к нулю или к единице. Распределение Пуассона («закон редких событий») является одним из основных в прикладных задачах, например, ему подчиняются радиоактивный распад, рождение тройни, статистика аварий и несчастных случаев. Ему принадлежит также много результатов в области чистой математики, особенно в дифференциальном и интегральном исчислении (интеграл Пуассона, формула   суммирования   Пуассона   и   др.),   в   теории   дифференциальных   и разностных   уравнений.   Нельзя,   наконец,   не   сказать   о   существенном   вкладе Пуассона   в   теорию   вероятностей.   Вслед   за   Лапласом   он   уделял   большое 27внимание   применениям   теории   вероятностей   в   уголовном   судопроизводстве. Один из его больших трактатов так и называется «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах». В этой работе решались вполне конкретные и строгие математические задачи. В работах Пуассона очень часто видно стремление связать формальные математические рассуждения не только с естественными науками, но и с общественно важными вопросами. Таков и его трактат «О преимуществе банкира при игре в тридцать и сорок». Вряд ли нужно осуждать   Пуассона   за   стремление   «помочь   обогащению   банкиров»,   лучше вспомнить   о   том,   что   теория   игр,   в   том   числе   и   азартных,   была   очень существенной для становления и развития теории вероятностей, а сейчас и сама стала   самостоятельным   и   жизненно   необходимым   разделом   математической науки. И, конечно, всем, кто изучает теорию вероятностей или использует для своих   целей   вероятностные   расчеты,   знакомо   распределение   Пуассона.   Так называется формула, позволяющая для многих задач вычислять распределение случайных величин. С помощью этой формулы можно, например, подсчитать вероятность того, что в коллективе, состоящем из 1999 человек, ровно k человек родились в тот же день, что и Пуассон (k = 0,1,2,3,4, …). Можно вычислить как распределены   опечатки   в   какой­нибудь   книге   при   условии,   что   существует постоянная   вероятность   того,   что   любая   буква   будет   набрана   наборщиком   Хорошо   описывается   формулой   Пуассона   и   процесс неправильно. радиоактивного распада, скажем, радия. Это лишь некоторые примеры задач, в которых мы используем формулу для распределения Пуассона для получения интересующего   нас   результата,   либо   сама   природа   случайных   процессов приводит нас к зависимостям, описываемым этой формулой. Таким образом, математический аппарат теории вероятностей в XIX веке продолжал совершенствоваться. Основной сферой её применения в тот период была   математическая   обработка   результатов   наблюдений,   содержащих 28случайные погрешности, а также расчёты рисков в страховом деле и других статистических   параметров.   Среди   главных   прикладных   задач   теории вероятностей и математической статистики XIX века можно назвать следующие: 1. найти вероятность того, что сумма независимых случайных величин с  одинаковым (известным) законом распределения находится в заданных  пределах. Особую важность эта проблема представляла для теории ошибок  измерения, в первую очередь для оценки погрешности наблюдений; 2. установление статистической значимости различия случайных значений или  серий таких значений; 3. исследование влияния заданного фактора на случайную величину  (факторный анализ). 29Глава 5. Пятый этап развития теории вероятностей и математической статистики К   пятому   этапу   развития   теории   вероятности   и   математической статистики   мы   отнесем   деятельность   российских   ученых.   Временные   рамки данного этапа: XIX – XX века. П.Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в XVIII в. ряд трудов по   теории   вероятности   был   написан   работавшими   в   России   Л.   Эйлером,   Н. Бернулли   и   Д.   Бернулли;   во   второй   период   развития   теории   вероятностей следует   отметить   работы   М.   В.   Остроградского   по   вопросам   теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по   применениям   теории   вероятностей   к   страховому   делу,   статистике   и демографии). В   России   в   первой   половине   XIX   века   начали   возникать   собственные серьёзные исследования по теории вероятностей. Первый учебный курс начал читать С. Ревковский в Вильнюсском университете (1829 год), там же в 1830 году была создана первая в Российской империи кафедра теории вероятностей. В   Петербургском   университете   лекции   с   1837   года   читал   сначала   В.   А. Анкудович,  а  с 1850  года  —  В.  Я.  Буняковский.  Фундаментальный   учебник «Основания математической теории вероятностей» Буняковский опубликовал в 1846  году,  и  придуманная   им  русская   терминология   стала   общепринятой.  В Московском   университете   курс   появился   в   1850   году,   лекции   читал   А.   Ю. Давидов, будущий президент Московского математического общества. Вторая   половина   XIX   века   прошла   под   знаком   интенсивного   развития молекулярных представлений о строении материи. Роль теории вероятностей при   этом   быстро   возрастала.   Появились   новые   вопросы,   связанные   со статистической физикой, возросла роль классической проблемы о сходимости 30распределения   нормированных   и   центрированных   сумм   к   нормальному распределению при неограниченном увеличении числа слагаемых. Этой задачей занимались в разных планах П. Лаплас, С. Пуассон, О. Коши, П.Л. Чебышев. Первыми русскими математиками мирового уровня в теории вероятностей стали П. Л. Чебышёв и его ученики А. А. Марков и А. М. Ляпунов. Чебышёв с самого   начала   своей   научной   карьеры   уделял   наибольшее   внимание   теории вероятностей (наряду с теорией чисел), а с 1860 года сменил Буняковского на кафедре теории вероятностей и начал свой цикл лекций. Он опубликовал по данной теме всего четыре работы, но фундаментального характера. Особенно интересна   его   статья   «О   средних   величинах»   (1866   год),   где   приведено «неравенство   Чебышёва»,   позднее   усиленное   Марковым:   Эта   формула   означает,   что   вероятность   отклонения   любой   случайной величины   от её среднего значения (математического ожидания)   более чем на   стандартных отклонений ( ) не превышает  5   имеет вероятность 1/25, то есть 4 %. 1 κ2 . Например, отклонение на В качестве следствия своего неравенства Чебышёв получил чрезвычайно общую формулировку закона больших чисел: если математические ожидания серии  n  случайных   величин   и   квадраты   этих   математических   ожиданий ограничены в совокупности, то среднее арифметическое этих величин с ростом n сходится к среднему арифметическому для их математических ожиданий. Из этой   теоремы   получаются   как   следствия   теоремы   Бернулли   и   Пуассона; Чебышёв впервые строго оценил точность этих теорем и других приближений. В 1887 году появилась статья Чебышёва «О двух теоремах относительно вероятностей».  В  этой   работе  он   установил,  что   при  некоторых (достаточно общих)   условиях   выполняется   предельная   теорема:   сумма   большого   числа независимых   случайных   величин   (например,   погрешностей   измерения) 31распределена приближённо по нормальному закону и тем точнее, чем больше слагаемых.   Этот   результат   по   своей   общности   далеко   перекрывает   теорему Муавра — Лапласа и все её аналоги. Позже А. А. Марков (1856­1922,) и А. М. Ляпунов   (1857­1918)   уточнили   и   ещё   более   обобщили   данную   теорему Чебышёва. Обе упомянутые теоремы Чебышёва занимают центральное место в теории вероятностей.   Особенно   важно   то   обстоятельство,   что   Чебышёв   не   только указал предельное распределение, но в обоих случаях детально проанализировал границы возможных отклонений от этого предела. Если   Чебышёв   исследовал   независимые   случайные   величины,   то   А.   А. Марков в 1907 году расширил поле исследований, рассматривая и случай, когда новое случайное значение зависит от старого. Марков доказал вариант закона больших   чисел   для   некоторых   распространённых   типов   зависимых   величин, введя   в   терминологию   мировой   науки   «цепи   Маркова».   Анализу   и классификации   этих   цепей   Марков   посвятил   немало   работ;   цепи   Маркова   и марковские случайные процессы применяются не только в математике, но и в других науках, таких как статистическая физика, квантовая механика, теория автоматического   управления   и   многие   другие.   Маркову   принадлежит   также вероятностное обоснование метода наименьших квадратов. В  теории  вероятностей   Ляпунов  предложил  новый  метод  исследования (метод «характеристических функций»), замечательный  по своей  общности и плодотворности;   обобщая   исследования   П.Л.   Чебышева   и   А.А.   Маркова (старшего), Ляпунов доказал так называемую центральную предельную теорему теории   вероятностей   при   значительно   более   общих   условиях,   чем   его предшественники. 32А. Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин Наиболее   распространённая   в   настоящее   время   логическая   схема построения   основ   теории   вероятностей   разработана   в   1933   советским математиком А. Н. Колмогоровым. В   XX   веке   оказалось,   что   очень   много   весьма   важных   вопросов естествознания   и   инженерного   дела   требуют   для   своего   полноценного рассмотрения привлечения идей и методов теории вероятностей, в том числе и понятия   случайной   величины   во   всей   его   широте.   Первоначально употреблявшееся на чисто интуитивной основе, даже без попытки дать хотя бы приблизительное   определение,   оно   нашло   серьёзное   применение   в   физике   и потребовало обобщения на многомерный случай. Когда   же   понятие   случайной   величины   стало   одним   из   основных,   оно нашло   буквально   неограниченное   применение   в   естествознании,   технике, экономике, организации производства, возникла насущная необходимость в его формализации, определении на базе общих идей, объединяющих всю математику в   единое   целое.   Основным   средством   такого   объединения   в   XX   веке   стала аксиоматизация. Наверное, впервые об этом чётко было сказано Д. Гильбертом (1862–1943) в его докладе на Втором Международном конгрессе математиков в 1900 году. Шестая проблема как раз и состояла в построении аксиоматических основ   теории   вероятностей.   Попытки   построения   такой   аксиоматической системы предпринимали многие математики: С.Н. Бернштейн (1880–1968), А. Ломницкий (1881­1941), Э. Борель (1871–1956), Р. Мизеса (1883–1958). Однако наиболее   успешной   оказалась   система,   разработанная   А.Н.   Колмогоровым,   в которой было дано изложение основных понятий теории вероятностей на базе современной   теории   множеств   и   теории   меры.   С   этих   позиций   ему   удалось построить   единый   подход   не   только   к   понятиям   случайного   события   и случайной величины, но и подготовить базу для построения теории случайных процессов.   Свою   систему   А.Н.   Колмогоров   опубликовал   в   небольшой,   но необычайно содержательной книге «Основные понятия теории вероятностей», 33изданной   первоначально   в   1933   году   в   Германии   в   знаменитой   серии издательства   Шпрингера.   Через   три   года   (1936)   она   появилась   и   в   русском переводе. Теория случайного процесса была создана усилиями многих математиков и   связана   прежде   всего   с   именами   А.Н.   Колмогорова,   А.Я.   Хинчина,   Е.Е. Слуцкого, Н. Винера (1894–1964). Это понятие в наши дни является одним из центральных   и   широко   используется   в   самых   разнообразных   областях естествознания,   инженерного   дела,   экономики,   организации   производства. Теория   случайных   процессов   принадлежит   к   одним   из   самых быстроразвивающихся   математических   дисциплин.   Несомненно,   что   в значительной мере это определяется её глубокими связями с практикой. Ранние работы Хинчина были сосредоточены на математическом анализе. Позднее он применил методы метрической теории функций к задачам теории вероятностей и теории чисел. Он стал одним из основателей современной теории вероятностей.   Одним   из   значительных   результатов,   принесших   Хинчину мировую славу выдающегося математика, является формула Леви­Хинчина для характеристической   функции   процесса   в   теории   стохастических   процессов Леви. Хинчиным получены важные результаты в области предельных теорем, открыт закон повторного логарифма. Он является создателем теории случайных процессов   (совместно   с   А.   Н.   Колмогоровым)   и   теории   массового обслуживания. В   теории   чисел   А.   Я.   Хинчину   принадлежат   работы   по   метрической теории   чисел   и   теории   диофантовых   приближений.   Хорошо   известны фундаментальные результаты Хинчина, относящиеся к проблеме приближения действительных чисел рациональными числами. Таким   образом,  XX  век   внес   в   развитие   теории   вероятностей принципиальные   изменения.   Математики   уже   не   могли   удовлетворяться   тем идейным наследием, которое им было получено от прошлого. В то время как 34физиков, биологов, инженеров интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления   во   времени,   теория   вероятностей   предлагала   им   в   качестве математического   аппарата   лишь   средства,   позволяющие   изучать   вероятности случайных   событий   и   случайных   величин.   Для   исследования   изменений   во времени   теория   вероятностей   конца   XIX   –   начала   XX   века   не   имела   ни соответствующих понятий, ни общих приёмов, ни разработанных частных схем. А необходимость их разработки ощущалась все острее. Естественно, что в конце концов   они   были   созданы,   и   ведущим   среди   них   стало   понятие   случайного процесса. 35Заключение Теория вероятностей и математическая статистика играют большую роль в   развитии   человеческого   знания   и   стимулируют   в  наши   дни   развитие   всего комплекса знаний.  В   современном   мире   вероятностные   идеи   применяются   во   многих областях научного знания: в статистической физике, которая стала основой всей современной физики, а теория вероятностей – её математическим аппаратом; в молекулярной   физике,   где   с   помощью   статистической   физики   объясняют тепловые   явления;   в   электромагнетизме,   где   объясняются   диэлектрические, проводящие   и   магнитные   свойства   тел;   в   оптике;   в   астрономии,   которая нуждается в использовании статистических представлений; в биологии, где без хорошего   знания   теории   вероятностей   и   математической   статистики   нельзя изучить   такие   проблемы,   как   передача   возбуждения,   устройство   памяти, передача   наследственных   свойств   и   другие;   в   археологии   статистические методы все в более значительной мере начинают привлекаться к историческим исследованиям,   также   используются   для   расшифровки   надписей   на   языке древних   народов,   для   установления   авторства   и   изобличения   литературных подделок   и   так   далее;   в   педагогике   и   психологии   многие   проблемы   также требуют привлечения вероятностно­статистического аппарата и так далее. Данный список можно продолжать до бесконечности, потому что в наше время трудно назвать какую­либо область исследований, где бы не применялись вероятностные методы. Можно без преувеличения сказать, что статистическими методами сегодня пронизана вся наша жизнь.  36Список использованной литературы 1. Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., К. ­ Л., 2003. 2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2006 г.; 3. Гмурман   В.Е.   Теория   вероятностей   и   математическая   статистика.   Учеб. пособие для вузов. М: Высшая школа, 1998 г.; 4. Гнеденко   Б.   В.   и   Хинчин   А.   Я.,   Элементарное   введение   в   теорию вероятностей, 3 изд., К. ­ Л., 2008.  5. Гнеденко Б.В. Очерк по теории вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 2009 г.; 6. Луговая И. Н., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 2001.  7. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложение (Дискретные распределения), пер. с англ., 2 изд., т. 1­2, К., 2003.  8. http://robert­mayer­1921.narod.ru/olderfiles/1/Glavy_1_8.pdf 9. http://veroyat.narod.ru/o_veroyatnosti.html 37