«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»
Оценка 5

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

Оценка 5
docx
математика
11.12.2019
«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»
Мастер-класс.docx

 «Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

Преподавая много лет в старших классах, я увидела, что учащиеся имеют очень большие затруднения в изучении геометрии. На экзаменах по математике задача по геометрии является самым трудным заданием. Окончив 9 классов и изучив планиметрию, ученик должен, казалось бы, уметь решать любую задачу в данном курсе. Однако учащиеся не только не умеют решать задачи, даже боятся за них браться. Я не могла согласиться с таким положением дел. Мне было бы очень обидно терять баллы на этих задачах.Помочь учащимся можно было бы, заинтересовав их изучением геометрии и организовав их деятельность таким образом, чтобы был результат.Необходимо постоянно повторять, контролировать, организовывать взаимопроверку и самопроверку на уроках и во внеурочное время, чтобы вызывать постоянный интерес к решению задач.

Рассмотрим некоторые задачи:

Расстояние между прямыми и плоскостями

1. Задание 14 

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна https://ege.sdamgia.ru/formula/b3/b359282004635c043abe6ea8073c4a7ep.pngа высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.

а) Докажите, что точка T является серединой SM.

б) Найдите расстояние между NT и SC.

Решение.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=29998&png=1

а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC.

https://ege.sdamgia.ru/formula/52/5296f09dcf3bde273daeae057702f429p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/3d/3d291abcbf0ad5d4b3952e7d01b61d8cp.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a98006274ffe6b6aaa7aa19c097216b5p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/19/19773c9f152d69cd0e8d5e1d481e8fffp.png

Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT — его высота. Следовательно, T — середина SM.

б) Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=29999&png=1Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно, https://ege.sdamgia.ru/formula/93/9311bfff9d6f435674e2bb46c0be1c95p.pngоткуда

https://ege.sdamgia.ru/formula/e1/e1015913336f68483c509a1c4a33c54cp.png

 

Ответ: б) https://ege.sdamgia.ru/formula/7c/7c72f11ee6630cba2912d9e74b57f1ecp.png

2. Задание 14 

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

Решение.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=35514&png=1

а) Заметим, что https://ege.sdamgia.ru/formula/25/25c3135763f08557604cc998b2cb7852p.pngкак катеты прямоугольного треугольника, и https://ege.sdamgia.ru/formula/dc/dc6e6b0e0e7e06865a0f9fe6ad095239p.png, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости https://ege.sdamgia.ru/formula/dc/dcf08e397cb4af7b049a87471bb62cd6p.png. Кроме того, https://ege.sdamgia.ru/formula/ad/ade704e7918b85675a3035f439f77562p.pngкак диагонали квадрата.

Имеем: https://ege.sdamgia.ru/formula/c5/c5a908c79513c9ee2e4984fdd11821efp.png− наклонная, https://ege.sdamgia.ru/formula/23/23adb77097362e4f5e12c46b39d5b75ap.png− проекция на плоскость https://ege.sdamgia.ru/formula/83/8303a23d3fd4daa52c060270ad29b6a8p.png, https://ege.sdamgia.ru/formula/f8/f8fa4c82ad26d7fbcf5ec1015b9b9836p.png− прямая в плоскости https://ege.sdamgia.ru/formula/83/8303a23d3fd4daa52c060270ad29b6a8p.png, перпендикулярная проекции. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах https://ege.sdamgia.ru/formula/81/81e886e534820630b3df65aa414d50d2p.pngчто и требовалось доказать.

б) Пусть M − середина AC1. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB1, поскольку прямая A1C перпендикулярна AB1C1. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB1C1, проведённой к гипотенузе:

https://ege.sdamgia.ru/formula/a2/a231a584b8df491b05ce3c4121c4a753p.png

Ответ:б) https://ege.sdamgia.ru/formula/ad/adad874faa6c9c31db782fc413528b8bp.png

 

Сечения многогранников

1. Задание 14 

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

Решение.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=29700&png=1

а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B1C1 в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A1N= 3, так как точка N — середина ребра A1C1. Значит, https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a9bd19e75649d48e2f0ac6d6c4bff2f3p.pngАналогично BK = 5.

Далее NK = 3, как средняя линия треугольника A1B1C1. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.

 

Ответ: 19.

2. Задание 14 

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Решение.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=29701&png=1

а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L — середине AB. В основании ABCD через точку L проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с ребром СD в точке M — его середине. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM и пересекает ребро PD в его середине N.

Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.

б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=29702&png=1KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой трапеции. Тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/c9/c901e0a6b198e2fdc23e88a56a6be587p.pngи из прямоугольного треугольника KLF находим https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d368ed88ac3f7023440b436f8c55e6f6p.png

Окончательно получаем https://ege.sdamgia.ru/formula/03/030cb50117b26da22340760ab6914b95p.png

 

Ответ:https://ege.sdamgia.ru/formula/9e/9e1ab0705cef94938a8dd5a85c99d7a5p.png

 

 

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»

«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
11.12.2019