Решение неравенств второй степени с одной переменной. Метод парабол

(метод парабол)

Найди решениеf(x)>0, запиши ответ

проверка

далее

1

f(x)<0

проверка

далее

2

f(x)>0

Решений нет

проверка

далее

3

f(x)>0

проверка

далее

4

f(x)<0

Решений нет

проверка

далее

5

f(x)<0

проверка

далее

проверить тест

6

Квадратичные неравенства

Неравенство вида
ах²+bх+с<0 (ах²+bх+с≤0, ах²+bх+с>0, ах²+bх+с≥0), где а, b, с-любые числа, а≠0, называется квадратичным.

Например: а) 2х²≥0
б) -4х²+8<0
в) 2х-х²≤0
г) 14х+5>3х²

5x²+9x-2 < 0

Рассмотрим функцию y=5x²+9x-2
Графиком является парабола, ветви вверх (а=5, а>0).

Нули функции:
5x²+9x-2=0

X1=-2; X2=0,2

X

-2

0,2

Ответ: (-2;0,2)

<

Чтобы решить квадратичное неравенство методом парабол, надо:
Рассмотреть функцию у = ах²+bх +с, определить направление ветвей;
Найти нули функции, решив квадратное уравнение ах²+bх+с=0;
Схематически построить параболу, учитывая направление ветвей и точки пересечения с осью х;
Учитывая знак неравенства, выбрать нужные промежутки и записать ответ.

3x²-11x-4 > 0

Рассмотрим функцию y=3x²-11x-4
Графиком является парабола, ветви вверх (а=3, а>0).

Нули функции:
3x²-11x-4=0

X1=-1/3; X2=4

X

-1/3

4

Ответ: (-∞; -1/3)U(4; +∞)

<

-1/4x²+2x-4<0

Рассмотрим функцию y=-1/4x²+2x-4
Графиком является парабола, ветви вниз (а=-1/4, а<0).

Нули функции:
-1/4x²+2x-4=0

X1,2=4

X

4

Ответ: (-∞; 4)U(4; +∞)

<

x²-3x+4 > 0

Рассмотрим функцию y=x²-3x+4
Графиком является парабола, ветви вверх (а=1, а>0).

Нули функции:
x²-3x+4=0

D<0; действительных корней нет

X

Ответ: (-∞; +∞)

<

График функции с осью ox
не пересекается

Решение неравенства ах²+bх+с>0, используя график квадратичной функции

X

x1

x2

X

x1=x2

x –любое число,
кроме x1

x –любое число

X

x1

x2

X

X

x1=x2

Решений нет

X

Решений нет

Домашнее задание:

1) Для выполнения задания рассмотреть теорию в п.14 №304;
2) решить уравнение №397(б)