Решение нестандартных неравенств в школьном курсе математике

Решение нестандартных неравенств в школьном курсе математике

Постановка проблемы. Данная статья посвящена исследованию  вопросов, возникающих в процессе решения нестандартных неравенств в школьном курсе математике. Такого рода неравенства представляют большой интерес для их как изучения, так и использования в курсе школьной математики. Наибольшие сложности при этом возникают в процессе  решения показательно-степенных неравенств и уравнений, если основание степени есть отрицательным. Таким образом, требуется  уделять больше времени решению таких неравенств, поскольку это поможет ученикам в  успешной сдаче ЕГЭ совместно со вступительными экзаменами в ВУЗы.

Цель статьи: изучение особенностей и проблем решения нестандартных неравенств в школьном курсе математике.

Основное изложение материала.

Математические уравнения решать умели очень давно. Так, еще в «Арифметике» греческого математика Диофанта (III век) не было еще систематического изложения алгебры, но в ней было много задач, которые решались посредством составления уравнений. В XVI веке Франсуа Виет, французский математик,  который служил в качестве шифровальщика при дворе французского короля, ввел впервые буквенные обозначения для неизвестных величин, совместно с данными, то есть, для коэффициентов уравнений. С целью обозначить нерасшифрованные буквы в донесениях противника, он использовал такие редко употребляемые  буквы латинского алфавита, как х, у, z, что, собственно, и стало началом традиции обозначать неизвестные в уравнениях буквами х, у, z. [3, с.219]

Как  известно, в математической науке, ценится выше всего не просто верно сделанное решение, но наиболее короткое из всех возможных, то есть, максимально рациональное.

Для того, чтобы найти такое решение, необходимо помнить, что не все  неравенства в результате преобразований или при помощи удачной замены переменных могут быть сведены к неравенству стандартного типа, для которого имеется определенный алгоритм решения. Иногда полезным оказывается использование других, нестандартных, методов решения. [1, с.54]

В последнее время немалые споры вызывает решение показательно-степенных уравнений. Некоторые математики полагают, что если х входит в показатель и основание степени, тогда основание должно обязательно быть больше нуля и не равняться единице.

Конечно же, данные моменты должны учитываться в процессе нахождения ОДЗ. Но прежде нужно вспомнить определение области и корня допустимых значений уравнения.

Так, число а называют корнем уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо х получится верное числовое равенство.

Область допустимых значений уравнения – это множество значений х, при которых левая и правая части уравнения имеют смысл. Исходя из этого есть смысл при решении показательно-степенных уравнений рассмотреть основания степени с «особыми» свойствами, к примеру, 1, -1, 0. [2, с.81]

Если значениями х, при которых основание равняется одному из чисел 1, -1, 0 уравнение обращается в верное числовое равенство, тогда данные значения являются также корнями уравнения.

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, часто используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.

Выводы. Резюмируя вышесказанное, хотелось бы подчеркнуть, что нестандартные неравенства, в частности,  показательно-степенные,  представляют значительный интерес для изучения в школе.  Овладение методикой решения нестандартных неравенств очень полезно, поскольку повышает не только умственные, но и творческие способности учеников. При решении такого рода заданий учащиеся приобретают базовые навыки исследовательской работы, кроме того, обогащается математическая культура учащихся, развиваются их способности мыслить логически.

Библиографический список

1.     Садовничий Ю.В.. Математика. Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений. – М.: Экзамен, 2016. – 128 с.

2.     Фонарев А.А.. Проекционные итерационные методы решения уравнений и вариационных неравенств с нелинейными операторами теории монотонных операторов. – М.: Инфра-М, 2016. – 202 с.

3.     Хорошилова Е.В.. Элементарная математика. Часть 1. Теория чисел. Алгебра. – М.: Издательство МГУ, 2010. – 472 с.

4.