Решение тригонометрических уравнений

Этот метод удобно применять, если уравнение имеет несколько корней, объединить которые в один корень невозможно.
Когда корни тригонометрического уравнения, содержат обратные тригонометрические функции.

Движение начинается от нуля, если корень положительный, то против часовой стрелки, если отрицательный, то по часовой стрелке.
Нужно знать, что числовая окружность по положительному направлению 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 ; 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 ; 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 и т.д., а по отрицательному направлению − 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 ;− 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 ;− 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 и т.д.
Если дают числовой промежуток 5𝜋 2 ; 11𝜋 2 5𝜋 2 5𝜋𝜋 5𝜋 2 2 5𝜋 2 ; 11𝜋 2 11𝜋𝜋 11𝜋 2 2 11𝜋 2 5𝜋 2 ; 11𝜋 2 , его надо осознавать в другом виде 2𝜋+ 𝜋 2 ; 4𝜋+ 3𝜋 2 2𝜋𝜋+ 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 ; 4𝜋𝜋+ 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 2𝜋+ 𝜋 2 ; 4𝜋+ 3𝜋 2 или, если предлагают промежуток − 7𝜋 2 ; −3𝜋 − 7𝜋 2 7𝜋𝜋 7𝜋 2 2 7𝜋 2 ; −3𝜋 −3𝜋𝜋 −3𝜋 − 7𝜋 2 ; −3𝜋 , значит надо осознавать в виде −(2𝜋+ 3𝜋 2 ); −(2𝜋+𝜋) −(2𝜋𝜋+ 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 ); −(2𝜋+𝜋) −(2𝜋𝜋+𝜋𝜋) −(2𝜋+𝜋) −(2𝜋+ 3𝜋 2 ); −(2𝜋+𝜋)

Уметь, через точку первой четверти вычислять симметричные точки в остальных четвертях.

Изобразить все корни тригонометрического уравнения на единичной окружности.
Отметить концы промежутка и показать сам промежуток (если промежуток больше 1 круга, показать его в виде спирали).
Рассчитать, какие конкретные точки могут подходить для изображенного промежутка.

Задание 1

Начертить единичную окружность и отметить промежуток − 5𝜋 3 ;− 𝜋 3 − 5𝜋 3 5𝜋𝜋 5𝜋 3 3 5𝜋 3 ;− 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 − 5𝜋 3 ;− 𝜋 3 . Отметить точки − 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 , − 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 , указать, входят ли они в этот промежуток или нет.

− 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 ∉ − 5𝜋 3 ;− 𝜋 3 − 5𝜋 3 5𝜋𝜋 5𝜋 3 3 5𝜋 3 ;− 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 − 5𝜋 3 ;− 𝜋 3

Задание 2

Начертить единичную окружность и отметить промежуток [ 7𝜋 6 7𝜋𝜋 7𝜋 6 6 7𝜋 6 ; 7𝜋 4 7𝜋𝜋 7𝜋 4 4 7𝜋 4 ]. Отметить точки 2𝜋𝜋, 4𝜋 3 4𝜋𝜋 4𝜋 3 3 4𝜋 3 , указать, входят ли они в этот промежуток или нет.

2𝜋𝜋 ∉ [ 7𝜋 6 7𝜋𝜋 7𝜋 6 6 7𝜋 6 ; 7𝜋 4 7𝜋𝜋 7𝜋 4 4 7𝜋 4 ]

Задание 3

Начертить единичную окружность и отметить промежуток −2𝜋; 𝜋 4 −2𝜋𝜋; 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 −2𝜋; 𝜋 4 . Отметить точки −3𝜋𝜋, 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 , указать, входят ли они в этот промежуток или нет.

−3𝜋𝜋 ∉ −2𝜋; 𝜋 4 −2𝜋𝜋; 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 −2𝜋; 𝜋 4

Задание 4

а) Решите уравнение
2 cos 2 x cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 x x cos 2 x =− 3 3 3 3 sin x− 15 2 sin sin x− 15 2 x− 15 2 x− 15 2 15 15 2 2 15 2 x− 15 2 sin x− 15 2
б) Укажите корни, принадлежащие промежутку − 11 2 ; − 11 2 11 11 2 2 11 2 ; − 11 2 ; − 7 2 − 7 2 7 7 2 2 7 2 − 7 2

Задание 4

а) Решите уравнение
2 cos 2 x cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 x x cos 2 x =− 3 3 3 3 sin x− 15 2 sin sin x− 15 2 x− 15 2 x− 15 2 15 15 2 2 15 2 x− 15 2 sin x− 15 2
б) Укажите корни, принадлежащие промежутку − 11 2 ; − 11 2 11 11 2 2 11 2 ; − 11 2 ; − 7 2 − 7 2 7 7 2 2 7 2 − 7 2

Ответ: а) π 2 π π 2 2 π 2 +πn, n∈Z; ± 5π 6 5π 5π 6 6 5π 6 +2πk, k∈Z
б) − 9π 2 9π 9π 2 2 9π 2 ;− 29π 6 29π 29π 6 6 29π 6 ;− 31π 6 31π 31π 6 6 31π 6 ;− 11π 2 11π 11π 2 2 11π 2

Задание 5

а) Решите уравнение
cos 4x cos cos 4x 4x cos 4x − cos 2x cos cos 2x 2x cos 2x =0
б) Укажите корни, принадлежащие промежутку 3π 2 ;3π 3π 2 3π 3π 2 2 3π 2 ;3π 3π 2 ;3π

Задание 5

а) Решите уравнение
cos 4x cos cos 4x 4x cos 4x − cos 2x cos cos 2x 2x cos 2x =0
б) Укажите корни, принадлежащие промежутку 3π 2 ;3π 3π 2 3π 3π 2 2 3π 2 ;3π 3π 2 ;3π


Ответ: а) πk 3 πk πk 3 3 πk 3 ,k∈Z; πn, n∈Z
б) 5π 3 5π 5π 3 3 5π 3 ;2π; 7π 3 7π 7π 3 3 7π 3 ; 8π 3 8π 8π 3 3 8π 3 ;