Решение уравнений

 

 

Тема урока: «Решение уравнений»

Тип урока: повторительно-обобщающий, применение теоретических знаний.

Цели урока:

· Образовательные: обобщить и повторить ранее изученный материал по темам:

1. Опорный конспект.

2. Квадратные уравнения и способы их решения.

3. Решение уравнений высших степеней.

· Развивающие:

1. Развивать логическое мышление, интерес и инициативу учащихся.

2. Повышать математическую культуру учащихся.

3. Углубленное изучение математики.

· Воспитательные:

1.Формировать у учащихся настойчивость в преодолении трудностей, активность, самостоятельность в выборе способа решения.

 

Оборудование урока: творческие работы учащихся, выставка математической литературы в помощь восьмикласснику, портреты математиков: Пифагора, Кардано, Тарталья и др., раздаточный материал с уравнениями, задачи повышенной трудности по алгебре из учебного пособия Б.М.Ивлева, конспекты.

 

Только с алгеброй начинается

строгое математическое учение.

 Н.И.Лобачевский

                                          

Ход урока.

I. Организационный момент:

1. Приветствие.

2. Готовность учащихся к уроку.

3. Состояние рабочего места учащихся.

4. Отсутствующие на уроке (сообщают дежурные).

 

II. Сообщение целей и темы урока.

Учитель объявляет тему урока.

Сегодня на уроке мы повторим и обобщим ранее изученный материал по темам:

1. Определение уравнения.

2. Виды квадратных уравнений и способы их решений.

3. Решение уравнений высших степеней.

 

III. Проверка домашнего задания.

Все учащиеся выполнили домашнюю работу, о выполнении которой доложили ассистенты.

Дома учащиеся учили опорный конспект:”Уравнения” .

 

IV. Устная работа.

Учитель предлагает одному из учащихся устно изложить опорный конспект (плакат на доске) 2 минуты.

 

Опорный конспект по алгебре (8 класс).

 

Уравнения, левые и правые части…

1. а)  ;

       

    б)  ;

 

    в) 2(х²+1)(х-1)=6х-(х+7).

 

2. Если Р(х)=0, где Р(х)..., то степень...

3.   1) ах+в=0, где...;  х=

 

     2)  ax² + bx + c = 0, где …;

 

          - формула корней квадратного уравнения.

 

            а) если а+в+с=0, то...

                х₁=1, а х₂=...

           

           б) если а-в+с=0, то...

                х₁=..., а х₂=...

 

       3) ах³+вх²+сх+d=0  - уравнение...

             а)  х³+pх+g=0, для этого уравнения...

          4) ах⁴-вх²+с=0 , где a ≠ 0 , называется..., которое решается путем...

 

4.  Для уравнений пятой и более высоких степеней...

 

Учитель. Цель устной работы: закрепить теоретический материал, который необходим для следующей работы на уроке.

 

1. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.

 

2. Какие уравнения не отображены в конспекте?

Ответ: Иррациональные уравнения.

 

3. Какое уравнение называется иррациональным?

Ответ: Уравнение, в котором под знаком квадратного корня содержится переменная, называется иррациональным.

 

4. Каким методом решают иррациональное уравнение?

Ответ: Иррациональное уравнение решают методом возведения обеих частей в квадрат: решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.

 

Учитель приводит высказывание Чосера, английского поэта, средние века.

Посредством уравнений, теорем

Я уйму всяких разрешил проблем.

 

V. Самостоятельная работа под контролем учителя.

Двое учащихся работают у доски.

Остальные учащиеся решают в тетрадях по вариантам.

 

Вариант 1	Вариант 2
Решение.	Решение.
х2-8х+16=21-4х	5х-16=х2-4х+4
х1=5, х2=1	х1=5, х2=4
Проверкой установлено, что 1 - посторонний корень.	Подставив 5 и 4 в исходное уравнение, получаем верное числовое равенство.
Ответ: 5.	Ответ: 4; 5.

 

Работа проверяется коллективно.

      Дополнительные вопросы:

1. Какое уравнение называется квадратным?

Ответ: Уравнение вида ax²+bx+c=0,где а,b,c–любые действительные числа, причем a ≠ 0 .

 

2. Какое квадратное уравнение называется приведенным?

Ответ: Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1.

 

3. Какие бывают квадратные уравнения?

Ответ: Полные и неполные квадратные уравнения.

 

VI. Комментирование решений неполных квадратных уравнений.

Коллективная работа под контролем учителя.

Решить неполное квадратное уравнение:

 

а) 2х²-9х=0;   х(2х-9)=0;   х=0 или х=4,5.

    Ответ: 0; 4,5.

 

б) х²-25=0;   х²=25;   х=5 или х=-5.

    Ответ: -5; 5.

 

в) 5х²+20=0;   5х²=-20;   х²=-4.

 

    Так как,  при любых значениях х, то уравнение  5х²+20=0 не имеет корней.

    Ответ: нет корней.

 

г)  7х²=0;  х²=0;  х=0 — единственный корень уравнения.

 

Учащиеся делают вывод: неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

 

Дополнительный вопрос:

 

1. Что можно сказать о корнях полного квадратного уравнения?

Ответ: Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 может иметь два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

 

2. Обоснуйте ответ.

Графиком функции ax² + bx + c = 0 является парабола, которая может пересекать ось x в двух точках, может иметь одну общую точку с осью, может не пересекать ось х.

 

Дополнение к ответу учащимися.

Можно определить число корней с помощью дискриминанта.

1) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

2) Если D=0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле:

3) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня:

,

 

VII. После устной работы провести математический диктант на два варианта: двое учащихся работают у доски.

Диктант проверяется учащимися по вариантам.                                                                         

 

Определите число корней квадратного уравнения.
Вариант 1	Вариант 2
1) х2-5х+6=0;	1) 2х2+3х+1=0;
2) х2+3х+24=0;	2) х2+4х+4=0;
3) х2+6х+9=0;	3) 14х2+5х+1=0;
4) х2+7х+2=0;	4) х2-5х+3=0;
5) 5х2-х+1=0.	5) 3х2-3х+4=0.

 

Учитель. Ребята, а сейчас вам необходимо применить свои знания при решении уравнения с параметром.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение ax² - аx + 1 = 0 имеет корни.

Решение.

1)    Если а=0, то 1=0 — неверно, корней нет.

2)    Если уравнение имеет корни, то .

 

         D=а²-4а;   ,   , a ≠ 0.

 

 

 

 

Ответ:.

 

Работа проверяется коллективно.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что в роли коэффициентов выступают на конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с параметрами.

Решение квадратных уравнений графическим способом рассмотреть на следующем уроке.

 

VIII. Устная работа проводится с целью закрепления способов решения уравнений высших степеней.

 

Один из учащихся выступает с кратким сообщением о кубических уравнениях.

1) В середине 16 века стало известно, что итальянские математики нашли способ решения кубических уравнений, что произвело огромное впечатление, а ученых того времени. Первым способ решения кубических уравнений нашел Ферро – профессор из Болоньи.

Венецианский математик Никколо Тарталья в 1535 году самостоятельно вывел формулу корней кубического уравнения, но он не опубликовал свое открытие. Формула корней кубического уравнения вида   x³ + px + q=0 была опубликована математиком Кардано. Эта  формула сложная и ее редко применяют при решении кубических уравнений.

 

2) Какие уравнения называют уравнениями высших степеней?

Ответ: Уравнение вида P(x)=0, где P(x) – многочлен, степень которого выше второй.

 

3) Какие полезные утверждения надо знать, чтобы решать уравнения?

Ответ:

1. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые.
2. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма его коэффициентов равна нулю.

3. Для того, чтобы число (-1) являлось корнем многочлена, необходимо и достаточно, чтобы сумма его коэффициентов, стоящих на четных местах, равнялась сумме коэффициентов, на нечетных местах.
4. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
5. Если свободный член уравнения равен 1 или -1, то значение x=0 не является корнем уравнения.

 

IX. Самостоятельная  работа учащихся под контролем учителя.

Двое учащихся работают у доски, а остальные учащиеся работают в тетрадях по вариантам.                                             

                                                           

 

  

Решение уравнения.
Вариант 1	Вариант 2
2х5+х4-10х3-5х2+8х+4=0	2х3-11х2+17х-6=0
Решение.	Решение.
1. Число 1 является корнем      уравнения, так как сумма его коэффициентов равна нулю.	х=2; это число является делителем 2 и (-6). Многочлен Р(х) делится без остатка на (х-2).
2+1-10-5+8+4=0	2х3-11х2+17х-6          х-2
2. Число (-1) является корнем	2х3-  4х2
уравнения.	-  7х2+17х
1-5+4=2-10+8	-  7х2+14х
0=0	3х-6
3. Разложим левую часть	3х-6
уравнения на множители:	0
х4(2х+1)-5х2(2х+1)+4(2х+1)=0	Уравнение принимает вид
(2х+1)(х4-5х2+4)=0	(х-2)(2х2-7х+3)=0
Корни: х1= ; х2=1; х3=-1; х4=2; х5=-2	2х2-7х+3=0
Ответ: -1;  ;1; -2: 2.
	Ответ: ; 2; 3.

 

Работа проверяется коллективно.

 

X. Учитель. Уравнения высших степеней можно решать и другими способами, которые будем применять на следующих уроках.

 

XI. Обобщение и систематизация учащихся результатов работы.

 

Учитель. Какие знания вы применяли на уроке?

Учащиеся. Мы повторили:

         · Определения рациональных, квадратных уравнений;

         · Определение уравнения высших степеней;

         · Способы решений этих уравнений.

 

XII. Подведение итогов урока.

Учитель. В ходе урока мы сумели рассмотреть ряд уравнений и способы их решений.

Учитель благодарит учащихся за хорошую работу на уроке.

 

XIII.    Учащиеся записывают задание на дом: 35.03(а, б), стр.180.

 

XIV. Литература:

1) А.Г.Мордкович, Н.П.Николаев. “Алгебра” 8 класс.

    Учебник для учащихся образовательных учреждений, 2008г.

2) Л.И. Звавич , А.Р.Рязановский, Задачник. “Алгебра” 8 класс, 2008г.