Решение задач на проценты 11 класс

1

2

Рассмотрим способы решения задач на проценты, требующих сравнения чисел в процентах. Это не простые задачи, они ставят в тупик и взрослых. Вот вам реальный случай.
В Комсомольской правде (14.02.2019) обозреватель отдела экономики написал о монете, полученной из обращения за 1 р.: «А недавно глянул в каталог и обмер: стоит она уже 600 рублей…

3

Называется «Юбилейный рубль «Пушкин» 1999 года выпуска. Как тут не воскликнуть: «Ай да Пушкин!» — 600 % прибыли за 20 лет!»
Давайте поправим обозревателя отдела экономики.
В 1999 году юбилейная монета стоила 1 р. В 2019 году она стоила 600 р. На сколько процентов подорожала монета?

4

Решение. I способ, Увеличение стоимости монеты в рублях составило 600 – 1 = 599 (р.). Мы сравниваем в процентах прибыль 599 р. с первоначальной стоимостью монеты 1 р., принимаемой за 100 %. Так как 599 р. в 599 раз больше, чем 1 р., то монета подорожала на 59900 %.
II способ, Число а больше, чем число b на 𝑎 − 𝑏 ∙100 % 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎 − 𝑏 ∙100 % 𝑎 − 𝑏 ∙100 % 𝑏 𝑏𝑏 𝑎 − 𝑏 ∙100 % 𝑏 . Вычисляя по этой формуле, получим те же 59900 %. Ответ. На 59900 %.

5

Приведём теперь решения задач из ЕГЭ, указывая год выпуска сборника вариантов для подготовки к ЕГЭ, из которого взята задача.
Заметим, что при решении задач на проценты лучше обходиться без пропорций, в чём можно убедиться, решив рассмотренные ниже задачи с помощью пропорций.
Начнём с задачи на «сухое вещество».

6

1. Виноград содержит 90 % влаги, изюм — 5 %. Сколько килограммов винограда требуется для получения 98 кг изюма?
Решение. I способ.
1) 100 − 5 = 95 (%) — «сухого вещества» в изюме;
2) 98 ∙ 0,95 = 93,1 (кг) — «сухого вещества» в 98 кг изюма;
3) 100 − 90 = 10 (%) — «сухого вещества» в винограде;
4) 93,1 : 0,1 = 931 (кг) — масса винограда.

7

1. Виноград содержит 90 % влаги, изюм — 5 %. Сколько килограммов винограда требуется для получения 98 кг изюма?
Решение. II способ. Пусть надо взять x кг винограда, он содержит 100 − 90 = 10 (%) «сухого вещества», т. е. 0,1x кг. Изюм содержит 100 − 5 = 95 (%) «сухого вещества», т. е. 0,95∙ 98 = 93,1 (кг). Составим уравнение:
0,1x = 93,1.
Его единственный корень 931. Надо взять 931 кг винограда.
Ответ. 931 кг.

8

2. Число увеличили на 10 %, полученное число ещё раз увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилось первоначальное число за два раза?
Решение. Пусть a — первоначальное число, тогда 𝑎𝑎+ 10 100 10 10 100 100 10 100 ∙𝑎𝑎= 1+ 10 100 1+ 10 100 10 10 100 100 10 100 1+ 10 100 ∙𝑎𝑎 = 1,1a — второе число,
1,1𝑎𝑎+ 10 100 10 10 100 100 10 100 ∙1,1𝑎𝑎= 1+ 10 100 1+ 10 100 10 10 100 100 10 100 1+ 10 100 ∙1,1𝑎𝑎 = 1,1 2 1,1 1,1 2 2 1,1 2 a = 1,21a = a + 0,21a. Третье число, оно на 21 % больше, чем a.
Ответ. На 21 %.

9

Здесь и далее неизвестное число, от которого находят проценты, будем обозначать буквой.
Обобщим полученный результат: чтобы увеличить число на p %, можно это число умножить на 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1+ 𝑝 100 .
Аналогично показывается, что для уменьшения числа на p %, можно это число умножить на 1− 𝑝 100 1− 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1− 𝑝 100 .

10

3. Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1 %. На сколько процентов четырнадцать таких же рубашек дороже куртки?
Решение. Пусть r — цена рубашки, k — цена куртки (в руб.). Тогда верны равенства:
11r = k – 0,01k, 11r = 0,99k, r = 0,09k, 14r = 1,26k.
Последнее равенство означает, что 14 рубашек стоят k + 0,26k, т. е. дороже куртки на 26 %.
Ответ. На 26 %.

11

4. Восемь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2 %. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?
Решение. Используя те же обозначения, получим верные равенства:
8r = 0,98k, 4r = 0,49k, 12r = 1,47k.
Значит, двенадцать рубашек дороже куртки на 47 %.
Ответ. На 47 %.

12

5. Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни — столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов 1 кг клубники дешевле 1 кг черешни?
Решение. Выпишем в строчку одинаковые по стоимости массы ягод (см. табл.).

13

5. Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни — столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов 1 кг клубники дешевле 1 кг черешни?
Решение. Выпишем в строчку одинаковые по стоимости массы ягод (см. табл.). 1 кг клубники стоит столько же, сколько стоит 0,9 кг черешни, то есть на 10 % дешевле, чем 1 кг черешни.
Ответ. На 10 %.

14

6. Брюки дороже рубашки на 30 % и дешевле пиджака на 22 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
Решение. Пусть брюки стоят b, рубашка r, пиджак p (в рублях). По условиям задачи составим равенства:
b = r + 0,3r = p – 0,22p,
откуда следует, что r = 0,6p = p – 0,4p.
Значит, рубашка дешевле пиджака на 40 %.
Ответ. На 40 %.

15

7. Зарплату сотрудника увеличили на несколько процентов. Через некоторое время эту новую зарплату увеличили на столько же процентов, как и в первый раз. На сколько процентов увеличили зарплату в первый раз, если за два раза она увеличилась на 44 %?
Решение. Пусть a — первоначальная зарплата и её увеличили в первый раз на p %, тогда после первого повышения зарплата стала равной 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1+ 𝑝 100 ⋅𝑎𝑎.

16

7. Зарплату сотрудника увеличили на несколько процентов. Через некоторое время эту новую зарплату увеличили на столько же процентов, как и в первый раз. На сколько процентов увеличили зарплату в первый раз, если за два раза она увеличилась на 44 %?
…Эту зарплату увеличили на p %, поэтому третья зарплата была равна 1+ 𝑝 100 2 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 2 2 1+ 𝑝 100 2 ⋅𝑎𝑎, она по условию задачи равна 1,44a.

17

…Тогда верно равенство:
1+ 𝑝 100 2 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 2 2 1+ 𝑝 100 2 ⋅𝑎𝑎 = 1,44a.
Перепишем его в виде:
1+ 𝑝 100 2 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 2 2 1+ 𝑝 100 2 = 1,44.
Так как 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 >0, то 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 =1,2, откуда p = 20.
Значит, в первый раз зарплату увеличили на 20 %.
Ответ. На 20 %.

18

8. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9 % дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
Решение. Пусть a — цена каждой акции при открытии торгов в четверг. Пусть после торгов в четверг цена акции увеличилась на p %, акция стала стоить 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1+ 𝑝 100 ⋅𝑎𝑎.

19

8. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9 % дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
…После торгов в пятницу цена акции уменьшилась на p %, акция стала стоить 1+ 𝑝 100 1+ 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1+ 𝑝 100 ⋅ 1− 𝑝 100 1− 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 1− 𝑝 100 ⋅𝑎𝑎= 1− 𝑝 100 2 1− 𝑝 100 2 𝑝 100 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 𝑝 100 𝑝 100 2 2 𝑝 100 2 1− 𝑝 100 2 ⋅𝑎𝑎.
В результате она стала стоить на 9 % дешевле, чем при открытии торгов в четверг, т. е. 0,91a.

20

Тогда верно равенство:
1− 𝑝 100 2 1− 𝑝 100 2 𝑝 100 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 𝑝 100 𝑝 100 2 2 𝑝 100 2 1− 𝑝 100 2 ⋅𝑎𝑎 = 0,91a.
Перепишем его в виде:
1− 𝑝 100 2 𝑝 100 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 𝑝 100 𝑝 100 2 2 𝑝 100 2 = 0,91.
Так как 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 >0, то 𝑝 100 𝑝𝑝 𝑝 100 100 𝑝 100 =0,3, откуда p = 30.
Значит, в четверг акции компании подорожали на 30 %.
Ответ. На 30 %.

21

9. (2018) Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась в 2 раза, то общий доход семьи вырос бы на 65 %. Если бы стипендия дочери уменьшилась в 2 раза, то общий доход семьи сократился бы на 1 %. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение. Обозначим доходы в рублях мужа, жены и дочери m, g и d соответственно. По условиям задачи составим два равенства:
m = 0,65(m + g + d), (1)
0,5d = 0,01(m + g + d). (2)

22

Обе части равенства (2) не нули. Разделив равенство (1) на равенство (2), получим: m : 0,5d = 65, откуда получим m = 32,5d. Умножив равенство (2) на 2 и подставив в полученное равенство 32,5d вместо m, получим равенство:
d = 0,02(32,5d + g + d). (3)
Выразив g через d из равенства (3), получим: g = 16,5d. Тогда доход семьи равен m + g + d = 50d, а зарплата жены от общего дохода составляет 𝑔 ∙100 % 𝑚+𝑔+𝑑 𝑔𝑔 ∙100 % 𝑔 ∙100 % 𝑚+𝑔+𝑑 𝑚𝑚+𝑔𝑔+𝑑𝑑 𝑔 ∙100 % 𝑚+𝑔+𝑑 = 16,5𝑑 ∙100 % 50𝑑 16,5𝑑𝑑 ∙100 % 16,5𝑑 ∙100 % 50𝑑 50𝑑𝑑 16,5𝑑 ∙100 % 50𝑑 = 33 %.
Ответ. 33 %.

23

10. (2019) Десять одинаковых рубашек дешевле куртки на 4 %. На сколько процентов пятнадцать таких же рубашек дороже куртки?
11. (2019) Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 7 %. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?
12. Брюки дороже рубашки на 20 % и дешевле пиджака на 46 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

24

13. В понедельник цена акции увеличилась на 20 %, во вторник она увеличилась ещё на 30 %. На сколько процентов за эти два дня увеличилась цена акции?
14. (2017) В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 49 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
 

25

15. Брюки дороже рубашки на 25 % и дешевле пиджака на 20 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
16. В магазине костюм, состоящий из пиджака и брюк, стоит на 20 % дороже, чем такой же костюм на рынке, причем брюки стоят на 30 % дороже, чем на рынке, а пиджак — на 15 %. Во сколько раз на рынке брюки от этого костюма дешевле пиджака?
Ответы. 10. На 44 %. 11. На 24 %. 12. На 55 %. 13. На 56 %. 14. На 70 %. 15. На 36 %. 16. В 2 раза.
На экзамене в ответе пишем только число: 10. 44. 11. 24…