Решение задач по теории вероятностей

Справочный материал

Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.

Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

(объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В

(пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

р – вероятность успеха, q=1-p вероятность неудачи в одном испытании

Схема решения задач:
Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны.
Найти общее число элементарных событий (N)
Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число N(A).
Найти вероятность события А по формуле

Задача 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя.

Число элементарных событий: N=4

Событие А = {жребий выиграл Петя}, N(A)=1

Число элементарных событий: N=1400

Число исходов, благоприятствующих событию А: N(A)=1400-14=1386

Благоприятное событие А: выбранный насос
не подтекает.

Число элементарных событий: N=190+8=198

Число исходов, благоприятствующих событию А: N(A)=190

Благоприятное событие А: купленная сумка
оказалась качественной.

Дежурные по классу Алексей, Иван, Татьяна и Ольга бросают жребий - кому стирать с доски. Найдите вероятность того, что стирать с доски достанется одной из девочек.

Бабушка решила дать внуку Илюше на дорогу какой-нибудь случайно выбранный фрукт. У неё было 3 зелёных яблока, 3 зелёных груши и 2 жёлтых банана. Найдите вероятность того, что Илюша получит от бабушки фрукт зелёного цвета?

Всего граней:

Элементарные события:

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее, чем 4.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число.

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу.

Возможные исходы события:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй -РЕШКА)

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза.

Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ.

Множество элементарных исходов:

A= {сумма равна 8}

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6.

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков.

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А={сумма очков равна 5}

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3?

Игральную кость (кубик) бросают дважды. Найдите вероятность того, что один раз выпало число, большее 3, а другой раз - меньшее 3?

Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна?

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков.

Множество элементарных исходов:

A= {орел выпал ровно 2 }

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы?

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты первого и последнего броска различны.

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Всего спортсменов: N= 4 + 7 + 9 + 5 = 25

A= {последний из Швеции}

A= {аккумулятор исправен}

2 способ: использование формулы сложения вероятностей несовместных событий

R={первая из России}
A={первая из США}
C={Первая из Китая}

Множество элементарных событий: N=16

A={команда России во второй группе}

С номером «2» четыре карточки: N(A)=4

В группе туристов 24 человека. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдет в магазин?

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 7 спортсменов из России, 6 из Китая, 3 из Кореи, 4 из Японии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России.

В соревнованиях по кёрлингу выступает 20 команд из 5 стран: Швеции, Норвегии, Финляндии, Канады и Дании, причем каждая страна выставила по 4 команды. Порядок выступления команд определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что семнадцатой по счету будет выступать одна из команд из Швеции, Норвегии или Дании.

В соревнованиях по плаванию участвуют 4спортсмена из Германии, 6 спортсменов из Италии, 7 спортсменов из России и 5 из Китая. Порядок выступления команд определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что спортсмен из Италии Джованни Лучио будет выступать первым, вторым или третьим.

В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек, из них 15 – красных, 22 – зелёных, 27 – фиолетовых, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащила синюю или зелёную ручку.

В соревнованиях по шахматам, где каждый играет с каждым, участвует 7 спортсменов из Франции, 6 спортсменов из России, 3 из Японии. Найдите вероятность того, что в первом туре французский спортсмен Жак де Шерак сыгарет с другим спортсменом из Франции.

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

A={ручка пишет хорошо}

Противоположное событие:

А={вопрос на тему «Вписанная окружность»}
B={вопрос на тему «Параллелограмм»}

С={вопрос по одной из этих тем}

Р(С)=Р(А) + Р(В)

Р(С)=0,2 + 0,15=0,35

А={кофе закончится в первом автомате}
B={кофе закончится во втором автомате}

Р(А)=Р(В)=0,3

По формуле сложения вероятностей:

Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате: 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48 (0,12 вычитаются, так как эта вероятность учитывалась дважды при сложении 0,3 и 0,3)
Вероятность того ,что кофе останется в обоих автоматах:
1 – 0,48 = 0,52.

Вероятность попадания = 0,8

Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2

А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся}

Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2

Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02

Задача 16. (Вариант 30). Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза и один раз промахнется.

Вероятность попадания = 0,8

Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2

(Здесь не указано конкретно в какой раз промахнется)
А = {попал 1-й раз}, В = {попал 2-й раз}, С = {попал 3-й раз), D = {попал 4-й раз}, Е = {попал 5-й раз}. F = {попал 4 раза и 1 раз промахнулся}.

Задача 17. (Вариант 20) В показательных выступлениях по фигурному катанию участвуют 4 девушки и 4 юноши. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первые две выступают девушки.

Пусть событие А обозначает, что первой будет выступать девушка.
Р(А)= 4/8 = 1/2

Событие В обозначает. Что вторая будет выступать девушка

Р(В) = 3/7

Тогда вероятность того, что первые две выступают девушки, равна
Р= Р(А)∙Р(В) = 1/2∙3/7=3/14

Задача 18. (Вариант 25) Вероятность того, что швейная машинка сломается в первый месяц использования, – 1/18, вероятность того, что сломается во второй месяц использования, - в 2 раза больше. Вере подарили машинку на Новый год. Найдите вероятность того, что к началу марта Вера еще сможет пользоваться этой машинкой.

Переформулируем вопрос задачи. Найти вероятность того, что машинка не сломается ни в январе, ни в феврале.

Вероятность того, что не сломается в январе 17/18.

Вероятность того, что сломается в феврале 1/9, значит

вероятность того, что не сломается в феврале 8/9.

По правилу умножения вероятностей:
17/18 ∙ 8/9 = 68/81

По формуле умножения вероятностей:

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в каком-либо автомате закончится кофе, равна 0,3. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.