Решение задачи по геометрии на доказательство

«Решение задачи по геометрии на доказательство»

Выполнила: Сазонова Светлана
Преподаватель: Савинцева Н.В.

Формулировка задачи

Поиск путей доказательства

Выявление фигур и их взаимодействий

Схема
рисунка

Рисунок и запись «дано»

Повторение нужного материала

Дополнительное построение

Воспроизведение доказательства по готовому чертежу

План доказ-ва

Доказательство другим способом

Обратное доказательство

План

Поиск идей: как начать?

А как это было?

Формулировка задачи Задача №823. Раздел «Задачи повышенной сложности» к главе V (Четырехугольники)8 класс, стр.216Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.] – 2—е изд. – М. : Просвещение, 2010 – 384с.

Основные элементы:
Квадрат
Точка на стороне
Биссектриса

На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что
AM = BK + DM.

Взаимодействие элементов:
Точка М на стороне CD
Угол ВАМ
Биссектриса угла ВАМ - АК

Схематичный рисунок («черновой»)

Взаимодействие элементов:
Точка М на стороне CD
Угол ВАМ
Биссектриса угла ВАМ - АК

A

B

C

D

M

К

Основные элементы:
Квадрат
Точка на стороне
Биссектриса

Рисунок и запись «дано»

A

C

B

D

K

M

Дано:
ABCD –квадрат
Точка М ∈ СD
AK –бисс. ∠ВАМ
АК⋂ВС=К

Доказать:
AM = BK + DM

Давайте повторим то, что нам может пригодиться в этой задаче

1) По двум сторонам и углу между ними

2) По стороне и двум прилежащим к ней углам

3) По трем сторонам

Признаки равенства треугольников:

Накрест лежащие:
4 и 6; 3 и 5; 1 и 7; 2 и 8
Соответственные:
1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8
Односторонние:
4 и 5; 3 и 6; 2 и 7; 1 и 8

Давайте повторим то, что нам может пригодиться в этой задаче

Углы при параллельных прямых и секущей:

1

2

3

4

5

6

7

8

Как начать?AM = BK + DM 

A

C

B

D

K

M

Чтобы доказать это равенство, нужно показать наглядно, что АМ состоит из частей, которые будут равны BK и DM.
Как это можно сделать?
Нужно разделить АМ на две части, то есть выполнить дополнительное построение.
Какое?
Предлагайте варианты, пробуйте.

Дополнительное построение

Что мы можем сказать про треугольник ВАМ?
А если мы продлим сторону АВ? Каким мы можем сделать новый треугольник?
Дополнительное построение: продлим АВ до АН=АМ.
Достроим НМ до треугольника.
Теперь, наконец, делим АМ. Что проведем в треугольнике АНМ?
Дополнительное построение НО – высота треугольника АНМ.

A

C

B

D

K

M

Н

_

_

Давайте подумаем, как можно доказать это равенство?
После дополнительных построений видно, что нам придется рассматривать треугольники АОН и НОМ, потому что в них есть две части отрезка АМ.
Значит, задача сводится к тому, чтобы найти равные треугольники и через соответствующие элементы доказать требуемое равенство.

О

Поиск решенияAM = BK + DM

ΔMDA и ΔHOA
ΔAKB и ΔHOM

A

C

B

D

K

M

Н

_

_

О

Необходимо найти равные треугольники с нужными сторонами (MD и BK).

В равных треугольниках найти соответствующие элементы для доказательства равенства.

Дополнительное построение ΔАНМ

Дополнительное построение высоты НО

Доказательство равенства
ΔMDA и ΔHOA

AM = =AO+OM= =MD+BK

Доказательство равенства
ΔAKB и ΔHOM

ВК = ОМ

План доказательства

ч. т. д.

Доказательство

Доп. постр. АН=АМ до ∆АНМ, НО – высота.
Рассмотрим ΔMDA и ΔHOA, в них:
Пусть ∠НАК=х, тогда ∠MAD= ∠AHO= 90°- 2х
∠DMA= ∠MAH как накрестлеж. при BA ∥ CD и секущей АМ
АМ=АН по построению
ΔMDA = ΔHOA по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из ΔMDA и ΔHOA ⇒ AO=MD, AD=HO.
Рассмотрим ΔAKB и ΔHOM, в них:
AD=HO по доказанному
∠O= ∠B =90°
∠АКВ = 90° - x, ∠НМА= (180-2х):2= 90-х ⇒ ∠АКВ = ∠НМА
ΔAKB = ΔHOM по стороне и двум прил. к ней углам.
Из ΔAKB = ΔHOM ⇒ ВК=ОМ
AO=MD, ОМ=ВК ⇒
⇒ АМ = АО + ОМ = MD + BK

ч. т. д.

Работа с обратным доказательством

Доказать, что если АМ=ВК+MD (AO=MD, ОМ=ВК),
то АК – биссектриса ∠ НАМ.

Обратное доказательство

Доказать, что если АМ=ВК+MD (AO=MD, ОМ=ВК),
то АК – биссектриса ∠ НАМ.

1) ΔMDA = ΔHOA по двум сторонам и углу между
ними. (MD=ОА, МА=НА, ∠DMA= ∠НАО).
Из ΔMDA = ΔHOA ⇒ НО=AD
2) ΔAKB = ΔHOM по двум сторонам и углу между
ними (ОМ=ВК, ∠О= ∠В, НО=AD=АВ).
3) Пусть ∠НАК=х. Нужно доказать, что ∠НАМ=2х.
Тогда ∠МНО=х, ∠ВКА=90-х=∠НМА (из ΔAKB = ΔHOM).
4) Т.к. ∆НАМ р/б, то ∠НМА= ∠МНА =90-х.
В ∆НАМ: ∠НАМ=180-2(90-х)=180-180+2х=2х, ⇒
⇒ ∠НАМ=2х

х

90-х

х

ч. т. д.

Доказательство другим способом

Возможно, есть и другие способы доказательства, но знаний 8 класса недостаточно, чтобы их осуществить. На данный момент это единственный способ решения.

Источники

Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.] – 2—е изд. – М. : Просвещение, 2010 – 384с.