«Решение задачи по геометрии на доказательство»
Выполнила: Сазонова Светлана
Преподаватель: Савинцева Н.В.
Формулировка задачи
Поиск путей доказательства
Выявление фигур и их взаимодействий
Схема
рисунка
Рисунок и запись «дано»
Повторение нужного материала
Дополнительное построение
Воспроизведение доказательства по готовому чертежу
План доказ-ва
Доказательство другим способом
Обратное доказательство
План
Поиск идей: как начать?
А как это было?
Формулировка задачи Задача №823. Раздел «Задачи повышенной сложности» к главе V (Четырехугольники)8 класс, стр.216Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.] – 2—е изд. – М. : Просвещение, 2010 – 384с.
Задача №823
Основные элементы:
Квадрат
Точка на стороне
Биссектриса
На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что
AM = BK + DM.
Взаимодействие элементов:
Точка М на стороне CD
Угол ВАМ
Биссектриса угла ВАМ - АК
Схематичный рисунок («черновой»)
Взаимодействие элементов:
Точка М на стороне CD
Угол ВАМ
Биссектриса угла ВАМ - АК
A
B
C
D
M
К
Основные элементы:
Квадрат
Точка на стороне
Биссектриса
Рисунок и запись «дано»
A
C
B
D
K
M
Дано:
ABCD –квадрат
Точка М ∈ СD
AK –бисс. ∠ВАМ
АК⋂ВС=К
Доказать:
AM = BK + DM
Давайте повторим то, что нам может пригодиться в этой задаче
1) По двум сторонам и углу между ними
2) По стороне и двум прилежащим к ней углам
3) По трем сторонам
Признаки равенства треугольников:
Накрест лежащие:
4 и 6; 3 и 5; 1 и 7; 2 и 8
Соответственные:
1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8
Односторонние:
4 и 5; 3 и 6; 2 и 7; 1 и 8
Давайте повторим то, что нам может пригодиться в этой задаче
Углы при параллельных прямых и секущей:
1
2
3
4
5
6
7
8
Как начать?AM = BK + DM
A
C
B
D
K
M
Чтобы доказать это равенство, нужно показать наглядно, что АМ состоит из частей, которые будут равны BK и DM.
Как это можно сделать?
Нужно разделить АМ на две части, то есть выполнить дополнительное построение.
Какое?
Предлагайте варианты, пробуйте.
Дополнительное построение
Что мы можем сказать про треугольник ВАМ?
А если мы продлим сторону АВ? Каким мы можем сделать новый треугольник?
Дополнительное построение: продлим АВ до АН=АМ.
Достроим НМ до треугольника.
Теперь, наконец, делим АМ. Что проведем в треугольнике АНМ?
Дополнительное построение НО – высота треугольника АНМ.
A
C
B
D
K
M
Н
_
_
Давайте подумаем, как можно доказать это равенство?
После дополнительных построений видно, что нам придется рассматривать треугольники АОН и НОМ, потому что в них есть две части отрезка АМ.
Значит, задача сводится к тому, чтобы найти равные треугольники и через соответствующие элементы доказать требуемое равенство.
О
Поиск решенияAM = BK + DM
ΔMDA и ΔHOA
ΔAKB и ΔHOM
A
C
B
D
K
M
Н
_
_
О
Необходимо найти равные треугольники с нужными сторонами (MD и BK).
В равных треугольниках найти соответствующие элементы для доказательства равенства.
Дополнительное построение ΔАНМ
Дополнительное построение высоты НО
Доказательство равенства
ΔMDA и ΔHOA
AM = =AO+OM= =MD+BK
Доказательство равенства
ΔAKB и ΔHOM
ВК = ОМ
MD = AO
План доказательства
ч. т. д.
Доказательство
Доп. постр. АН=АМ до ∆АНМ, НО – высота.
Рассмотрим ΔMDA и ΔHOA, в них:
Пусть ∠НАК=х, тогда ∠MAD= ∠AHO= 90°- 2х
∠DMA= ∠MAH как накрестлеж. при BA ∥ CD и секущей АМ
АМ=АН по построению
ΔMDA = ΔHOA по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из ΔMDA и ΔHOA ⇒ AO=MD, AD=HO.
Рассмотрим ΔAKB и ΔHOM, в них:
AD=HO по доказанному
∠O= ∠B =90°
∠АКВ = 90° - x, ∠НМА= (180-2х):2= 90-х ⇒ ∠АКВ = ∠НМА
ΔAKB = ΔHOM по стороне и двум прил. к ней углам.
Из ΔAKB = ΔHOM ⇒ ВК=ОМ
AO=MD, ОМ=ВК ⇒
⇒ АМ = АО + ОМ = MD + BK
ч. т. д.
Работа с обратным доказательством
Как сформулировать обратное доказательство?
Нужно поменять местами исходные данные и то, что нужно доказать. Что мы получим?
Теперь мы имеем новую задачу на доказательство!
Доказать, что если АМ=ВК+MD (AO=MD, ОМ=ВК),
то АК – биссектриса ∠ НАМ.
Обратное доказательство
Доказать, что если АМ=ВК+MD (AO=MD, ОМ=ВК),
то АК – биссектриса ∠ НАМ.
1) ΔMDA = ΔHOA по двум сторонам и углу между
ними. (MD=ОА, МА=НА, ∠DMA= ∠НАО).
Из ΔMDA = ΔHOA ⇒ НО=AD
2) ΔAKB = ΔHOM по двум сторонам и углу между
ними (ОМ=ВК, ∠О= ∠В, НО=AD=АВ).
3) Пусть ∠НАК=х. Нужно доказать, что ∠НАМ=2х.
Тогда ∠МНО=х, ∠ВКА=90-х=∠НМА (из ΔAKB = ΔHOM).
4) Т.к. ∆НАМ р/б, то ∠НМА= ∠МНА =90-х.
В ∆НАМ: ∠НАМ=180-2(90-х)=180-180+2х=2х, ⇒
⇒ ∠НАМ=2х
х
90-х
х
ч. т. д.
Доказательство другим способом
Возможно, есть и другие способы доказательства, но знаний 8 класса недостаточно, чтобы их осуществить. На данный момент это единственный способ решения.
А как это было?
Доп. постр. АН=АМ,
НО – высота
Рассмотрим ΔMDA и ΔHOA
∠MAD= ∠AHO
∠DMA= ∠MAH
АМ=АН
ΔMDA = ΔHOA
AO=MD, AD=HO
Рассмотрим ΔAKB и ΔHOM
AD=HO
∠O= ∠B
∠АКВ = ∠НМА
ΔAKB = ΔHOM
ВК=ОМ
АМ = АО + ОМ = MD + BK
AO=MD, ОМ=ВК
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.