Практическая работа
Приложение 2
Решение логарифмических уравнений и неравенств
Цель работы: Закрепить знания, умения и навыки решения простейших логарифмических уравнений
и неравенств.
Оборудование: Плакаты (степень и ее свойства, логарифм и его свойства, графики показательной и
логарифмической функций).
1. Логарифмические уравнения.
Методические рекомендации
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании
логарифма, называется логарифмическим.
Методы решения логарифмических уравнений
№
1
2
3
4
5
Общий вид уравнения
log
)(
xfa
b
)(
log
xf
a
log
a
)(
xg
Метод решения
По определению логарифма
Метод потенцирования
log 2
a
log
a
)(
xf
1
log
xf
)(
a
log
xf
)(
f
xf
)(
)(
xg
b
)(
xf
3
)(
x
2
c
Метод введения новой переменной
Метод приведения к общему основанию
Метод логарифмирования
Примеры решения логарифмических уравнений
1. По определению логарифма.
Пример №1. Решить уравнение:
log 3
x
12
2
.
Используя определение логарифма, и учитывая область определения, получим
,0
2
3
,12
x
9
12
12
12
.21
x
x
x
x
Решение:
Ответ: 21.
Пример №2. Решить уравнение:
log
x
16
log
x
2
.
1
2
log
x
16
log
x
2
1
2
x
log
x
,0
x
,1
16
1
2
2
Решение:
x
,1
x
,0
1
2
x
8
x
.64Ответ: 64.
2. Метод потенцирования.
Приложение 2
Потенцирование – это нахождение положительного числа по его логарифму.
.
x
24
5
2
x
log
Решение:
,2
x
,1
x
;4
x
x
.1
Пример №3. Решить уравнение:
2
x
log
2
2
x
x
24
,0
5
x
;24
x
2
x
x
3
x
,2
4
;0
Ответ: 1.
3. Метод введения новой переменной.
Пример №4. Решить уравнение:
log
2
2
x
log4
2
x
0
3
.
Решая полученное квадратное уравнение заменой
, находим
Решение:
log
x 2
y
2
y
4
x
,0
y
3
,0
y
y
x
,1
,3
,0
log
log
x
2
,1
x
x
,3
2
,0
x
x
x
,2
,8
,0
x
x
,2
.8
Ответ: 2, 8.
4. Метод приведения к общему основанию.
Пример №5. Решить уравнение:
log
3
x
log
x
log
3
.
x
6
1
3
Здесь
.0x
Используя формулу
Решение:
log
an
x
1
n
log
a
x
, преобразуем левую часть уравнения к
основанию 3:
log
3
x
log
1
2
3
x
log2
;
x
3
log
1
3
x
log
1
3
x
log
3
.
x
Таким образом,
log
3
x
log2
3
x
log
3
x
6
log2
3
x
6
log
3
x
3
log
3
x
log
3
3
3
т: 27.
3
x
x
3
Отве
.275. Метод логарифмирования.
Пример №6. Решить уравнение:
.
lg
x x
100
x
Решение:
Приложение 2
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим
x
x
lg
100
100
100
lg
lg
lg
x
lg
x
lg
lg
lg
x
lg
x
x
x
2
lg
x
2
.0
x
x
Решая полученное квадратное уравнение заменой
, находим
x lg
y
y
y
x
x
,1
,2
,0
1
,1
,2
x
lg
lg
x
,0
x
1
x
lg
lg
2
y
,0
y
2
x
,0
x
1
Ответ: 0,1; 100.
1
x
x
x
x
,
10
lg
2
lg
,10
,0
1
x
x
,1,0
.100
2. Логарифмические неравенства.
Неравенства вида
log
a
x
c
log,
x
c
log,
a
a
xf
)(
log
(
xg
),
a
где
a
,0
a
,1
называются
простейшими логарифмическими неравенствами.
Имеют место следующие равносильные преобразования:
log
a
x
c
,1
a
c
x
a
,1
0
a
c
x
a
0
;
log
a
x
c
c
,1
a
0
a
x
0
,1
a
c
x
a
;
log
a
)(
xf
log
a
)(
xg
a
)(
xf
0
)(
xf
,1
xg
)(
,1
(
xg
a
).
Пример №7. Решить неравенство:
3
x
5
log
log
1
5
.
x
1
1
5
Решение:
Используя равносильные преобразования, получим
log
1
5
3
x
5
log
x
1
1
5
3
5
,0
x
x
,01
1
0
,1
5
5
x
x
3
1
3
x
x
x
,5
,1
51
3
x
5
,
x
3
x
,1
x
3
x
5
3
.3Приложение 2
Ответ:
.
5
3
x
3
Порядок выполнения работы
1. При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 и свойства
логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).
2. При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 и свойства
логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).
3. При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Примеры №№2, 3 и свойства
логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).
4. При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №5 и свойства
логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).
5. При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №6 и свойства
логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).
6. При выполнении задания №6 необходимо обратить внимание на Пример №7 и равносильные
преобразования при решении логарифмических неравенств (см. методические рекомендации)
Выполнить задания: ( в скобках стоит номер примера в таблице ответов, приложение 3 )
Вариант 1
(8) Задание №1. Решить уравнение:
(8+4x)=−5
log1
2
.
(13) Задание №2. Решить уравнение:
log0,5(7x−9)=log0,5(x−3)
.
x+3
x =2 .
(3) Задание №3. Решить уравнение:
log3(x(x+3))−log3
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
81
x
3
4
.
Задание №5. Решить уравнение:
.
x
x
lg1
1,0
2
Задание №6. Решить неравенство:
log 3
x
3
0
.
(14) Задание №1. Решить уравнение:
Вариант 2
(2x−5)=−2
log1
2
.
(6) Задание №2. Решить уравнение:
log3(x+4)=log3(2x−1)
.(22) Задание №3. Решить уравнение:
log0,5(x+2)+log0,5(x−2)=log0,55 .
Приложение 2
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
27
x
.
11
12
Задание №5. Решить уравнение:
.
lg xx
1
Задание №6. Решить неравенство:
log 2
x
1
3
.
Вариант 3
(1) Задание №1. Решить уравнение:
(17) Задание №2. Решить уравнение:
(26) Задание №3. Решить уравнение:
log0,5(1−x)=−1 .
log2(3x−6)=log2(2x−3)
log53(x−2)+log53=log53(x+2)
.
.
Задание №4. Решить уравнение:
Задание №5. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
2
x
log
4
x
log
16
x
14
.
.
lg xx
2
1000
Задание №6. Решить неравенство:
lg
x
1
7
.
Вариант 4
(4) Задание №1. Решить уравнение:
(23) Задание №2. Решить уравнение:
(11) Задание №3. Решить уравнение: lg2+lg❑(x+2)=lg❑(x−1)
.
log2(7+x)=3 .
log3(x2−3x−5)=log3(7−2x)
.
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
81
x
3
4
.
Задание №5. Решить уравнение:
.
x
x
lg1
1,0
2Задание №6. Решить неравенство:
log 3
x
3
0
.
Приложение 2
Вариант 5
(9) Задание №1. Решить уравнение:
25 +x)=2 .
log3(8 24
log2(3x−6)=log2(2x−3)
.
(7) Задание №2. Решить уравнение:
(28) Задание №3. Решить уравнение: lg(x2+9x)+lgx+9
x =0 .
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
27
x
11
12
.
Задание №5. Решить уравнение:
.
lg xx
1
Задание №6. Решить неравенство:
log 2
x
1
3
.
(15) Задание №1. Решить уравнение:
Вариант 6
(x−2)=−1
log1
3
.
(27) Задание №2. Решить уравнение:
(29) Задание №3. Решить уравнение:
log5(3x−4)=log5(12−5x)
log3(x−2)+log3(x+2)=log3(2x−1)
.
.
Задание №4. Решить уравнение:
Задание №5. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
2
x
log
4
x
log
16
x
14
.
.
lg xx
2
1000
Задание №6. Решить неравенство:
lg
x
1
7
.
(18) Задание №1. Решить уравнение:
Вариант 7
log2(1−x)=1 .Приложение 2
(40) Задание №2. Решить уравнение: lg(3+4x)−lg(2−3x)=0 .
(41) Задание №3. Решить уравнение:
log4(x−3)+log4x=1 .
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
81
x
.
3
4
Задание №5. Решить уравнение:
.
x
x
lg1
1,0
2
Задание №6. Решить неравенство:
log 3
x
3
0
.
Вариант 8
(24) Задание №1. Решить уравнение: lg❑(9x+10)=2 .
(5) Задание №2. Решить уравнение:
log0,2(12x+8)=log0,2(11x+7)
(12) Задание №3. Решить уравнение:
log5((3x−1)(x+3))−log5
.
3x−1
x+3 =0 .
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
27
x
.
11
12
Задание №5. Решить уравнение:
.
lg xx
1
Задание №6. Решить неравенство:
log 2
x
1
3
.
Вариант 9
(20) Задание №1. Решить уравнение:
(25) Задание №2. Решить уравнение:
(16) Задание №3. Решить уравнение:
log2(6−x)=4 .
log9(x+6)=log9(4x−9)
.
log6(x−1)=2−log6(5x+3)
.
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
2
x
log
4
x
log
16
x
14
.Задание №5. Решить уравнение:
lg xx
2
1000
.
Приложение 2
Задание №6. Решить неравенство:
lg
x
1
7
.
(21) Задание №1. Решить уравнение:
Вариант 10
log1
2( 1
x+10)=4 .
(34) Задание №2. Решить уравнение: lg❑(6x+3)=lg❑(x−22)
(50) Задание №3. Решить уравнение:
log3(x−5)+log3x=log36 .
.
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
81
x
3
4
.
Задание №5. Решить уравнение:
.
x
x
lg1
1,0
2
Задание №6. Решить неравенство:
log 3
x
3
0
.
(30) Задание №1. Решить уравнение:
(44) Задание №2. Решить уравнение:
(33) Задание №3. Решить уравнение:
Вариант 11
(6x−4)=−3
log1
2
.
log9(x+6)=log9(2x−7)
log5x+log5(x−4)=1 .
.
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
27
x
11
12
.
Задание №5. Решить уравнение:
.
lg xx
1
Задание №6. Решить неравенство:
log 2
x
1
3
.
Вариант 12(35) Задание №1. Решить уравнение:
(31) Задание №2. Решить уравнение:
.
(45) Задание №3. Решить уравнение: lg(x+2)+lg(x−2)=lg(5x+10)
log3(1−2x)=1 .
log6(14−4x)=log6(2x+2)
Приложение 2
.
Задание №4. Решить уравнение:
Задание №5. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
2
x
log
4
x
log
16
x
14
.
.
lg xx
2
1000
Задание №6. Решить неравенство:
lg
x
1
7
.
Вариант 13
(36) Задание №1. Решить уравнение:
log5(4+x)=2 .
log2(4x+5)=log2(9+2x)
(48) Задание №2. Решить уравнение:
(10) Задание №3. Решить уравнение: 3lg2+lg❑(x+8)=lg48−lg2 .
.
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
81
x
.
3
4
Задание №5. Решить уравнение:
.
x
x
lg1
1,0
2
Задание №6. Решить неравенство:
log 3
x
3
0
.
Вариант 14
(37) Задание №1. Решить уравнение:
log
(2x+1)=1 .
1
3
log3(3x−5)=log3(2x−3)
3
(42) Задание №2. Решить уравнение:
.
(32) Задание №3. Решить уравнение: lg(x−1)+lg(x+1)=lg(9x+9)
.Приложение 2
.
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
27
x
11
12
.
Задание №5. Решить уравнение:
.
lg xx
1
Задание №6. Решить неравенство:
log 2
x
1
3
.
Вариант 15
(43) Задание №1. Решить уравнение:
(19) Задание №2. Решить уравнение: lg40−lg2=lg(10−2x)
(2) Задание №3. Решить уравнение:
log34(x−1)+log32=log34(x+3)
.
log5x=−2 .
Задание №4. Решить уравнение:
Задание №5. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
2
x
log
4
x
log
16
x
14
.
.
lg xx
2
1000
Задание №6. Решить неравенство:
lg
x
1
7
.
Вариант 16
(47) Задание №1. Решить уравнение:
(38) Задание №2. Решить уравнение:
(51) Задание №3. Решить уравнение:
log3(x−12)=2 .
log3(20−x)=log3(2(x+1)2)
log3x+log3(x−2)=1 .
.
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
81
x
3
4
.
Задание №5. Решить уравнение:
.
x
x
lg1
1,0
2
Задание №6. Решить неравенство:
log 3
x
3
0
.Приложение 2
Вариант 17
(49) Задание №1. Решить уравнение:
(39) Задание №2. Решить уравнение:
(46) Задание №3. Решить уравнение:
logx−19=2 .
log8(x+5)=log8(2x−2)
log3(x−1)=1
2
1
25 .
log 1
3
.
Задание №4. Решить уравнение:
Дополнительные задания:
log
3
x
log
9
x
log
27
x
.
11
12
Задание №5. Решить уравнение:
.
lg xx
1
Задание №6. Решить неравенство:
log 2
x
1
3
.
Отчет о проделанной работе:
1. Записать тему, цель работы.
2. Выполнить задания №№1 – 6.
3. Ответить на контрольный вопрос.
4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.
Контрольный вопрос:
1. Какие способы решения логарифмических уравнений и неравенства использовались при
выполнении практической работы?
Критерии оценки:
«3» первые три задания
«4» любые четыре задания
Список литературы:
1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. М.:
«5» все задания
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Высшая школа, 2002.
3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. М.:
Дрофа, 2002.
Дрофа, 2005.
Приложение 2.docx
