Решение логарифмических выражений

Практическая работа Приложение 2 Решение логарифмических уравнений и неравенств Цель работы: Закрепить знания, умения и навыки решения простейших логарифмических уравнений и неравенств. Оборудование: Плакаты (степень и ее свойства, логарифм и его свойства, графики показательной и логарифмической функций). 1. Логарифмические уравнения. Методические рекомендации Уравнение,   содержащее   переменную   под   знаком   логарифма   или   в   основании логарифма, называется логарифмическим.  Методы решения логарифмических уравнений № 1 2 3 4 5 Общий вид уравнения log )( xfa b  )( log xf a log a )( xg Метод решения По определению логарифма Метод потенцирования log 2 a log a )( xf 1 log   xf )( a log xf )( f   xf )( )( xg b )( xf 3 )( x 2 c Метод введения новой переменной  Метод приведения к общему основанию Метод логарифмирования Примеры решения логарифмических уравнений 1. По определению логарифма. Пример №1. Решить уравнение:  log 3  x  12  2 . Используя определение логарифма, и учитывая область определения, получим      ,0  2 3  ,12 x  9 12  12 12 .21 x x     x x Решение: Ответ: 21. Пример №2. Решить уравнение:  log x 16  log x 2  . 1 2 log x 16  log x 2  1 2     x  log x  ,0 x ,1    16 1  2 2       Решение:  x ,1  x ,0 1 2 x  8  x .64 Ответ: 64. 2. Метод потенцирования. Приложение 2  Потенцирование – это нахождение положительного числа по его логарифму. . x 24  5 2  x  log  Решение:  ,2  x ,1  x ;4 x     x .1 Пример №3. Решить уравнение:   2 x  log 2      2 x x  24 ,0  5 x  ;24 x      2 x  x  3 x ,2 4   ;0     Ответ: 1. 3. Метод введения новой переменной. Пример №4. Решить уравнение:  log 2 2 x  log4 2 x  0 3 . Решая полученное квадратное уравнение заменой  , находим Решение: log x 2 y 2 y     4 x ,0  y 3  ,0       y  y  x  ,1  ,3  ,0         log log x 2  ,1 x  x ,3 2  ,0       x  x  x  ,2  ,8  ,0     x x   ,2 .8 Ответ: 2, 8. 4. Метод приведения к общему основанию. Пример №5. Решить уравнение:  log 3 x  log x  log 3 . x  6 1 3 Здесь   .0x   Используя   формулу   Решение: log an x  1 n log a x ,   преобразуем   левую   часть   уравнения   к основанию 3: log 3 x  log 1 2 3 x  log2 ; x 3 log 1 3 x  log  1 3 x  log 3 . x  Таким образом, log 3 x  log2 3 x  log 3 x  6 log2 3 x  6 log 3 x  3 log 3 x  log 3 3 3 т: 27.  3 x x 3 Отве .27 5. Метод логарифмирования. Пример №6. Решить уравнение:  . lg  x x 100 x Решение: Приложение 2 Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим x x   lg 100 100 100     lg lg lg x lg x lg lg lg x lg x x x 2  lg x  2 .0 x x Решая полученное квадратное уравнение заменой  , находим x lg y    y y x x  ,1  ,2  ,0  1                     ,1 ,2  x lg  lg x  ,0 x  1 x     lg lg         2 y  ,0  y 2  x ,0  x 1       Ответ: 0,1; 100.  1 x x x x  , 10 lg  2 lg ,10  ,0  1     x x  ,1,0  .100 2. Логарифмические неравенства.  Неравенства   вида   log a x  c log, x  c log, a a xf )(  log ( xg ), a где a  ,0 a  ,1   называются простейшими логарифмическими неравенствами.  Имеют место следующие равносильные преобразования: log a x  c            ,1 a   c x a   ,1 0 a  c x a 0 ; log a x  c       c   ,1 a   0 a x    0 ,1 a   c x a ;  log a )( xf  log a )( xg              a )( xf  0 )( xf ,1 xg )( ,1 ( xg   a  ). Пример №7. Решить неравенство:   3 x   5  log log 1 5 .  x 1  1 5 Решение: Используя равносильные преобразования, получим log 1 5  3 x   5  log  x  1  1 5  3 5 ,0 x  x ,01 1  0 ,1 5  5 x x 3        1         3 x   x  x ,5 ,1  51  3 x 5  , x 3  x ,1  x 3         x 5 3 .3 Приложение 2 Ответ:  . 5 3  x 3 Порядок выполнения работы 1. При   выполнении   задания  №1  необходимо   обратить   внимание   на  Пример   №1   и   свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»). 2. При   выполнении   задания  №2  необходимо   обратить   внимание   на  Пример   №3  и   свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»). 3. При выполнении задания  №3  необходимо обратить внимание на  Примеры №№2, 3  и свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»). 4. При   выполнении   задания  №4  необходимо   обратить   внимание   на  Пример   №5  и   свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»). 5. При   выполнении   задания  №5  необходимо   обратить   внимание   на  Пример   №6  и   свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»). 6. При выполнении задания  №6  необходимо обратить внимание на  Пример №7  и равносильные преобразования при решении логарифмических неравенств (см. методические рекомендации)  Выполнить задания: ( в скобках стоит номер примера в таблице ответов, приложение 3 ) Вариант 1 (8) Задание №1. Решить уравнение:  (8+4x)=−5 log1 2 . (13) Задание №2. Решить уравнение:  log0,5(7x−9)=log0,5(x−3) . x+3 x =2 . (3) Задание №3. Решить уравнение:  log3(x(x+3))−log3 Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 81 x  3 4 .  Задание №5. Решить уравнение:  .  x  x lg1 1,0  2 Задание №6. Решить неравенство:  log 3  x  3  0 .  (14) Задание №1. Решить уравнение:  Вариант 2 (2x−5)=−2 log1 2 . (6) Задание №2. Решить уравнение:  log3(x+4)=log3(2x−1) . (22) Задание №3. Решить уравнение:  log0,5(x+2)+log0,5(x−2)=log0,55 . Приложение 2 Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 27 x .   11 12 Задание №5. Решить уравнение:  .  lg xx 1 Задание №6. Решить неравенство:  log 2  x  1  3 .  Вариант 3 (1) Задание №1. Решить уравнение:  (17) Задание №2. Решить уравнение:  (26) Задание №3. Решить уравнение:  log0,5(1−x)=−1 . log2(3x−6)=log2(2x−3) log53(x−2)+log53=log53(x+2) . . Задание №4. Решить уравнение:  Задание №5. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 2 x  log 4 x  log 16 x  14 . .  lg xx 2 1000 Задание №6. Решить неравенство:   lg x  1  7 . Вариант 4 (4) Задание №1. Решить уравнение:  (23) Задание №2. Решить уравнение:  (11) Задание №3. Решить уравнение:  lg2+lg❑(x+2)=lg❑(x−1) . log2(7+x)=3 . log3(x2−3x−5)=log3(7−2x) . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 81 x  3 4 .  Задание №5. Решить уравнение:  .  x  x lg1 1,0  2 Задание №6. Решить неравенство:  log 3  x  3  0 .  Приложение 2 Вариант 5 (9) Задание №1. Решить уравнение:  25 +x)=2 . log3(8 24 log2(3x−6)=log2(2x−3) . (7) Задание №2. Решить уравнение:  (28) Задание №3. Решить уравнение:  lg(x2+9x)+lgx+9 x =0 . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 27 x  11 12 .  Задание №5. Решить уравнение:  .  lg xx 1 Задание №6. Решить неравенство:  log 2  x  1  3 .  (15) Задание №1. Решить уравнение:  Вариант 6 (x−2)=−1 log1 3 . (27) Задание №2. Решить уравнение:  (29) Задание №3. Решить уравнение:  log5(3x−4)=log5(12−5x) log3(x−2)+log3(x+2)=log3(2x−1) . . Задание №4. Решить уравнение:  Задание №5. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 2 x  log 4 x  log 16 x  14 . .  lg xx 2 1000 Задание №6. Решить неравенство:   lg x  1  7 . (18) Задание №1. Решить уравнение:  Вариант 7 log2(1−x)=1 . Приложение 2 (40) Задание №2. Решить уравнение:  lg(3+4x)−lg(2−3x)=0 . (41) Задание №3. Решить уравнение: log4(x−3)+log4x=1 . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 81 x  .  3 4 Задание №5. Решить уравнение:  .  x  x lg1 1,0  2 Задание №6. Решить неравенство:  log 3  x  3  0 .  Вариант 8 (24) Задание №1. Решить уравнение:  lg❑(9x+10)=2 . (5) Задание №2. Решить уравнение:  log0,2(12x+8)=log0,2(11x+7) (12) Задание №3. Решить уравнение:  log5((3x−1)(x+3))−log5 . 3x−1 x+3 =0 . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 27 x .   11 12 Задание №5. Решить уравнение:  .  lg xx 1 Задание №6. Решить неравенство:  log 2  x  1  3 .  Вариант 9 (20) Задание №1. Решить уравнение:  (25) Задание №2. Решить уравнение:  (16) Задание №3. Решить уравнение:  log2(6−x)=4 . log9(x+6)=log9(4x−9) . log6(x−1)=2−log6(5x+3) . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 2 x  log 4 x  log 16 x  14 . Задание №5. Решить уравнение:  lg xx 2 1000 .  Приложение 2 Задание №6. Решить неравенство:   lg x  1  7 . (21) Задание №1. Решить уравнение:  Вариант 10 log1 2( 1 x+10)=4 . (34) Задание №2. Решить уравнение:  lg❑(6x+3)=lg❑(x−22) (50) Задание №3. Решить уравнение:  log3(x−5)+log3x=log36 . . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 81 x  3 4 .  Задание №5. Решить уравнение:  .  x  x lg1 1,0  2 Задание №6. Решить неравенство:  log 3  x  3  0 .  (30) Задание №1. Решить уравнение:  (44) Задание №2. Решить уравнение:  (33) Задание №3. Решить уравнение:  Вариант 11 (6x−4)=−3 log1 2 . log9(x+6)=log9(2x−7) log5x+log5(x−4)=1 . . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 27 x  11 12 .  Задание №5. Решить уравнение:  .  lg xx 1 Задание №6. Решить неравенство:  log 2  x  1  3 .  Вариант 12 (35) Задание №1. Решить уравнение:  (31) Задание №2. Решить уравнение:  . (45) Задание №3. Решить уравнение:  lg(x+2)+lg(x−2)=lg(5x+10) log3(1−2x)=1 . log6(14−4x)=log6(2x+2) Приложение 2 . Задание №4. Решить уравнение:  Задание №5. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 2 x  log 4 x  log 16 x  14 . .  lg xx 2 1000 Задание №6. Решить неравенство:   lg x  1  7 . Вариант 13 (36) Задание №1. Решить уравнение:  log5(4+x)=2 . log2(4x+5)=log2(9+2x) (48) Задание №2. Решить уравнение:  (10) Задание №3. Решить уравнение:  3lg2+lg❑(x+8)=lg48−lg2 . . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 81 x  .  3 4 Задание №5. Решить уравнение:  .  x  x lg1 1,0  2 Задание №6. Решить неравенство:  log 3  x  3  0 .  Вариант 14 (37) Задание №1. Решить уравнение:  log (2x+1)=1 . 1 3 log3(3x−5)=log3(2x−3) 3 (42) Задание №2. Решить уравнение:  . (32) Задание №3. Решить уравнение:  lg(x−1)+lg(x+1)=lg(9x+9) . Приложение 2 . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 27 x  11 12 .  Задание №5. Решить уравнение:  .  lg xx 1 Задание №6. Решить неравенство:  log 2  x  1  3 .  Вариант 15 (43) Задание №1. Решить уравнение:  (19) Задание №2. Решить уравнение:  lg40−lg2=lg(10−2x) (2) Задание №3. Решить уравнение:  log34(x−1)+log32=log34(x+3) . log5x=−2 . Задание №4. Решить уравнение:  Задание №5. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 2 x  log 4 x  log 16 x  14 . .  lg xx 2 1000 Задание №6. Решить неравенство:   lg x  1  7 . Вариант 16 (47) Задание №1. Решить уравнение:  (38) Задание №2. Решить уравнение:  (51) Задание №3. Решить уравнение:  log3(x−12)=2 . log3(20−x)=log3(2(x+1)2) log3x+log3(x−2)=1 . . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 81 x  3 4 .  Задание №5. Решить уравнение:  .  x  x lg1 1,0  2 Задание №6. Решить неравенство:  log 3  x  3  0 . Приложение 2 Вариант 17 (49) Задание №1. Решить уравнение:  (39) Задание №2. Решить уравнение:  (46) Задание №3. Решить уравнение:  logx−19=2 . log8(x+5)=log8(2x−2) log3(x−1)=1 2 1 25 . log 1 3 . Задание №4. Решить уравнение:  Дополнительные задания: log 3 x  log 9 x  log 27 x .   11 12 Задание №5. Решить уравнение:  .  lg xx 1 Задание №6. Решить неравенство:  log 2  x  1  3 .  Отчет о проделанной работе: 1. Записать тему, цель работы. 2. Выполнить задания №№1 – 6. 3. Ответить на контрольный вопрос. 4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку. Контрольный вопрос: 1.  Какие   способы   решения   логарифмических   уравнений   и   неравенства   использовались   при выполнении практической работы? Критерии оценки: «3» ­ первые три задания  «4» ­ любые четыре задания  Список литературы: 1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. М.: «5» ­ все задания 2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. ­ М.: Высшая школа, 2002. 3. Богомолов   Н.В.,   Сергиенко   Л.Ю.   Сборник   дидактических   заданий   по   математике.   ­   М.: Дрофа, 2002. Дрофа, 2005.