«Решение составных задач на уроках математики» (3-4 классы, математика)

Гордейчик Лариса Алексеевна Учитель первой категории МБОУ СОШ № 26 г. Сургут Решение составных задач на уроках математики Чтобы   научить   учащихся   решать   задачи,   следует   прежде   всего   правильно организовать первичное восприятие и анализ задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметических действий, применяя для этого графическое моделирование. Как отмечает Л. Ш. Левенберг, «…рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают  не только  усваивать  знания,  но и овладевать умением  применять  их». (Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. М., 1978 ). Как можно использовать схемы при решении составных задач? 1. В первый день для ремонта школы привезли 28 бревен, а во второй день привезли на 4 машинах по 10 бревен. Сколько бревен привезли за эти два дня?           По такой схеме даже слабый ученик сможет записать решение хотя бы так: 1) 10+10+10+10=40(б.) 2) 28+40=68(б.) 2. В совхозе работают 37 трактористов, шоферов на 8 больше, чем  трактористов, а комбайнеров на 5 меньше, чем шоферов. Сколько  комбайнеров работает в совхозе? Такая модель дает наглядное представление об отношениях между величинами в задаче.   Анализируя   задачу,   дети   выясняют,   что   шоферов   на   8   больше,   чем трактористов, то есть их столько же, да еще 8. А так как численность комбайнеров на   пять   меньше,   чем   шоферов,  то   есть   их  столько   же,   но   без   5.  При   таком моделировании   выбор   действий   будет   понятным   и   обоснованным,   учащиеся   не будут действовать наугад, механически манипулируя числами. Сильным ученикам можно предложить по схеме выявить новые отношения между данными   и   искомыми   величинами   и   найти   другой   способ   решения.   Если   дети затрудняются, то можно провести беседу: Учитель: Что требуется узнать в задаче? Посмотрите на схему задачи и определите, больше или меньше комбайнеров, чем трактористов.      Дети: Больше.      У. А на сколько больше? Как узнать?      Д. Надо из восьми вычесть пять.      У. А теперь можно определить сколько комбайнеров?      Д. Можно.      37+(8­5)=40(к.) Условие задачи с пропорциональными величинами можно записать и в таблицу, но таблица мало помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие. Целесообразно смоделировать условие в виде схемы. 3. В 3 одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько всего килограммов  апельсинов в 8 таких ящиках? 4. Из двух кусков ткани сшили 18 одинаковых занавесок. В первом куске  было 30 м, во втором – 24 м. Сколько занавесок сшили из каждого куска? Вариант 1 Вариант 2 При   решении   задач  на   нахождение   неизвестного   по   двум   разностям  для выявления связей между величинами тоже поможет схема. 5. С первой яблони собрали 3 одинаковые корзины яблок, а со второй – 5 таких же корзин, причем со второй яблони собрали на 40 кг больше, чем с первой. Сколько килограммов яблок собрали с каждой яблони? Вариант 1 Вариант 2 Схема позволяет наглядно убедиться, что разница в 40 кг возникла потому, что число   корзин   с  яблоками,  собранными   со   второй   яблони,  на   две   больше,   чем   с первой. Главное при решении понять, что в этих двух корзинах и было 40 кг.  6. Группа туристов разместилась в 2 катерах по 16 человек в каждом и в двух   лодках   по   4   человека   в   каждой.   Сколько   всего   человек   было   в группе? Схема   помогла   детям   самостоятельно   увидеть   и   записать   два   способа   решения задачи:      16*2+4*2=40(чел.)                                              (16+4)*2=40(чел.) 7. В овощной киоск привезли яблоки, 5 ящиков по 8 кг в каждом и столько же ящиков по 10 кг в каждом. Сколько яблок привезли в ларек? Учитель: Представим себе, что ящики находятся в машине и расположены в кузове так, как на схеме. Какие будут предложения по их разгрузке? Дети   предлагают   открыть   сначала   один   борт,   затем   другой   –   получают   такое решение:      8 * 5 + 10 * 5 = 90 (кг) Некоторые предложили открыть задний борт и получили такое решение:      (8 + 10) * 5 = 90 (кг) 8. Школьники посадили за три дня 390 деревьев. В первый день они  посадили 120 деревьев, во второй на 50 деревьев больше, а в третий все  остальные деревья. Сколько деревьев посадили в третий день?          Решения: 1) 120+50=170(д.)                           1) 120+50=170(д.) 2) 120+170=290(д.)                         2) 390 – 120=270(д.) 3) 390 – 290=100(д.)                       3) 270 – 170=100(д.)                 1) 120+50=170(д.)                           1) 120*2=240(д.)               2) 390 – 170 =220(д.)                      2) 240+50=290(д.)               3) 220 – 120=100(д.)                       3) 390 – 290=100(д.) Роль модели при отыскании различных способов решения задачи Моделирование   следует   применять   при   обучении   детей   нахождению   различных способов решения задачи, а также нахождению среди них оптимального. 1. В трех кусках 127 м шпагата. Когда от первого куска отрезали 21м, от  второго – 9 м, а от третьего 7 м, то во всех кусках шпагата стало поровну.  Сколько метров шпагата было в первом куске сначала? Реши задачу разными способами. Выбери из них более удобный. Почему ты выбрал этот способ? Докажи, что он удобнее других. 1) 21 + 9 = 30 (м)           21 +7 = 28 (м)            7 + 9 = 16 (м) 2) 30 + 7 = 37 (м)           28 +9 = 37 (м)            16 + 21 = 37 (м) 3) 127 – 27 = 90 (м)       127 – 37 = 90 (м)        127 – 27 = 90 (м) 4) 90: 3 = 30 (м)             90 : 3 = 30 (м)             90 : 3 = 30 (м)       5) 30 + 21 = 51 (м)         30 + 21 = 51 (м)          30 + 21 = 51 (м) 2. Три сборщика собрали 160кг ягод шиповника. Первый собрал 63кг, а  первый и второй вместе – 112кг. Сколько килограммов ягод шиповника  собрал второй и сколько третий сборщик? Решения: 160 – 112 = 48 (кг)           160 – 63 = 97 (кг)             160 – 112 = 48 (кг) 112 – 63 = 49 (кг)             112 ­  63 = 49 (кг)             48 + 63 = 11(кг)                                     97 – 49 = 48 (кг)               160 – 111 = 49 (кг) Схема   помогла   увидеть   различные   способы   решения   и   выделить   наиболее рациональный. 3. Из 24 м шелка сшили платье, блузку и 2 халата. На блузку пошло 4 м  ткани, на платье – на 8 м больше, чем на блузку, а на халаты ­ остальной  шелк. Сколько метров шелка пошло на халаты? Какие данные лишние? Решения: 4+8=12(м)            24­14=20(м)                 4+8=12(м)                     4*2=8(м) 12+14=12(м)        8+4=12(м)                    24­12=12(м)                  8+8=16(м) 24­16=8(м)          20­12=8(м)                   12­4=8(м)                      24­16=8(м) Как изменится решение и будут ли в условии лишние данные, если вопрос будет таким: «Сколько метров ткани пошло на один халат?»    Дополнить решение: 8: 2 = 4 (м) Измените вопрос так, чтобы лишние данные стали другими. 4. В первом куске 16 м шелка, во втором в 3 раза больше, чем в первом, а в  третьем в 2 раза меньше, чем во втором. Сколько метров шелка в трех  кусках? После решения задачи учитель вносит в схему изменения: Составить и решить новую задачу с тем же сюжетом. Можно преобразовать схему так: Вывод:  все   эти   примеры   демонстрируют   многообразие   приемов   успешного формирования действия моделирования при решении задач. Наряду с решением задач надо включать задания на подбор задач к схеме и,  наоборот, составление задач по данной схеме: Подбери нужную схему к каждой задаче и реши ее: 1. На первой полке 26 книг. На второй ­ на 10 книг больше, чем на первой.  Сколько книг на двух полках? 1) 2) 2. На первой полке 26 книг. На второй ­  на 10 книг больше, чем на первой.  Сколько книг на второй полке?  Придумай задачи к схемам: 1) 2)  3) Использование моделирования при решении задач на движение Большую роль играет моделирование при решении задач на движение. 1. Из   двух   городов,   расстояние   между   которыми   520   км,   одновременно навстречу друг другу вышли два поезда, которые встретились через 4 часа. Один поезд шел со скоростью 60 км в час. С какой скоростью шел второй поезд?    Учитель в беседе с учащимися выясняет, о каком движении говорится в задаче, что  об этом движении известно, и предлагает начертить схему движения. Решение:      (520 – 60 * 4 = 70 (км/ч)                         ( 520 : 4 ) – 60 =70 (км/ч) 2. Навстречу друг другу одновременно из двух деревень вышли два  пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого 4 Км/ч. Через два  часа они встретились. Какое расстояние между деревнями? При решении задач на движение в схему могут быть сразу введены условные  обозначения, например: для s ­ сплошная дуга, для v – стрелка, для t ­ пунктирная  дуга.  Четкие условные обозначения помогают детям строить сложные схемы, видеть в  них нужные формулы и предотвращают многие ошибки. Решение:     5 * 2 + 4 * 2 = 18 (км)                                     ( 5 + 4 ) *2 =18 (км) Использование моделирования при решении нестандартных задач Наибольшее   затруднения   у   учащихся   вызывает,   как   правило,   решение нестандартных   задач,   то   есть   задач,   алгоритм   решения   которых   учащимся неизвестен. Ценность нестандартных задач заключается в том, что поиск их решения не может сводиться к воспроизведению уже известного способа решению подобных задач. Такой поиск требует от учащихся включиться в активную деятельность, а следовательно,   в   большей   степени   направлен   на   формирование   общих   умений решать задачи. Решение нестандартных задач позволяет учащимся накапливать опыт в   сопоставлении,   выявлять   несложные   математические закономерности, высказывать догадки, нуждающиеся в доказательстве. Тем самым создаются условия для выработки у учащихся потребности в моделировании задач.   наблюдении, Для успешного решения нестандартных задач необходимо познакомить их с  некоторыми специальными способами решения задач. 1. На двух полках одинаковое количество книг. С первой полки переложили на вторую 4 книги. На сколько книг на второй полке стало больше, чем  на первой? Решение: 4 +4 = 8 (к.) 2. За два дня посадили 14 яблонь. Во второй день посадили на 2 яблони  больше, чем в первый. Сколько яблонь посадили в первый день?  Решение: (14 – 2): 2 = 6 (ябл.) 3. Груша дороже яблока в 2 раза. Что дороже: 4 яблока или 2 груши? На   основе   анализа   схемы   можно   сразу   записать   ответ.   Этот  способ   является графическим.  4. Банка с медом весит 500 г. Та же банка с керосином весит 350 г. Керосин легче меда в 2 раза. Сколько весит пустая банка? При выполнении схемы следует обратить внимание детей на массу пустой банки и на то, как связаны масса меда и масса керосина в такой же банке. Решение:      500 – 350 = 150 (г) – разница между массой меда и массой керосина;      150 * 2 = 300 (г) ­ масса меда;                                              500 – 300 = 200 (г) – масса банки;      500 – 350 = 150 (г) ­ масса керосина;      350 – 150 = 200 (г) – масса банки; 5. Три мальчика купили 9 тетрадей. Толя взял на одну тетрадь меньше, чем Витя, а Дима ­ на одну тетрадь больше, чем Витя. Сколько тетрадей взял  каждый мальчик? Можно обсудить следующие вопросы. Учитель:  если  бы все  мальчики  взяли тетрадей столько,  сколько взял  Толя,  то общее количество тетрадей было бы больше или меньше, чем 9? На сколько меньше? Дети: На три. Учитель:  Сколько было бы всего тетрадей, если бы все взяли тетрадей столько, сколько взял Толя? Дети: Шесть тетрадей. Учитель: Как разделить эти шесть тетрадей между тремя мальчиками? Дети: Поровну. Учитель: Можно ли узнать, сколько тетрадей взял каждый? Решение: 1) 1 + 1 = 2 (т.) – на столько больше взял Дима, чем Толя. 2) 1 + 2 = 3 (т.) – на столько было бы меньше тетрадей всего, если бы каждый взял столько тетрадей, сколько взял Толя. 1) 9 – 3 = 6 (т.) – было бы, если бы все взяли тетрадей столько, сколько взял Толя. 2) 6 : 3 = 2 (т.) – взял Толя. 1) 2 + 1 = 3 (т.) – взял Витя. 2)  3 + 1 = 4 (т.) – взял Дима. 1) 9 : 3 = 3 (т.) – взял Витя. 2) 3 – 1 = 2 (т.) – взял Толя. 3) 3 + 1 = 4 (т.) – взял Дима. З а к л ю ч е н и е Модели   являются   эффективным   средством   поиска   решения   задач.   Процесс моделирования   текстовой   задачи   повышает   мыслительную   активность   детей, способствует развитию вариативности мышления, а значит, делает решение задач более приятным и интересным.     Кроме составления модели к задаче, необходимо включать и обратные задания, а именно: составление текстов различных задач по модели, что будет способствовать развитию творческого мышления каждого ребенка. Для формирования умения решать задачи следует включать следующие задания:  На постановку различных вопросов к условию;  На составление условия по данному вопросу;  На подбор числовых данных или их изменение;  На составление задач по данному решению;  На выбор нужной модели к данной задаче. На основе построенной модели целесообразно включать задания на разнообразные преобразования задач:  Преобразование текстов, не являющимися задачами, в задачи;  Изменение вопроса так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);  Изменение условия так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);  Изменение вопроса (условия данных) так, чтобы задача стала нерешаемой;  Внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней появились лишние  (недостающие) данные;  Внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней исчезли лишние  (недостающие) данные;  Изменение текста в задаче так, чтобы в ее решении появилось обратное  действие. Помимо   заданий,   требующих   преобразованию   текстов   задач   на   основе   модели, следует учить детей подбору и самостоятельному составлению обратных задач. Постоянное   использование   всех   этих   аспектов   работы   с   задачами   дает   хорошие результаты, способствует формированию умения их решать. Организация индивидуального подхода при обучении решению задач через внутриклассную  дифференциацию Индивидуализация – это организация учебного процесса с учетом индивидуальных особенностей   учащихся,   которая   позволяет   создать   оптимальные   условия   для реализации потенциальных возможностей каждого ученика.    При   организации   индивидуального   подхода   в   процессе   обучения   решению   задач можно   использовать   дифференциацию   содержания   учебных   заданий   по   уровню творчества, трудности, по объему. Способы дифференциации могут сочетаться друг с другом, а задания могут предлагаться ученикам на выбор. Дифференциация учебных заданий по уровню творчества Это   могут   быть   задания   продуктивные   и   репродуктивные.   К   репродуктивным заданиям  относится, например, решение задач  знакомых видов. К продуктивным заданиям   относятся   упражнения,   отличающиеся   от   стандартных.   Ученикам приходится   применять   знания   в   измененной   или   новой   ситуации,   осуществлять более   сложные   мыслительные   действия.   В   процессе   работы   над   продуктивными заданиями школьники приобретают опыт творческой деятельности. 1. В вазе лежало 5 желтых яблок и 2 зеленых яблока. 3 яблока съели.  Сколько яблок осталось?       Задание для 1 –й группы.   Решите задачу. Подумай, можно ли ее решить другим  способом. Задание для 2­ й группы. Решите задачу двумя способами. Придумайте задачу с  другим сюжетом, но чтобы решение при этом не изменилось. Задание для 3 – й группы. Решите задачу двумя способами. Составьте задачу  обратную к данной и решите ее. Измените задачу так, чтобы ее можно было решить  тремя способами. Можно предложить продуктивные задания всем ученикам. 2. Для новогодних подарков привезли 48 кг конфет. В пакетах было     12 кг конфет,   а   в   коробках   в   3   раза   меньше,   чем   в   пакетах,   а   остальные конфеты были в ящиках. Сколько конфет было в ящиках? Задание для 1 – й группы.  Решите задачу. Составьте задачу обратную данной и решите ее. Задание для 2­ й группы. Решите задачу. Измените вопрос к задаче так, чтобы она решалась в четыре действия. Задание   для   3   –   й   группы:  Составьте   задачу   обратную   данной   и   решите   ее. Измените вопрос и условие задачи так, чтобы данные об общем количестве конфет стали лишними и решите ее. Дифференциация учебных заданий по уровню трудности Трудность задачи является психолого – дидактической категорией и представляет собой  совокупность многих  субъективных факторов,  зависящих  от  особенностей личности,   например,   таких   как   интеллектуальные   возможности.   По   трудности можно выделить три типа задач: 1. Задачи, решение которых состоит в стереотипном воспроизведении заученных действий. Степень трудности данных задач связана с тем, насколько сложным является навык воспроизведения действий и насколько он прочно усвоен. Чем более прочны навыки у человека, тем легче они воспроизводятся. Задача: Турист проехал на машине 146 км, а на пароходе на 50 км меньше, чем на автомобиле. Оставшийся  путь турист прошел  пешком. Сколько километров турист прошел пешком, если весь путь составил 264 км?          2.  Задачи,   решение   которых   требует   некоторой   модификации   заученных действий в изменившихся условиях. Степень трудности в данном случае связана с количеством элементов, которые необходимо координировать наряду с описанными особенностями. Задача: Турист проехал на машине 146 км, а на пароходе на 50 км меньше, чем на автомобиле. Пешком турист прошел 12км. Весь путь составил 264 км. Сколько километров турист проехал на пароходе?  Измените   условие,   чтобы   остались   только   те   данные,   которые   нужны   для решения.  Измените вопрос и условие, чтобы в задаче не было лишних данных.      3. Задачи, решение которых требует поиска новых, еще не известных способов действий.   К   данным   задачам   относятся   такие,   которые   требуют   творческой активности, поиска неизвестных схем действий. Задача: Турист отправился в путешествие, во время которого он ехал на машине, плыл на пароходе и шел пешком. На протяжении всего путешествия он наблюдал за очарованием природы. На основе приведенного текста составьте задачу так, чтобы ее решением было  числовое выражение:      1) 246 – ( 146 + ( 146 – 50 )       2) 146 + ( 146 – 40 ) + ( 146 ­ 40 ) :2 Можно предложить задачи с возрастающей трудностью. По количеству решенных задач   можно   судить   о   навыке   ребенка,   связанного   с   той   или   иной   темой.   Если ребенок не смог справиться с каким – либо заданием, то он должен объяснить, что вызвало   затруднение.   Это   позволит   учителю   скорректировать   свою   обучающую деятельность относительно каждого ребенка. Задача для 1 – й группы:  В   книге   95   страниц.   Миша   прочитал   35  страниц.   Сколько   дней   ему потребуется, чтобы дочитать книгу, если оставшуюся часть книги он будет читать по 15 страниц ежедневно? Задача для 2 ­  й группы:  В первой книге 95 страниц, а во второй 90 страниц. Миша прочитал 35 страниц первой   книги.   Сколько   дней   ему   потребуется,   чтобы   дочитать   первую   и прочитать вторую книгу, если он будет читать по 15 страниц ежедневно? Задача для 3 – й группы: В первой книге 95 страниц, во второй – 90 страниц, а в третьей – 150 страниц. Миша   прочитал   35   страниц   первой   книги.   Сколько   дней   ему   потребуется, чтобы дочитать первую книгу и прочитать вторую и третью книги. Если он будет читать по 15 страниц ежедневно? Дифференциация заданий по объему учебного материала Такой   способ   дифференциации   предполагает,   что   всем   учащимся   задается достаточно   большой   объем   однотипных   заданий.   В   зависимости   от   обученности детей задается различное количество заданий. При этом определяется обязательный объем, а за каждое дополнительное задание начисляются баллы. Это   могут   быть   и   одинаковые   задания   творческого   характера   по   составлению однотипных   объектов   и   требуется   составить   максимальное   их   количество   за определенное время. Например: Кто больше составит задач с различным содержанием, решением каждой из которых будет числовое выражение: (34­ 12):2+12; Дифференциация работы по степени самостоятельности учащихся При организации учебного процесса самостоятельная работа подразумевает, с одной стороны, учебное задание, которое должен выполнить ученик, с другой – форму проявления   соответствующей   деятельности   запоминания, воображения),  при  выполнении   учеником   данного   задания.   При   этом   ребенок   в конечном счете должен получить либо новые, ранее неизвестные ему знания, либо углубить   и   расширить   сферы   действия   уже   полученных   знаний.   Все   это подразумевает   индивидуальный   подход   к   ребенку   через   внутриклассную дифференциацию.   Наиболее   важное   значение   в   этом   деле   имеет   принцип доступности   и   систематичности.   Связь   теории   с   практикой,   принцип постепенности   в   нарастании   трудностей,  принцип  творческой   активности, которые можно реализовать через различные виды помощи ученику. (мышления,   Задача: Мастер за один час работы делает 2 изделия. Сколько изделий он сделает за  два дня, если первый день он работал 3 часа, а второй­4? Наиболее распространенными видами помощи являются: 1. Образец выполнения задания: показ способа решения, образца рассуждения (например, в виде подробной записи решения задачи) и оформления. Запись решения в виде числового выражения. Запись решения в данной форме осуществляется поэтапно:  2 * 3 – количество изделий изготовленных в первый день;  2 *4 – количество изделий изготовленных во второй день;  2 * 3 * 4 – количество изделий изготовленных за два дня. 2.  Справочные материалы: памятки, инструкции, теоретическая справка в виде правила, формулы, таблицы единиц длины, массы …. Можно выделить четыре приема поиска плана решения сюжетных задач: I. По модели; II. С   помощью   рассуждений   «от   вопроса   к   данным»   и   от   «данных   к вопросу»; III. Разбиение текста задачи на смысловые части; IV. Переформулировка   текста   задачи:   замена   данного   в   нем   описания другим,   сохраняющим   все   отношения,   связи   и   количественные   и качественные характеристики, но более явно их выражающим. Для   того  чтобы   проверить  правильность   решения,  составьте  и   решите   обратную задачу к данной по следующим этапам: I. Поставьте в текст задачи найденное значение искомого, то есть вместо вопроса задачи поставьте в текст задачи ответ на него; II. Выберите новое искомое; III. Сформулируйте новую задачу; IV. Решите составленную задачу; V. Сравните   полученное   число   с   той   данной   величиной   прямой задачи. 3.Вспомогательные  (наводящие)   вопросы,   прямые   или   косвенные   указания   по выполнению задания.  Сколько изделий изготовлено в первый день?  Сколько изделий изготовлено во второй день?  Сколько изделий изготовлено за два дня? 4. План решения задачи. I. Найдите количество изделий изготовленных в первый день. II. Найдите количество изделий изготовленных во второй день. III. Найдите количество изделий изготовленных за два дня. IV. Начало решения или частично выполненное решение. Воспользуйтесь схемой и решите задачу:       1) _*_=      2) _ * _ =      3) _ + _ =      Продолжите решение задачи: 1) 2 * 3 = 6 (д.) – изготовлено в первый день. 2) _ * _ = 3) _ + _ = Различные   виды   помощи   при   выполнении   учеником   одного   задания   часто сочетаются друг с другом. Организация   индивидуальной   работы   через   внутриклассную   дифференциацию   в учебном   процессе   подразумевает   действенное   внимание   к   каждому   ученику, предполагает   разумное   сочетание   различных   приемов,   позволяющих   повысить качество обучения и развития каждого ученика.  Организации самостоятельной работы в процессе обучения решению задач Под   самостоятельной   работой   учащихся   подразумевается   работа,   которая выполняется   ими   по   заданию   и   под   контролем   учителя   в   специально запланированное для этого время. Назначение самостоятельной работы – развитие познавательных   способностей,   инициативы   в   принятии   решения,   творческого мышления.  При   организации   самостоятельной   работы   необходимо   учитывать   ее   строгую регламентацию в ее единой системе самостоятельных работ, степень ее трудности и сложности. Используемая литература 1. С. А. Зайцева, И. И. Целищева «Решение   составных   задач   на   уроках   математики»   /   М.   –   Чистые пруды, 2006 2. Т. Г. Любимова «Хочешь быть умным? Решай задачи!» /Ч. – «Клио», 1999 3. Т. В. Шклярова «Устный счёт» / Издательство «Грамотей», 2006