"Решение задач как средство развития математических способностей учащихся 6 – 7 классов" Л. П. Шляжко учитель математики ГУО "Боровлянская средняя шкогла" Минского района Минской области

1 Л. П. Шляжко, учитель математики ГУО «Боровлянская СШ», Решение   задач   как   средство   развития   математических способностей учащихся 6 – 7 классов Включение   школьника   в   доступную   его   возрасту   математическую деятельность   –  основной   путь   развития   его   математических   способностей. Математика   начинается   вовсе   не   со   счета,   что   кажется   очевидным,   а   с… загадки,   проблемы.   Для   развития   творческого   мышления   у   школьника, необходимо,   чтобы   он   почувствовал   удивление   и   любопытство.   Начинать учить   мыслить   нужно   с   развития   способности   правильно   ставить   вопрос. «Почему?»,   «Чем   это   обусловлено?»,   «Как   доказать?»,   «Что   из   этого следует?», «От чего это зависит?» – неполный перечень вопросов, которые школьники должны научиться ставить и уметь отвечать на них.  Интерес и успешность обучения — вот те основные параметры, которые определяют   полноценное   интеллектуальное   и   физиологическое   развитие ребенка, а значит, и качество нашей работы с детьми. Опыт работы в школе  показывает, что не стоит готовить творческие задания   персонально   для   наиболее   способных   учеников   и   предлагать   их вместо   обычных   заданий,   которые   даются   всему   классу.   Такой   способ индивидуализации нельзя считать лучшим, поскольку он ставит в заведомо неравные   условия   детей,   делит   их   на   способных   и   неспособных.   Задания творческого характера должны даваться всему классу. При их выполнении оценивать   следует   только   успех.   Необходимо   всегда   внимательно выслушивать   ученика,   видеть   в   каждом   школьнике   индивида   с   особыми возможностями   и   дарованиями.   Так,   известный   американский   психолог Розенталь   утверждал,  что   в   ситуации,  когда   педагог   ожидает   выдающихся успехов от детей, они действительно этих успехов начинают добиваться, даже если раньше считались не очень способными. Воспитание   у   школьников   интереса   к   математике,   развитие   их математических   способностей   невозможно   без   использования   в   учебном процессе задач занимательного и нестандартного характера. Увлекательные задачи, математические игры могут стать первым шагом к обучению учеников умению   рассуждать   и   доказывать.   Решение   таких   задач   формирует математическую культуру школьника.  Если   взглянуть   на   задачи,   представленные   в   школьных   учебниках математики, то все они внутри каждой темы классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке её возрастания. В   методической   литературе   задачи   классифицируются   по   характеру требований     по функциональному   назначению   (задачи   с   дидактическими   функциями,   с (на   доказательство,   построение,   вычисление), 2 познавательными и развивающими), по величине проблемности (стандартные, поисковые, проблемные), по методам решения и т. д..    неопределённые   и   переопределённые. Например,   рассмотрим   классификацию   по   характеру   задачи   – определённые,   Школьникам преимущественно предлагаются задачи определённые, т.е. задачи, содержащие в условии ровно столько данных, сколько их требуется для получения ответа, не больше и не меньше. Но почему не больше и не меньше? Задачи   из   рассматриваемой   классификации   полезны   тем,   что   они   не обладая  алгоритмичностью решения, активизируют умственную деятельность обучающихся,  заставляют   их   искать   нестандартные   подходы   к   решению,  а также допускают несколько способов решения. Рассмотрим   подробнее   задачи   названных   типов   и   задумаемся,   какие творческие умения развивает каждая из них. I.   Задачи   с   несформулированным   вопросом   (задачи   открытого типа). В этих задачах не формулируется вопрос, но он логически вытекает из данных   в   задаче   математических   отношений.   Ученики   упражняются   в осмысливании   логики   данных   в   задаче   отношений   и   зависимостей.   Задача решается   после   того,   как   ученик   сформулирует   вопрос   (иногда   к   задаче можно поставить несколько вопросов). Рассмотрим примеры таких задач. 1. В   АВС А = 40º,   В = 47º. (Возможные варианты продолжения задачи, предложенные учениками: 1. Вычислите градусную меру угла С. 2. Вычислите градусные меры внешних углов треугольника). 2. До конца суток осталось 4/5 того, что уже протекло от начала суток. (Возможный вопрос, который поставят ученики: «Который сейчас час?») Обычная традиционная практика обучения математике заключается в том, что сам учитель формулирует и решает проблему (выводит формулу, доказывает   теорему   и   т.   д.).   От   ученика   же   требуется   лишь   запомнить формулировку,   принцип   решения,   ход   рассуждения.   Но   активная, самостоятельная   работа   мысли   начинается   только   тогда,   когда   перед человеком  возникает  проблема,  вопрос. Поэтому  задача  учителя  стараться так организовать занятия с учениками, чтобы перед детьми чаше возникали хотя   бы   несложные   математические   проблемы,   чтобы   они   сами   пытались самостоятельно решать эти проблемы.  3.  Например, на уроке обобщения и систематизации знаний   по   теме   «Параллельные   прямые» семиклассникам   можно   предложить   следующую задачу   открытого   типа:   «Отрезок  BF  –   медиана равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Точка О   лежит   на   стороне  BC,   отрезок  OP  –   высота треугольника  FOC  (рис.   1)».   В   результате   работы 3 ученики   сформулируют   вопрос:  «Являются   ли                     прямые  BF  и  OP параллельными?» Рис. 1        BF 4.  В треугольнике ABC AF – биссектриса угла BAC,   A  = CFA = 90º,   ABF = 70º (рис. 2). Проанализировав   условие   задачи   и,   доказав,   что треугольник  ABC  –   равнобедренный,   ученики   могут сформулировать вопрос задачи: «Вычислить градусные меры углов треугольника ABC».    Рис. 2 II.   Задачи   с   недостающими   данными.  В   задачах   этого   типа отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Школьник должен проанализировать задачу и доказать, почему нельзя дать  точного ответа на вопрос задачи, чего не хватает, что надо добавить. При решении   задач   данного   типа   у   обучающихся   вырабатывается   умение анализировать,   систематизировать,   рассуждать,   выстраивать   логическую цепочку, доказывать. Рассмотрим примеры таких задач.  1. Расстояние между Атосом и Арамисом, едущими верхом по дороге, равно 20 лье. За один час Атос проезжает 4 лье, а Арамис ­ 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?  Решение.  Ученик,   проанализировав   условие   задачи,   должен   рассмотреть следующие четыре случая: 1) мушкетеры едут навстречу друг другу, тогда расстояние между ними через час будет равно 20 –  (4 + 5) = 11 (лье); 2) мушкетеры едут в разные стороны, в этом случае: 20 + (4 + 5) = 29 (лье); 3) мушкетеры едут в одну сторону, Арамис догоняет Атос, т.е. 20 + 4 –  5 = 19 (лье); 4) мушкетеры едут в одну сторону, Арамис впереди: 20 + 5 –  4 = 21 (лье). 4 2. Прямые a и b пересекаются под углом 85 º . Прямая c пересекает a и  b так, что разность внутренних односторонних углов равна 75 º . Вычислите  градусные меры этих углов.  Решение.            Возможные здесь варианты появляются несколько неожиданно для  обучающихся, ведь для построения прямой с возможны две ситуации (Рис. 3 и рис. 4):                        Рис. 3                                                    Рис. 4 В этом случае имеем: 85+х+х+75=180 Здесь получаем: х=10, 85. Возможно   и   такое         размещение прямых. 180–85+х+х+75=180 х=5, 80. Ответ: 10 и 85 или 5 и 80. III. Задачи с лишними данными (переопределённые задачи).  В эти задачи   введены   дополнительные   данные,   маскирующие   необходимые   для решения условия. Ученики должны выделить те данные, которые необходимы для решения, и указать лишние. При решении таких задач школьники учатся сравнивать,   сопоставлять,   выявлять   противоречия.   Задачи   данного   типа полезно   дополнять   как   непротиворечивыми,   так   и   противоречивыми условиями. Для их решения новых знаний не требуется, но необходим новый подход к ним, новые мыслительные приёмы.  1. В прямоугольнике стороны равны 8,4 см и 3,9 см, а периметр 24,6 см. Найти   площадь   прямоугольника.   (Периметр   в   задаче   является   лишним данным   и   его   не   нужно   использовать   для   решения.   Однако   необходимо проверить, что длины сторон соответствуют периметру, что бывает не всегда). 2. В прямоугольнике длины сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна   25,3   кв.   см.   Требуется   найти   периметр   прямоугольника.   (Задача аналогичного   характера,   но   содержащая   противоречие   в   тексте.   Нужно проверить, соответствуют ли данные друг другу. Площадь прямоугольника не равна 25,3 кв. см). Остановимся ещё на некоторых типах задач. 5 IV. Задачи с меняющимся условием.  Такие задачи в 6 классе являются  пропедевтикой алгебраических задач, а в 7 – задач с параметром. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных   методов   решений   уравнений   и   неравенств,   наличие исследовательских   умений.   Это   требует   от   школьника   более   развитого логического мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.  Методически   было   бы   правильно   каждый   пройденный   тип   уравнений (неравенств)   завершать   задачами   с   использованием   параметра.   Во­первых, школьнику трудно привыкнуть к параметру за два­три занятия; во­вторых, использование   подобных   задач   способствует   закреплению   пройденного материала;   в­третьих,   они   способствуют   развитию   математической   и логической культуры школьника, развитию интереса к математике. Рассмотрим примеры таких задач. 1. Ваня и Петя вышли навстречу друг другу. Скорость Вани – 100 м/с, а Пети – 75 м/с. Расстояние между мальчиками равно s метров. Через сколько минут встретятся мальчики, если a) s = 525 м; б) s = 875 м; в) s = 2625 м; г) s = a м. 2. Сравнить ­ а и 3а. Решение. Ученик,   проанализировав   условие   задачи,   должен   рассмотреть следующие три случая: а > 0, а = 0, а < 0. Если а > 0, то  ­ a < 3а; если а = 0, то  ­ а = 3а; если а < 0, то  ­ а > 3а. 3.  При   каких   значениях   коэффициента  m  уравнение  mx  =   5   имеет единственный   корень?   Существует   ли   такое   значение   m,  при   котором   это уравнение не имеет корней; имеет бесконечно много корней? 4.  Найдите   значение  а  при   котором   уравнение  (а  – 3)x  =  3  имеет решение и при котором это уравнение не имеет корней. Решение.  Если а   3, то  Если а = 3, то 0х = 3, корней нет. V.   Логические   задачи.  Эти   задачи   сравнительно   легко   решаются   с применением   наглядно­образных   средств   (рисунков,   схем,   чертежей). 3  ,  х  а 3 6 Тренируется   способность   наглядно   выражать   математические   соотношения задачи. Сначала ученика просят решить указанные задачи рассуждением, без опоры на наглядные образы. 1. Школьники ходили в театр и кино. Каждый ходил либо в театр, либо в кино, но многие ходили и в театр и в кино. В театре было 89 % школьников, в кино – 78 %. Сколько школьников было и в театре и в кино? Решение.  Обозначим полоской 100 % школьников (рис. 5) и отметим слева те 89 %, которые были в театре: 11 % школьников не были в театре, значит, они были в кино (так как по условию каждый школьник был либо в театре, либо в кино).  Отметим справа те 78 % школьников, которые были в кино (рис. 6).  Рис. 5                                       Рис. 6 Из графической схемы ясно видно, что и в театр и в кино ходили 67 % школьников. Ответ: 67 %. 2.  Прозвенел   звонок   с   последнего   урока,   и   ученики   устремились   в столовую.   Поспешил   туда   и   учитель.   Ученики   сильно   проголодались   и прибежали в столовую быстрее учителя. В этот момент учитель прошел 80 метров. Но учеников без учителя кормить не стали, и они, не задерживаясь, побежали назад. Когда они встретились с учителем, он прошел еще 16 метров. Определите расстояние от класса до столовой.  Решение.  Представим   описанную   в   условии   задачи   ситуацию   в   виде схемы (рис. 7). Рис. 7 На приведенной схеме точка А – класс, точка D – столовая.  К моменту, когда  ученики  добежали  до  столовой,  учитель   дошел до точки В, пройдя расстояние АВ = 80 м. Побежав обратно, ученики встретили учителя в точке С. За это время учитель прошел путь ВС, равный 16 м. АВ : ВС = 80 : 16 = 5. 7 Двигаясь с постоянной скоростью, учитель прошел отрезок ВС в пять раз быстрее, чем АВ. Во столько же раз быстрее ученики пробежали отрезок DC, нежели AD. Отсюда расстояние DC составляет пятую часть расстояния от класса до столовой. Соответственно отрезок АС, равный 80 + 16 = 96 м, составляет четыре пятых этого расстояния.  АD = 96 : 4/5 = 120 м. Ответ: 120 м. 3.  Для новогоднего утренника купили   орехи,   конфеты и пряники  – всего 760 штук. Орехов взяли на 80 штук больше, чем конфет, а пряников  на 120   штук   меньше,     чем   орехов.   Какое   наибольшее   число   одинаковых подарков для детей можно сделать   из этого запаса? Решение.  Из рисунка (рис. 8) видно, что пряников было 200 штук, орехов 320, а конфет 240. НОД (200, 240, 320) = 40. Наибольшее количество  подарков ­ 40.                       |­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|                                                пряники |­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|­­­­­­­­­­­|       Всего  ­  760    конфеты               40 |­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­| орехи                                     120 Рис. 8 Интерес школьников к учению надо рассматривать как один из самых мощных факторов обучения. Математику надо рассматривать не как систему истин,   которые   надо   заучивать,   а   как   систему   рассуждений,   требующую творческого   мышления.   Умение   заинтересовать   математикой   –   дело непростое. Многое зависит от того, как поставить даже очевидный вопрос, и от  того,  как   вовлечь   всех   учащихся  в  обсуждение   сложившейся  ситуации. Творческая   активность   учащихся,   успех   урока   целиком   зависит   от методических приемов, которые выбирает учитель.  СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Булавацкі,   М.   П.,   Макавецкі,   І.  I.  Аб   задачах,   якіх   няма   ў школьных   падручніках/   М.   П.   Булавацкі,  I.  I.  Макавецкі   //   Матэматыка: праблемы выкладання. – 1999. – № 2, с. 59 – 64. 2. Бушуева,   Л.   С.   Активизация   творческого   мышления   младших школьников/ Л. С. Бушуева // Начальная школа: плюс До и После. –  2006  – №4. – С. 32 – 36. 8 3. Гнеденко,   Б.   В.   Развитие   мышление   и   речи   при   изучении математики / Б. В Гнеденко // Математика в школе. – 1991. – № 4. – С. 3 – 9.  4. Колмогоров, А. Н. Математика  наука и профессия / А. Н.  Коллмогоров.  – М.: Наука, 1988. 5. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей  школьников / В. А. Крутецкий –  М.: Просвещение, 1968. – 432 с. 6. Мазаник,  А.  А.  Реши   сам  /   А.  А.  Мазаник. –  Мн.:     Народная асвета, 1980. – 240 с. 7. Rosenthal,   R.,   Jacobson,   L.   Pygmalion   in   the   classroom   /   R. Rosenthal, L. Jacobson. – N.Y.: Holt, Rihenhart and Winston, 1968. 8. Романовский, Ю. Я. Олимпиады по математике. 5 – 7 классы / Ю. Я. Романовский, И. А. Корлюкова. – Мн. : Аверсэв, 2010. – 106 с. 9. Сапожников,   В.   М.  Внешние   и   внутренние   условия   развития математических способностей. [Электронный ресурс]   / В. М. Сапожников. Режим доступа:  http: //www.mironych.ru/3/2.html. – Дата доступа 13.09.2011. Спивак,   А.   В.   Математический   кружок.   6   –   7   классы   /   А.   В. 10. Спивак. М. : Посев, 2003. – 128 с.