Решение задач по статистике с использованием возможностей применения малых вычислительных средств

Решение задач по статистике с  использованием возможностей  применения малых  вычислительных средств Короткова  О.П.

введение  В соответствии с требованиями Стандарта основного  общего образования по математике к уровню  подготовки выпускников в результате изучения  математики (элементы логики, комбинаторики,  статистики и теории вероятностей) ученик должен  уметь:  извлекать информацию, представленную в виде  таблиц, диаграмм, графиков; составлять таблицы,  строить диаграммы и графики;  вычислять средние значения результатов измерений;  использовать приобретенные знания и умения в  практической деятельности и повседневной жизни  для анализа реальных числовых данных,  представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;  понимания статистических утверждений.

Основные понятия Простое описание Более научный  Определение термин Генеральная  совокупность Статистическая  выборка,  статистический  ряд Варианта Множество всех  возможных  результатов  измерения Множество  результатов, реально  полученных в  данном измерении Одно из значений  элементов выборки Вариационный  ряд Упорядоченное  множество всех  вариант Новый  термин Общий ряд  данных То, откуда  выбирают Выборка То, что выбрали Варианта Значение одного  из результатов  измерения Ряд данных Значения всех  результатов  измерения,  перечисленные по  порядку

Задача № 1. Ряд наблюдений. Табличное  и графическое представление результатов  наблюдений Умения и навыки:  уметь набирать таблицу;  находить сумму элементов;  находить частоту варианты;  строить график.

Задача № 1 (А. Г. Мордкович) 30 абитуриентов на четырех  вступительных экзаменах набрали в  сумме такие количества баллов (оценки  на экзаменах выставлялись по  пятибалльной системе):  20;19;12;13;16;17;15;14;16;20;15;19;20;20; 15;13;19;14;18;17;12;14;12;17;18;17;20;17; 16;17. Составьте общий ряд данных,  выборку из результатов, состоящих на  четных местах и соответствующий ряд  данных.

Решение:  После получения двойки дальнейшие экзамены не  сдаются, поэтому сумма баллов не может быть меньше  12 (12 – это 4 «тройки»). Значит, общий ряд данных  состоит из чисел 12; 13; 14;15; 16;17; 18; 19; 20. Выборка состоит из 15 результатов 19; 13; 17; 14; 20;  19; 20; …, расположенных на четных местах. Ряд данных – это конечная возрастающая  последовательность 13; 14; 17; 19; 20. Обработка информации. Составим таблицу из двух строк. В первой – ряд  данных. Во второй – кратность варианта (сколько раз  варианта наблюдалась в выборке)

Варианта Кратность  варианты 13 14 17 19 20 Всего: 5 вариант 2 3 6 2 2 Сумма = 15 (объем  выборки) 1) Создадим соответствующую таблицу на калькуляторе Очистим окно задач. Поставить курсор в любом месте первого столбца  (List 1). Нажать [F6], найти DEL­A ([F4]). Аналогично очистить все  столбцы. List 1­ озаглавим VAR ([ALPHA] – [2]; [ALPHA] – [X;Ө;T]; [ALPHA] – [6];  [EXE]) List 2 – озаглавим KRAT и наберем данные

2) Найдем объем выборки Поставим курсор в List 2 на строку 6 [OPTH] – [F1] (List) – [F6] – [F6] – [F1] (SUM) – [SHIFT] –  [1] – [2] – [EXE] 3) Найдем частоту варианты кратность варианты Частота варианты = объем выборки

Занесем частоту варианты в List 3 – озаглавим CHAST  и  внесем данные в таблицу распределения частот выборки Варианта Кратность варианты 13 2 14 3 17 6 19 2 20 2 Всего: 5 вариант Сумма = 15  (объем выборки) Частота варианты 2/15 3/15 6/15 2/15 2/15 Сумма = 1 4) Иногда частоты измеряют в процентах. Выделим  шапку List 4  и введем формулу: [SHIFT] – [1] – [3]  [*] [100] [EXE]

5) Строим график

[F1] (GRPH) [SEL] – STATGRAPH1 – ON,  все остальные – OFF [SET] – выделить вторую строку GraphType Scat – точка, XY – линия, выбираем Scat([F1]) –  [EXE] Строим List 1 – X (варианта), List 2 – Y  (кратность) – GPH1 Что мы на нем видим?

Задача № 2. Таблица частот.  Вычисление среднего  арифметического, медианы и моды.  Умения и навыки:  уметь набирать таблицу;  сортировать данные;  копировать данные;  найти значение медианы;  определить моду ряда;  найти среднее арифметическое.

  Лаборант­исследователь взвесил каждую картофелину из 30  картофелин одного сорта и записал ее массу с точностью до  10 г. Получился ряд чисел: 210, 200,210, 180, 190, 180, 190, 200,  170, 190, 190, 220, 170, 200, 190, 210, 200, 190, 180, 170, 220, 190,  180, 210,200, 190, 180, 200, 200, 190. Рассмотрите числовую информацию и выполните  следующие задания: 1) Введите данные в калькулятор и с помощью калькулятора:   а) расположите числа в ряду в порядке возрастания;   б)определите медиану ряда (запишите ее значение);   в) дополните таблицу столбцом частот, определите моду ряда. 2) Используя калькулятор, найдите среднюю массу картофелины  (среднее арифметическое данных) и сравните ее с модой  ряда. Сделайте вывод. Определите, сколько примерно  картофелин окажется в 50 кг картофеля рассматриваемого  сорта.

Основные понятия:  Медианой упорядоченного ряда чисел с  нечетным числом членов называется  число, записанное посередине, а  медианой упорядоченного ряда чисел с  четным числом членов  называется  среднее арифметическое двух чисел,  записанных посередине.  Модой ряда чисел называется число,  наиболее часто встречающееся в данном  ряду.

Очистим окно задач. Поставить курсор в любом месте  первого столбца (List 1). Нажать [F6], найти DEL­A ([F4]).  Аналогично очистить все столбцы. Решение задачи: 1) Введем данные задачи в калькулятор (мы возьмем только  12 данных).

а) Для расположения чисел в порядке возрастания  переместимся по меню функциональных клавиш с помощью  стрелки [F6], выберем подменю TOOL [F1] и в нем нажмем  SRT­A ([F1]). На экране появится сообщение Сортировать столбцы в порядке возрастания.  Сколько столбцов сортировать?  Набираем [1] и [EXE]

Появляется новый запрос: Выберите столбец. Введите номер столбца Набираем [1] и [EXE] В первом столбце числа расположены в  порядке возрастания

б) Найдем медиану ряда.  В нашем случае в ряду 12 чисел. Найдем числа,  стоящие на 6 и 7 местах: каждое из них равно 190.  Значит, медиана данного числового ряда равна 190.  Если бы данные были бы разные, то взяли бы их  среднее арифметическое. Найдем значение медианы с помощью калькулятора. Нажмем [OPTN] – LIST [F1] – [F6] – MED [F4] – [SHIFT] – [1]  – [1] – [)] – [EXE]

в) Определим моду ряда. Скопируем данные в столбец 2.  Выделим «шапку» столбца 2, введем название копируемого  столбца:  [SHIFT] – [1] – [1] – [EXE] Подсчитаем в «ручную» частоту каждого элемента столбца 2,  одновременно записывая полученные значения в столбец 3 и  попутно удаляя из столбца 2 повторяющиеся числа. Мы видим, что 190 встречается 4 раза. Мода этого ряда чисел  равна 190. В данном случае  значение моды и медианы совпадают.

2) Найдите среднюю массу картофелины (среднее  арифметическое данных) и сравните ее с модой  ряда.  а) Найдем массу всех картофелин. Для этого:  Очистим ячейку 13 столбца 1;  Перейдем в ячейку 1 столбца  4;  [OPTH] – [F1] – [F6] – [F6] – SUM [F1];  [SHIFT] – [1] – [1] – [EXE] получили 2330.

б) Найдем среднюю массу картофелины (среднее  арифметическое данных) В ячейку 2 столбца 4 введем формулу 2330/12 – [EXE]  получим 194,16 Второй способ Курсор в ячейку 3 столбца 4 [F6] – [F6] – MEAN [F3] [SHIFT] – [1] – [1]

 РЕЗУЛЬТАТ ОКГРУГЛИТЬ ДО ДЕСЯТКОВ 194,16 = 190. Мода  ряда данных равна 190 г., т.е. среднее значение и мода  ряда данных совпадают с точностью до 10 г.  Определим, сколько примерно картофелин окажется в  50 кг картофеля рассматриваемого сорта. В ячейку 4  столбца 4 введем формулу 50000 / 190 ­ [EXE]  получим 263,15 Ответ: в 50 кг картофеля примерно 260 шт.

Интервальный ряд, построение  гистограммы

 Как войти в данное МЕНЮ:  GRPH[F1] – SET[F6] –  выделить Graph Type  – [F6] – Hist[F1] – EXE (EXIT) – SEL[F4] –  DRAW[F6]

Задача № 3 Вызовы лифта  Умения и навыки:  определять размах ряда;  строить интервальный ряд;  составить таблицу;  построить гистограмму.

В небоскребе 90 этажей. За день лифт вызывали на  каждый день несколько раз. К вечеру получилось, что  число вызовов составляет (в порядке возрастания  порядкового номера этажа) следующий ряд: 29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22, 21 19, 23, 15, 24,  13, 19, 17, 26, 17, 24,8,10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15,  6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24, 12, 5, 14, 26, 5, 10, 21, 17, 8,  25, 18, 29, 21,17,15, 28, 12, 26, 22, 10, 26, 11, 18,16, 22,  29,13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8,  22,18,14 (т.е. на первый этаж лифт вызывали 29 раз, на  второй – 9 раз, на третий – 27 раз т.д.) Выполните следующие задания: 1) Определите размах ряда и выберите наиболее  удобную длину промежутка для построения  интервального ряда. 2) Составьте таблицу и постройте гистограмму

Основные понятия:  Размахом ряда чисел называется разность  между наибольшим и наименьшим из этих  чисел.  Интервальный ряд. Разность между  наибольшим и наименьшим значениями делят  на несколько равных частей (примерно 5  ­10)  и, округляя полученный результат,  определяют длину интервала.

Решение: 1) 2) ­ ­ ­ Очистим окно задач. Поставить курсор в любом месте  первого столбца (List 1). Нажать [F6], найти DEL­A ([F4]).  Аналогично очистить все столбцы. Введем данные в калькулятор (столбец 1) и упорядочим их по  возрастанию (столбец 2).  Введем первых 20 чисел (для экономии времени) Скопируем столбец 1 в столбец 2. Выделим «шапку» столбца  2, введем название копируемого столбца:  [SHIFT] – [1] – [1] –  [EXE] Для расположения чисел в порядке возрастания  переместимся по меню функциональных клавиш с помощью  стрелки [F6], выберем подменю TOOL [F1] и в нем нажмем  SRT­A ([F1]) – [1] – [2]

 Найдем максимальное и минимальное значение в столбце 1.  [OPTH] –LIST [F1] –[F6] –MAX[F2] –[SHIFT] – [1]­ [)] = 29  MIN[F1] – [SHIFT] – [1] ­ [ ) ]  = 6 Максимальное число вызовов лифта приходится 1 и  минимальное число вызовов на 6 этажи. Интервальный ряд разобьем  на 5 интервалов и длину  интервала примем равной 4. Имеем интервальный ряд: 6­9, 10­13, 14­17, 18­21, 22­25, 26­29 Примечание. За начало первого  интервала часто выбирают  наименьшее данное или  ближайшее к нему целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают число  данных, попадающих в этот интервал.

2) Построим гистограмму. Выйдем из подменю сортировки [EXIT], GRPH[F1]  режим построения графика, SET[F6] режим  настроек параметров статистических графиков,  нажмем GPH1[F1], и выделим строку Graph Type, по  стрелке [F6], нажмем Hist[F1] – EXE Нажмем GRH1[F1], войдем в окно задания параметров  для построения гистограммы. Start – 5, Width – 5 –  EXE.

Получили графическое изображение интервального ряда. Х – нижняя  граница интервала, f – частота события «попасть в данный интервал». Для вывода курсора на экран нажмем [SHIFT] – [F1] (Trace). По данным калькулятора составим таблицу: Интервал Частота 5­9 4 10­14 15­19 20­24 25­29 3 4 6 5 Найдем среднее арифметическое членов исходного ряда. Для  этого возьмем середину каждого интервала и  соответствующую этому интервалу частоту:

Интервал Частота 7 4 12 3 17 4 22 6 27 5 Для упрощенного ряда найдем среднее арифметическое: 7*4+12*3+17*4+22*6+27*5 = 19,95 20 Посмотрим как изменяются  данные относительно их среднего  арифметического. Построим  гистограмму для двух  интервальных рядов

Частоты совпадают. Значение среднего арифметического  совпадает со значением медианы. «Пролистывая» столбец  2, видим, что 10 и 11 члены ряда, состоящего из 20 членов,  соответственно равны 19 и 20.