Решение задач (системы счисления)

1. В какой системе счисления 2*2=10? 2. Один шестиклассник о себе написал так: «Пальцев у меня 24, на каждой руке 5, а на ногах 12». Как же это могло быть? 3. Запишите:  245610 в пятеричной системе счисления;  32110 в троичной;  6410 в двоичной; 4. Запишите в десятичной системе счисления следующие числа:  1001012; 1200123; 4032005; 50418. 5. Во сколько раз увеличится число 3256, если:  приписать справа один нуль;  приписать справа три нуля? 6. Во сколько раз уменьшится число 2120003, если:  отбросить справа один нуль;  отбросить три нуля? 7. В какой системе счисления:  2310 запишется как 212;  3310 как 53;  4210 как 52? 8. Какое из чисел больше:  310 или 38;  1410 или 148;  1112 или 1118? 9. Выполните указанные действия:  10110012+10001112;  110112 * 11012;  3225 * 145;  1111010101112: 10112;  32405+40255;  14218 + 204768;  232658 – 47628; 1 1213* 123;  1201013: 1023; 10. В какой системе счисления будет:  4*4=31;  3*3=10? 11. Установите, в какой системе счисления выполнялось каждое из следующих действий:  23+14=42;  71-36=33;  14*2=30;  55:4=13. 12. Если 4*4=20, то чему равно произведение 5*5 (в той же системе счисления)? 13. Число, записанное в десятичной системе счисления, оканчивается цифрой 5. будет ли это число кратно 5, если его записать в системе счисления с основанием 3? 14. Запишите в троичной системе счисления год своего рождения, текущий год. 15. Составьте таблицы сложения и умножения однозначных чисел в системе счисления с основаниями:3; 6. 16. 1.  Чему равно число х в десятичной системе счисления, если х = 103 + 102 • 105? 17. 2.  В   классе   1111002%   девочек   и   11002 мальчиков.   Сколько учеников в классе? 18. 3.  У меня 100 братьев. Младшему  1000 лет, а старшему  1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть? 19. 20. 4.  В двоичной системе счисления таблица сложения имеет вид: 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 10. 21. Составить таблицы сложения в следующих системах счисления: 22. а) пятеричной; 23. б)троичной. 24. 25. 5.  Выполнить операцию сложения над двоичными числами. 26. а) 1011 + 100; 27. б) 10010+101; 228. в) 1011 + 1100; 29. г) 1001 + 11; 30. д) 11101 + 101; 31. е) 1101 + 1011. 32. Для   того   чтобы   убедиться   в   правильности   полученных результатов,   найдите   десятичные   эквиваленты   операндов   и результатов. 33. 6.  Найти суммы чисел в троичной системе. 34. а) 101 + 121; 35. б)  2012 + 1211. 36. 37. 7.  Найти суммы чисел в пятеричной системе. 38. а) 221 + 104; 39. б) 432 + 114. 40. 41. 8.  Найти суммы чисел в восьмеричной системе. 42. а) 66 + 43; 43. б) 515 + 324. 44. 45. 9.  В   классе   1000д учеников,   из   них   120д девочек   и 110д мальчиков.   В   какой   системе   счисления   велся   счет   уче­ ников? 46. 10.  В саду 88 фруктовых деревьев, из них 32д яблони, 22д груши, 1од слив   и 17д вишен.   В   какой   системе   счисления   посчитаны деревья? 47. 11.  В математической олимпиаде участвовали 13 девочек и 54 мальчика,   а   всего   100   человек.   В   какой   системе   счисления записаны эти сведения? 48. 12.  Было 53 яблока. После того как каждое из них разрезали пополам,   стало   136   половинок.   В   системе   счисления   с   каким основанием вели счет? 49. 50. 13.  Один мальчик так написал о себе: «У меня 24 пальца, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как это может быть? 51. 52. 14.  В   бумагах   одного   чудака­математика   была   найдена   его автобиография.   Она   начиналась   следующими   удивительными 3словами: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100­летним молодым человеком, я женился на 34­летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 11 лет — способствовала   тому,   что   мы   жили   общими   интересами   и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая се­ мья   из   10   детей.   Жалования   я   получал   в   месяц   всего   200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц» и т. д. Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка? 53. 54. 15.  В   комнате   веселились   1425 мух.   Петр   Петрович   открыл форточку   и,   размахивая   полотенцем,   выгнал   из   комнаты 225 мух.   Но   прежде   чем   он   успел   закрыть   форточку,   213 мух вернулись обратно. Сколько мух теперь веселится в комнате? 55. 56. 16.  Восстановить   неизвестные   цифры,   обозначенные   знаком вопроса,   в   следующих   примерах   на   сложение   и   вычитание, определив   вначале,   в   какой   системе   счисления   изображены числа. 57. а)   2?21   б)   5?55   в)   21?02   г)   _4?5   д)_1536 +  123?       +  ?327     +  ?1212   136      ?42 58. ?203 ?16?4 ?2?021 ?56                              674 59. 60. 17.  Дать «серьезные» ответы на «несерьезные» вопросы. 61. а) Когда 2 • 2 = 100? 62. б) Когда 2 • 2 = 11? 63. в) Когда 10 — нечетное число? 64. г) Когда 2­3 = 11? 65. д) Когда 3­3 = 13? 66. е) Когда 21 + 24 = 100? ж) Когда 22 + 44 = 110? 67. з) Когда одновременно 3 + 4 = 7и3*4 = 13? 68. и) Когда 6 • 6 = 44? к) Когда 4 • 4 = 20? 69. 70. 18.  Расставить знаки арифметических операций вместо знаков вопроса   так,   чтобы   были   верны   следующие   равенства   в двоичной системе: 71. а) 1100? 11 ? 100 = 100000; 72. б) 1100? 10? 10 = 100; 73. в) 1100? 10? 10 = 110000; 474. г) 1100? 10? 10 = 1011; 75. д) 1100 ? 11 ? 100 = 0. 76. 77. 19.  Фокусник   высыпает   на   стол   300   монет   достоинством   в   1 рубль   и   предлагает   задачу:   разложить   деньги   по   девяти кошелькам так, чтобы можно было уплатить любую сумму от 1 рубля   до   300   рублей,   не   открывая   кошельков.   Как   можно разложить монеты. Решение задач по теме «Системы счисления» Теоретический материал Системы счисления Системой счисления называется  совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами. Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.  Система счисления называется  непозиционной, если значение цифры в записи числа  не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древнегреческая и др. Система счисления называется позиционной, если значение цифры в записи числа  зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры   позиционных   систем   счисления:   десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др. В позиционных системах счисления основание системы счисления – это количество цифр, используемых в записи числа. В таблице собраны примеры нескольких систем счисления с указанием их основания и алфавита. Название системы Основание Используемые цифры 10 2 8 16 Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная В следующей таблице приведены первые 17 числе нескольких систем счисления: Основание «10» «2» «8» 2 8 10 11 100 101 110 111 … 2 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 0 0 0 1 1 1 3 3 4 4 7 7 5 5 6 6 9 10 11 12 13 14 15 16 10 11 12 13 14 15 16 17 20 55 6 0 1 2 3 4 «16» 10 Обратите внимание, что при последовательном счете, начиная с нуля, в любой системе обязательно наступает момент, когда число становится двузначным и обозначается как «10». Появление двух знаков в изображении числа означает, что кончились знаки алфавита данной системы счисления и приходится использовать комбинацию из двух цифр.  9 A B C D E F 7 8 Развернутая форма записи чисел В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде: Aq = (an­1qn­1+an­2qn­2 + … +  a1q1 + a0q0 + a­1q­1 + a­2q­2 + … + a­mq­m) – развернутая форма числа.  Здесь: А – само число, q – основание системы счисления, ai – цифры данной системы счисления (an­2; an­1 и др.), n – число разрядов целой части числа, m ­ число разрядов дробной  части числа.   Пример 1. Записать в развернутом виде число А10 = 5124,23 5124,2310 = 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100 + 2*10­1 + 3*10­2 Пример 2. Записать в развернутом виде число А8 = 327,14 327,148 = 3*82 + 2*81 + 7*80  + 1*8­1 + 4*8­2 Пример 3. Записать в развернутом виде число А16 = 3D,2E 3D,2E 16 = 3*161 + D*160 + 2*16­1 + E*16­2 = 3*161 + 13*160 + 2*16­1 + 14*16­2 Свернутой формой записи чисел называется запись в виде   A  =  an­1an­2…a1a0,a­1a­2…a­m  .  именно   такой   формой   записи   чисел   мы   пользуемся   в повседневной жизни. Перевод из десятичной системы в другие системы счисления Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую. 1. Последовательно  выполнять деление  данного числа и получаемых  целых частных на основание   новой   системы   счисления   до   тех   пор,   пока   не   получится   частное,   меньше делителя. 2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, , привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 3.   Составить   число   в   новой   системе   счисления,   записывая   его,   начиная   с   последнего частного. Например, для перевода из десятичной системы в двоичную, делят на 2; для перевода в восьмеричную – на 8 и т.д.  Пример 4. 17510  x2 6Таким образом, 17510 101011112 Пример 5. 17510 х8 Таким образом, 17510 2578 Пример 6. 17510 х16 Число   15   в   шестнадцатеричной   системе   записывается   как   «F»,   а число 10 – как «А». Таким образом, 17510 AF16 Дробную часть числа, если таковая имеется, переводят по другому алгоритму.  1. Последовательно умножить данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа. 2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 3.   Составить   дробную   часть   числа   в   новой   системе   счисления,   начиная   с   целой   части первого произведения. Пример 7 0,62510 x2 0, 0 0 625 *2 1250 *2 2500 *2 70 1 5000 *2 0000 Получаем: 0,62510 0,00012 Пример 8. 0,6562510 x8 Получаем: 0,6562510 0,528 Пример 9. 0,6562510 x16 0, 5 2 0, 10 (А) 8 65625 *8 25000 *8 00000 65625 *16 50000 *16 00000 Получаем: 0,6562510 0,А816 Пример 10 . 0,910 x2 0, 1 1 1 0 0 1 9 *2 8 *2 6 *2 2 *2 4 *2 8 *2 6 ….. Этот перевод можно продолжать бесконечно. В этом случае деление производим до тех пор, пока не получим нужную точность представления числа.  Получаем: 0,910 0,1110012 с точностью до семи значащих цифр после запятой. Для   перевода   произвольных   чисел,   т.е.   содержащих   целую   и   дробную   части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой. Пример 11. 2145,8610 х16. Дробную часть вычислять до пятого знака. 1)  214510 х16   8214510 86116 0, 2) 0,8610 х16 86 *16 76 *16 16 *16 56 *16 96 13 (D) 12 (C) 2 8 15 (F) 36 Получаем: 0,8610 0,DC28F2 с точностью до пяти значащих цифр после запятой. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную. 1.   Представить   число   в   развернутой   записи.   При   этом   основание   системы   счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления. 2. Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления. Пример 12.  1101,012  х10 1. Запишем число 1101,012 в развернутой форме: 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2­1 + 1*2­2. 2. Найдем сумму ряда: 23 + 22 + 20 + 2­1 + 2­2 = 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,7510. Пример 13.  0,718  х10 1. Запишем число 0,718 в развернутой форме: 7*8­1 + 1*8­2. 2. Найдем сумму ряда: 7*0,125 + 0,0625 = 0,937510. Перевод чисел из двоичной системы счисления   в систему счисления с основанием   q = 2n.  Алгоритм перевода двоичных чисел в систему счисления с основанием q = 2n. 1. Целую часть двоичного числа разбить справа налево, а дробную   ­ слева направо на группы по n цифр в каждой. 92. Если в крайней левой в целой части и/или в крайней правой в дробной части группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить нулями до нужного числа разрядов. 3.   Рассмотреть   каждую   группу   как  n­разрядное   двоичное   число   изаписать   ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием =2n. Пример 14.  1101110,00012  х8 1101110,00012  156,048 Пример 14.  1101110,00012  х16 1101110,00012  6Е,116 Перевод   чисел   из   системы   счисления     с   основанием  q  =   2n  в   двоичную   систему счисления. Алгоритм перевода чисел из системы счисления  с основанием q = 2n в двоичную систему счисления. 1. Каждую цифру числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n,   заменить ее n­разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления. Пример 15.  315,028  х2 315,028  11001101,000012 Пример 16. 12С16  х2 1012С16  1001011002 Двоичная арифметика Таблица сложения двоичных чисел +  0 1 0 0 1 1 1 10 1 означает перенос в следующий разряд Таблица вычитания  двоичных чисел ­ 0 1 0 0 1 1 11 0 1 означает заем из старшего разряда Таблица умножения  двоичных чисел * 0 1 0 0 1 1 0 1 Пример 17.   1101,01 +  111,10  10100,11   1001,10 ­­  100,01     101,01 Обратите   внимание   на   то, что 1 +1 +1 = 1 + перенос 1 в следующий разряд Примеры из заданий ЕГЭ                                          1011                            *  101                              ­­­­­­                              1011                          1011                     ­­­­­­­­­­­­­                      110111 1. Задание А1 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru) Дано А=9D16, B=2378. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A