Сатья на тему: "Приложения векторной алгебры к доказательству теорем"

ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ.

3адача.1. Два треугольника  АВС и  расположены так, что вершины _<  последнего лежат соответственно на лучах  кроме того, . Выяснить, при каких ограничениях накладываемых на числа  существует треугольник , стороны которого соответственно параллельны и конгруэнтны отрезкам .

Решение.   Из условий задачи следует, что

 = λ₃c   = λ₁a ,   ₂b , где c=  ,

a =  b =  . Отсюда получаем (см. рис. 1):

                 = c + λ₁a ,  = a+ λ₂b,   = b+ λ₃c          

Треугольник A₀B₀C₀  существует   тогда  и   только    тогда, когда выполняется   одно из следующих четырех условий:

                                          ₁ + ₁ + ₁ = 0;  ( 1)

 ₁ – ₁ = 0;  (2 )

                                          ₁ — ₁ +₁ = 0;  ( 3 )

                                        —₁ + ₁ +₁ = 0.  ( 4 )

Подставив значения векторов  ₁ , ₁ , ₁ из соотношений (1) в (2) и учитывая, что а + Ь + c = 0, получим: λ₁a + λ₂b + λ₃c = 0. Так как  с = -Ь - а, то отсюда будем иметь: (λ₁ – λ₃ )а + (λ₂ – λ₃ ) Ь = 0.

В силу неколлинеарности векторов а и Ь получаем: λ₁ = λ₂ = λ₃.

Из соотношения (3), учитывая (1), получаем:

 a(1+ λ₁ ) + Ь (λ₂ — 1) + с (1 — λ₃) = 0.

 Учитывая, что с = — а — Ь, бу­дем иметь:

 а (λ₁ + λ₃) + Ь (λ₂ + λ₃ – 2 ) = 0.

 Отсюда получаем:  λ₁ + λ₃ = О, λ₂ + λ₃ — 2 = 0. Так как по условию задачи

λ₁ >0 и λ₃ > О, то этот случай невозможен. Точно так же убеждаемся в том, что случаи (4) и (5) не могут иметь место. Мы пришли к выводу, что треугольник существует тогда и только тогда, когда   λ₁ = λ₂ = λ₃.

В частности, если АА₁, ВВ₁ и СС₁ являются медианами треуголь­ника АВС, то  и:

 λ₁ = λ₂ = λ₃ = . и треугольник А₀В₀С₀ сущест­вует. Мы получили известную теорему элементарной геометрии: для любого треугольника существует другой треугольник, стороны кото­рого соответственно параллельны и конгруэнтны медианам исходного треугольника.

Интересно отметить, что если АА₁ ВВ₁ и СС₁ являются биссектри­сами неравностороннего треугольника, то, как легко понять,  λ₁ , λ₂ , λ₃. не равны друг другу, и поэтому в данном случае ∆A₀B₀С₀ не суще­ствует.

Задача 2. Доказать, что для любого треугольника АВС имеет место соотношение:

             BC² = AB² + AC² – 2AB * AC * cos φ   ВАС

                где φ =  BAC

  Решение. Введем обозна­чения: =с, = Ь  ,= а. Очевидно, Ь —с = а.  Отсюда (b—с)(Ь — с) = а • а , или

 Ь • Ь —  2bc +  сс = аа.  Используя 

 гео­метрический смысл скалярного произведения, получаем  искомый  результат.

Следствием этой задачи являют­ся прямая и обратная теоремы Пи­фагора: для того чтобы треуголь­ник AВС был прямоугольным с прямым углом при вершине А, необходимо и достаточно, чтобы = АВ² + АС².

Задача 3. Доказать, что для любого треугольника АВС
                                                имеет место соотношение:  /

где а = ВС, Ь = СА, с = АВ.

Решение.    Возьмем   прямоугольный декартовый    базис I, j  так, как указано на рисунке 25. Если обозначить через {α, β}  координаты  вектора, то в силу принятых обозначений будем иметь:  ,  {Ь, 0}, . ( -Ь, 0),

  СВ.

По формуле известной нам из предыдущего параграфа  определим синусы углов

 А =  и C  = :

         sin A =  =  ,    sin C =  =

Отсюда, исключая  ,  получим:   .  Точно так   же можно доказать второе соотношение.

При решении многих задач весьма полезной является следующая  лемма:

Лемма (1) . Если АВС — произвольный треугольник, а М

середина стороны ВС, то  =  ( + ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения разности векторов  имеем:

—  =  — = .  Сложив эти соотношения в результате получаем: 2 —  —  = 0, или  =  ( + ).

Задача 4. В треугольнике АВС вычислить длину медианы m_{a ,} зная угол А и две стороны АВ = с, АС = Ь                                                                                                                                                      

Рис 1.

Решение. Пусть М — середина стороны ВС треугольника AВС. Сог­ласно теореме [6,4 ), г) имеем: m_a =    ( 1 )

 Согласно  лемме   (1 ) имеем:  = , где c =  и b = .

Подставив это  значение  в   ( 1 ) , получаем:b²

m_a =   =   =  .

Задача 5. Доказать, что высоты любого треугольника имеют одну                             общую точку.

Решение. Пусть AВС — данный треугольник, ,0 — точка пересечения двух высот АН₁ и  ВН₂ (рис. 1 ). Если обозначить через r₁ , r₂ и r₃ соответственно векторы ,  и   , то  •  = 0 и

 *  = 0, поэтому r₁ (r₃ — r₂) = 0 и r₂ (r₁— r₃) = 0.

Воспользуемся следующим тождеством, в справедливости кото­рого легко убедимся, если раскрыть скобки:

( r₂ – r₁ ) r₃ + ( r₃ – r₂ ) r₁ + ( r₁ – r₃ ) r₂  = 0.

Учитывая предыдущие соотношения, получаем:

( r₂ – r₁ ) r₃ =0 или * = 0 . Отсюда следует, что ОС — высо­та треугольника АВС. Задача решена. 

Учитель математики ГКОУ РД «РЦДОДИ»     Гаджимирзаев М.М.