Сборник "Решение тригонометрических уравнений"

  • doc
  • 01.06.2020
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Сборник содержит материал для подготовке к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Иконка файла материала сборник Решение тригонометрических уравнений.doc

МБОУ «Лицей города Абдулино»

 

 

 

Методические аспекты подготовки учащихся

 к решению тригонометрических уравнений (Задание №13)

учитель математики: Кривцова Светлана Александровна

 

 

 

 

 

 

г. Абдулино 2020г.

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Оглавление

 

1.     Критерии оценивания выполнения задания №13

3

2.     Основные формулы тригонометрии

3

3.     Классификация методов решения тригонометрических уравнений

5

4.     Восемь способов  решения одного уравнения

8

5.     Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

14

6.     Решение тригонометрических уравнений из материалов ЕГЭ

17

 

 

 


  1. Критерии оценивания выполнения задания №13

 

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получены верные ответы в обеих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,

или

получен ответ неверный из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

 

  1. Основные формулы тригонометрии

 

1) основное тригонометрическое тождество sin2α +cos2 α= 1,

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса,  соответственно имеем

 

2) формулы двойного аргумента sin2α =2 sinα cos α,

                                                                  cos 2α =  cos2 α - sin2α,

                                                                  cos 2α =  1- 2sin2α,

 

 3) формулы понижения степени: 

 

4) формулы суммы и разности двух аргументов:

sin(α+β)=sinα cos β +cos α sin β

sin(α-β)=sinα cos β -cos α sin β

cos(α+β)=cosα cos β +sin α sin β

cos(α-β)=sinα cos β +sinα sin β

 

 5)Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

 f ( n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,

 f ( n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,

 f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha),\,

 f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha).\,

 

 

 

6) Суммы суммы и разности тригонометрических уравнений

 \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}

 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}

 \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}

 \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}

 1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .

 

         6)  Чётность

           Косинус— чётная, синус, тангенс и котангенс— нечётные, то есть:

 \sin \left( - \alpha \right)  =  - \sin \alpha \,,

 \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,

 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,

 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,

   

     7) Непрерывность

         Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и имеет точки разрыва ,котангенс   0; ±π; ±2π;…

       8) Периодичность

       Функции y = cos x, y = sin x — периодические с периодом 2π,

       функции  y = tg x и  y = ctg x — c периодом π.

 

9) Знаки тригонометрических функций по четвертям

 

 

10)Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов

 

 

Определение. Уравнения, в которых  переменная стоит под знаком тригонометрической  функции, называются тригонометрическими.

 

Типы тригонометрических уравнений

ü  Простейшие

ü  Сложные:

  1. уравнения, сводимые к алгебраическим
  2. однородные уравнения
  3. уравнения, решаемые разложением на множители
  4. применение условия равенства одноименных тригонометрических функций
  5.  применение формул сложения тригонометрических функций и формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму
  6. уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
  7. уравнения вида a sin x+b cos x= c

 

  1. Классификация методов решения тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений можно свести в легко запоминающуюся таблицу:

 

нет решения

,

,

,

,

нет решения

,

,

,

,

a – любое

,

,

,

,

,

,

 

 

Методы

Суть метода

1.

Разложение на множители

а) путём вынесения общего множителя за скобки

б) с помощью формул сокращённого умножения

в) разложение на множители квадратного трёхчлена

г) способом группировки и т.д.

2.

Введение новой переменной

а) сведение к квадратному уравнению

Путём введения новой переменной уравнение сводится к квадратному уравнению

 

б) универсальная подстановка

;

(, т.е. , )

после подстановки получается рациональное уравнение относительно вспомогательного неизвестного

в) введение вспомогательного аргумента

Часть уравнения  приводится к виду , где  .

3.

Сведение к одному уравнению

Использование тождества .

4.

Тождественные преобразования в решении стандартных тригонометрических уравнений

Решение уравнения представляет собой цепочку тождественных преобразований. Целью этих преобразований является сведение тригонометрического уравнения к хорошо известному виду уравнению алгебраического, а далее к нескольким элементарным тригонометрическим уравнениям.

Пример: .

Решение: применив формулу преобразования произведения в сумму, получим , . Применим формулу преобразования разности синусов в произведение имеем: ,

 или , получим ответ: ; .

5.

Решение тригонометрических уравнений возведением обеих частей уравнения в квадрат

Пример: .

Возведя обе части в квадрат  и применив формулу  имеем ,

,

 или .

Так как при возведении в квадрат возможно появление посторонних корней, то необходима проверка получения корней

, ,

, .

Ответ: , , , .

6.

Методы искусственных преобразований

1)     Умножение обеих частей на одну и ту же тригонометрическую функцию.

Пример: . Раскроем скобки и преобразуем произведение  в сумму: , .

Умножим обе части уравнения на  ( не является решением уравнения). .

Преобразуем произведения в суммы: ; ; ; .

Исключим из найденных серий корни вида , ; , ; .

Ответ: , ; , ; , , , .

2)     Прибавление к обеим частям одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции.

3)     Тождественное преобразование одной из частей уравнения.

4)     Использование свойств пропорции.

5)     Тождественное преобразование одной из частей уравнения.

7.

Использование свойств функций, входящих в уравнения:

 

а) обращение к условию равенства одноименных тригонометрических функций;

б) использование свойства ограниченности функций

Если функции  и  таковы, что дл всех x выполняются неравенства  и , и дано уравнение , то оно равносильно системе

в) условие монотонности функций, входящих в уравнение

Если данное уравнение имеет в одной части функцию монотонную на J, а в другой – постоянную, то такое уравнение не может иметь более одного корня на J. Если одна часть уравнения представляет собой возрастающую, а другая – убывающую функцию, то графики таких функций не могут иметь более одной общей точки, следовательно, уравнение не может иметь более одного корня.

 

г) наибольшее и наименьшее значения функции

Если функция  и  в точке  принимает свое наибольшее (наименьшее) значение, а  достигает наименьшего (наибольшего) значения, то  - единственное решение.

 

4. Восемь способов  решения одного уравнения

1. Используя формулы половинного угла:                            

;

;

;

;                 или                     разделим на ;

, ;                               ;

, .                            , ;

                                                           , .

Ответ: , ; , .

 

2. Используя формулы приведения:         

;      из суммы делаем произведение

;

;

;

;

;

, ;

, ;

, ;                                   , ;

, .                                                    , .

Ответ: , ; , .

 

3.Приведение к однородному квадратному уравнению:       

;

;

;

;  (верно при любых )

;

;                       или                 ;

;                                                      , .

, .

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: , ; , .

 

4. Введение вспомогательного угла:                                

 

;

;

;

;

, ;

, ;

если , то

, ;

, ;

если , то

, ;

, ;

, .

5.  разделим на :

;

;

;

, ;

,                      или                 , .

Ответ: , ; , .

 

6.         Используя формулы  понижение степени:   

;

            Проверка ОДЗ:          ;

                                               ;

                                               ;

                                               .

Возведем уравнение в квадрат:

,     умножим на 2;

;

;

;

;

;                            или                             ;

, ;                                                  , ;

, ;                                                     , .

Если -нечетное, , то ;

-1=1 – неверно .

Если -нечетное, , то  ;

;

-1=1 – неверно.

Если k – чётное, , то ,

следовательно ,

1=1 верно

если n – чётное, ,то ,

следовательно ,

1=1 верно.

Ответ: , ; , .

 

7. Используя универсальные подстановки:      

; ;          , при .

Применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, а не является ли серия корней ,  корнями данного уравнения (иначе будет потеря корней). Это делается путем подстановки в первоначальное уравнение.

;

Если , , то ;

                                                        ;

                                                        ;

                                                         – неверно.

Следовательно ,  не является корнем уравнения.

Выполним подстановку:

,          пусть ;

;

;

;

;                                     или                             ;

;                                                                  ;

, ;                                                      , ;          

, .                                                   , .

Ответ: , ; , .

 

  1. Решим уравнение возведением в квадрат:   

Надо быть аккуратными – могут появиться лишние корни.

;

;

;

;

;

, ;

, .

Проверка корней:

Если  ;                      ;       

                                                      ;

                                                      1=1 – верно;

            ;                       ;

                                               ;

                                                  1=1 – верно;

;                        ;

                                               ;

                                        -1=1 – неверно;

            ;                     ;

                                                  -1=1 – неверно;

Ответ: , ; , .

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений

1.Потеря корней:

ü делим на g(х).

ü опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:  

ü  возводим в четную степень.

ü  умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

 

5.     Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

 

1.Арифметический (непосредственная подстановка корней в уравнение и имеющиеся ограничения)

2.Алгебраический (решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисления корней)

3. Геометрический способ

ü  отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности

ü  отбор корней тригонометрического уравнения на числовой прямой

4.Функционально-графический способ   

 

Пример.

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а)               

Ответ:  

  1. Отбор корней по единичной окружности.

Корни уравненияизображаются точками А и В, а корни уравнения   - точками C и D, промежуток  изображен жирной дугой (см. рис.).

В указанном промежутке содержатся три корня уравнения:    и  .
1125682_html_19ffcad1
б) Ответ:  

 

2.  Отбор корней по графику.

б) Корни, принадлежащие промежутку , отберем по графику y = sin x. Прямая y = 0 (ось Ox) пересекает график в единственной точке  абсцисса которой принадлежит промежутку .

Прямая  пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат  (см. рис.). Так как период функции y = sin x  равен , то эти абсциссы равны, соответственно,  и  .
1125682_html_m13026e1f
В промежутке  содержатся три корня:  

б) Ответ:

 

3.  Отбор корней перебором значений.

б) Пусть

При  n = 0 получаем  Ï

При  n = 1 получаем   Ï

При  n = 1 получаем   Ï

При  n = 2 получаем   

При  n = 3 получаем   Ï

 

Пусть

При  k  = 0 получаем   Ï

При  k  =  получаем   

При  k  =  получаем   

При  k  =  получаем    Ï

Промежутку  принадлежат корни:  

б) Ответ:

 

4.  Отбор корней аналитически с помощью неравенств.

б) Отберем корни, принадлежащие промежутку
         Пусть

Тогда      

Корень, принадлежащий промежутку : .

Пусть

Тогда    

        

Корень, принадлежащий промежутку :  .

Пусть

Тогда    

      

Корень, принадлежащий промежутку :

Промежутку  принадлежат корни:  

б) Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.     Решение тригонометрических уравнений из материалов ЕГЭ

 

 

 

 

 

4. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:

 

 

 

 

 

5. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:

7. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:

 

 

 

8. (МИОО, 2010) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. (МИОО, 2010) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. (МИОО, 2011) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

11. (МИОО, 2011) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. (МИОО, 2011) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. (МИОО, 2011) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

13. (МИОО, 2011) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

14. (Репетиционный ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

15. (Репетиционный ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:

16. ( ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:

17. ( ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

18. ( Пробный экзамен, 2012) Решите уравнение:

 

19. ( Пробный экзамен, 2012) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

20. ( Пробный экзамен, 2013) Решите уравнение:

21. ( ЕГЭ, 2013) Решите уравнение:

22. ( ЕГЭ, 2013) Решите уравнение:

23. ( МИОО, 2014) Решите уравнение:

 

24. ( МИОО, 2014) Решите уравнение:

 

 

 

 

25. ( ЕГЭ, 2014) Решите уравнение:

 

26. ( ЕГЭ, 2014) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

27. ( МИОО, 2015) Решите уравнение:

28. (МИОО, 2015) Решите уравнение:

 

29. (ЕГЭ, 2015) Решите уравнение:

30. (ЕГЭ, 2015) Решите уравнение:

31. (ЕГЭ, 2015) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

32. (ЕГЭ, 2016) Решите уравнение:

33. (ЕГЭ, 2016) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

34. (ЕГЭ, 2016) Решите уравнение:

35. (ЕГЭ, 2016) Решите уравнение:

 

 

36. (ЕГЭ, 2017) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

37. (ЕГЭ, 2017) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38. (ЕГЭ, 2017) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

                    1129283568

 



Скачано с www.znanio.ru