МБОУ «Лицей города Абдулино» Методические аспекты подготовки
учащихся к решению тригонометрических
уравнений (Задание №13) учитель математики: Кривцова
Светлана Александровна г. Абдулино 2020г.
Оглавление
1. Критерии оценивания выполнения задания №13 |
3 |
2. Основные формулы тригонометрии |
3 |
3. Классификация методов решения тригонометрических уравнений |
5 |
4. Восемь способов решения одного уравнения |
8 |
5. Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях |
14 |
6. Решение тригонометрических уравнений из материалов ЕГЭ |
17 |
|
|
Содержание критерия |
Баллы |
Обосновано получены верные ответы в обеих пунктах |
2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б, или получен ответ неверный из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл |
2 |
1) основное тригонометрическое тождество sin2α +cos2 α= 1,
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса, соответственно имеем
2) формулы двойного аргумента sin2α =2 sinα cos α,
cos 2α = cos2 α - sin2α,
cos 2α = 1- 2sin2α,
3)
формулы понижения степени:
4) формулы суммы и разности двух аргументов:
sin(α+β)=sinα cos β +cos α sin β
sin(α-β)=sinα cos β -cos α sin β
cos(α+β)=cosα cos β +sin α sin β
cos(α-β)=sinα cos β +sinα sin β
5)Формулы приведения
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
6) Суммы суммы и разности тригонометрических уравнений
Косинус— чётная, синус, тангенс и котангенс— нечётные, то есть:
Синус и косинус — непрерывные
функции. Тангенс и имеет точки
разрыва ,котангенс 0; ±π; ±2π;…
Функции y = cos x, y = sin x — периодические с периодом 2π,
функции y = tg x и y = ctg x — c периодом π.
10)Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов
Определение. Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
Типы тригонометрических уравнений
ü Простейшие
ü Сложные:
Решение простейших тригонометрических уравнений можно свести в легко запоминающуюся таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
нет решения |
|
|
|
|
|
нет решения |
|
|
|
|
|
a – любое |
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Методы |
Суть метода |
|||
1. |
Разложение на множители |
а) путём вынесения общего множителя за скобки б) с помощью формул сокращённого умножения в) разложение на множители квадратного трёхчлена г) способом группировки и т.д. |
|||
2. |
Введение новой переменной |
а) сведение к квадратному уравнению |
Путём введения новой переменной уравнение сводится к квадратному уравнению
|
||
б) универсальная подстановка |
( после подстановки получается рациональное уравнение относительно вспомогательного неизвестного |
||||
в) введение вспомогательного аргумента |
Часть уравнения |
||||
3. |
Сведение к одному уравнению |
Использование тождества |
|||
4. |
Тождественные преобразования в решении стандартных тригонометрических уравнений |
Решение уравнения представляет собой цепочку тождественных преобразований. Целью этих преобразований является сведение тригонометрического уравнения к хорошо известному виду уравнению алгебраического, а далее к нескольким элементарным тригонометрическим уравнениям. Пример: Решение: применив формулу преобразования произведения в
сумму, получим
|
|||
5. |
Решение тригонометрических уравнений возведением обеих частей уравнения в квадрат |
Пример: Возведя обе части в квадрат
Так как при возведении в квадрат возможно появление посторонних корней, то необходима проверка получения корней
Ответ: |
|||
6. |
Методы искусственных преобразований |
1) Умножение обеих частей на одну и ту же тригонометрическую функцию. Пример: Умножим обе части уравнения на Преобразуем произведения в суммы: Исключим из найденных серий корни вида Ответ: 2) Прибавление к обеим частям одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции. 3) Тождественное преобразование одной из частей уравнения. 4) Использование свойств пропорции. 5) Тождественное преобразование одной из частей уравнения. |
|||
7. |
Использование свойств функций, входящих в уравнения: |
|
|||
а) обращение к условию равенства одноименных тригонометрических функций; |
|
|
|
||
б) использование свойства ограниченности функций |
Если функции |
||||
в) условие монотонности функций, входящих в уравнение |
Если данное уравнение имеет в одной части функцию монотонную на J, а в другой – постоянную, то такое уравнение не может иметь более одного корня на J. Если одна часть уравнения представляет собой возрастающую, а другая – убывающую функцию, то графики таких функций не могут иметь более одной общей точки, следовательно, уравнение не может иметь более одного корня. |
||||
|
г) наибольшее и наименьшее значения функции |
Если функция |
|||
4. Восемь способов решения одного уравнения
1. Используя формулы половинного
угла:
;
;
;
; или
разделим на
;
,
;
;
,
.
,
;
,
.
Ответ: ,
;
,
.
2. Используя формулы приведения:
; из суммы делаем произведение
;
;
;
;
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
.
,
.
Ответ: ,
;
,
.
3.Приведение к однородному
квадратному уравнению:
;
;
;
; (верно при любых
)
;
; или
;
;
,
.
,
.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: ,
;
,
.
4. Введение вспомогательного
угла:
;
;
;
;
,
;
,
;
если ,
то
,
;
,
;
если ,
то
,
;
,
;
,
.
5. разделим на
:
;
;
;
,
;
,
или
,
.
Ответ: ,
;
,
.
6. Используя формулы
понижение степени:
;
Проверка
ОДЗ:
;
;
;
.
Возведем уравнение в квадрат:
, умножим на 2;
;
;
;
;
; или
;
,
;
,
;
,
;
,
.
Если -нечетное,
, то
;
-1=1 – неверно .
Если -нечетное,
, то
;
;
-1=1 – неверно.
Если k
– чётное, , то
,
следовательно ,
1=1 верно
если n
– чётное, ,то
,
следовательно ,
1=1 верно.
Ответ: ,
;
,
.
7. Используя универсальные
подстановки:
;
;
, при
.
Применение этой
подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, а не является ли
серия корней ,
корнями данного уравнения (иначе
будет потеря корней). Это делается путем подстановки в первоначальное
уравнение.
;
Если ,
, то
;
;
;
– неверно.
Следовательно ,
не
является корнем уравнения.
Выполним подстановку:
, пусть
;
;
;
;
; или
;
;
;
,
;
,
;
,
.
,
.
Ответ: ,
;
,
.
Надо быть аккуратными – могут появиться лишние корни.
;
;
;
;
;
,
;
,
.
Проверка корней:
Если ;
;
;
1=1 – верно;
;
;
;
1=1 – верно;
;
;
;
-1=1 – неверно;
;
;
-1=1 – неверно;
Ответ: ,
;
,
.
Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений
1.Потеря корней:
ü делим на g(х).
ü опасные формулы (универсальная подстановка).
Этими операциями мы сужаем область определения.
2. Лишние корни:
ü возводим в четную степень.
ü умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).
Этими операциями мы расширяем область определения.
5. Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях
1.Арифметический (непосредственная подстановка корней в уравнение и имеющиеся ограничения)
2.Алгебраический (решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисления корней)
3. Геометрический способ
ü отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности
ü отбор корней тригонометрического уравнения на числовой прямой
4.Функционально-графический способ
Пример.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
Ответ:
Корни
уравненияизображаются точками А и В,
а корни уравнения
- точками C и D,
промежуток
изображен жирной дугой (см. рис.).
В указанном промежутке
содержатся три корня уравнения: и
.
б) Ответ:
2. Отбор корней по графику.
б) Корни,
принадлежащие промежутку , отберем по графику y = sin x. Прямая y = 0 (ось Ox) пересекает график в единственной точке
абсцисса которой принадлежит
промежутку
.
Прямая пересекает график ровно в двух
точках, абсциссы которых принадлежат
(см. рис.). Так как период функции
y = sin x равен
, то эти абсциссы равны,
соответственно,
и
.
В промежутке содержатся три корня:
б) Ответ:
3. Отбор корней перебором значений.
б) Пусть
При n
= 0 получаем Ï
При n
= 1 получаем Ï
При n
= 1 получаем
Ï
При n
= 2 получаем
При n
= 3 получаем
Ï
Пусть
При k = 0 получаем Ï
При k = получаем
При k = получаем
При k = получаем
Ï
Промежутку принадлежат корни:
б) Ответ:
4. Отбор корней аналитически с помощью неравенств.
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку
Пусть
Тогда
Корень, принадлежащий промежутку :
.
Пусть
Тогда
Корень, принадлежащий промежутку :
.
Пусть
Тогда
Корень, принадлежащий промежутку :
Промежутку принадлежат корни:
б) Ответ:
6. Решение тригонометрических уравнений из материалов ЕГЭ
4. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
5. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
6. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
7. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
8. (МИОО, 2010) Решите уравнение:
10. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
11. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
12. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
13. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
13. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
14. (Репетиционный ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
15. (Репетиционный ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
16. ( ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
17. ( ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
18. ( Пробный экзамен, 2012) Решите уравнение:
19. ( Пробный экзамен, 2012) Решите уравнение:
20. ( Пробный экзамен, 2013) Решите уравнение:
21. ( ЕГЭ, 2013) Решите уравнение:
22. ( ЕГЭ, 2013) Решите уравнение:
23. ( МИОО, 2014) Решите уравнение:
24. ( МИОО, 2014) Решите уравнение:
25. ( ЕГЭ, 2014) Решите уравнение:
26. ( ЕГЭ, 2014) Решите уравнение:
27. ( МИОО, 2015) Решите уравнение:
28. (МИОО, 2015) Решите уравнение:
29. (ЕГЭ, 2015) Решите уравнение:
30. (ЕГЭ, 2015) Решите уравнение:
31. (ЕГЭ, 2015) Решите уравнение:
32. (ЕГЭ, 2016) Решите уравнение:
33. (ЕГЭ, 2016) Решите уравнение:
34. (ЕГЭ, 2016) Решите уравнение:
35. (ЕГЭ, 2016) Решите уравнение:
36. (ЕГЭ, 2017) Решите уравнение:
37. (ЕГЭ, 2017) Решите уравнение:
38. (ЕГЭ, 2017) Решите уравнение:
Скачано с www.znanio.ru
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.