Сборник "Нестандартные приемы быстрых вычислений"

Усть­Каменогорск 2014 год Колесникова Валерия – ученица 7 А класса  КГУ «Средняя школа № 27»  Найденова Лидия Владимировна – учитель математики КГУ «Средняя школа № 27» В   наше   время   все   чаще   на   помощь   ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество ребят не может считать устно.  Умение считать в уме   остается   полезным   навыком   и   для современного   человека,   несмотря   на   то,   что   он владеет устройствами, всевозможными     способными считать за него.  Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать,   оценивать,   находить   и   исправлять   ошибки   в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора.  2 С Т А Р И Н Н Ы Е    С П О С О Б Ы    В Ы Ч И С Л Е Н И Я РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ В   России   несколько   веков   назад   среди крестьян   некоторых   губерний   был распространен   способ,   который   не   требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь   уметь   умножать   и   делить   на   2.   Этот способ получил название  КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского). Пример:  умножим  47 на 35,  запишем   числа   на   одной   строчке,   проведём     между   ними вертикальную черту;  левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);  деление заканчивается, когда слева появится единица;  далее оставшиеся справа числа складываем – это результат. 3  вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;     35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645 МЕТОД «РЕШЕТКИ» Выдающийся   арабский   математик   и   астроном   Абу   Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные. Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало.   Сохранились   лишь   две   его   работы   –   по   алгебре   и   по арифметике.   В   последний   из   этих   книг   даны   четыре   правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время В своей  «Книге об индийском счете» учёный   описал   способ,   придуманный   в Древней   Индии,   а   позже   названный «МЕТОДОМ   РЕШЁТКИ».   Этот   метод даже проще, чем применяемый сегодня.  4 2 1 3 1    5 3     8      0  0 1      6     0 7 0 6 2 Пример: умножим 35 и 62. Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат   умножения   данных   цифр,   на   их   пересечении   отделим десятки   и   единицы   диагональю.   Полученные   цифры   сложим   по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).     Этот   алгоритм   умножения   двух   натуральных   чисел   был распространен в средние века на Востоке и Италии.                 Неудобство   этого   способа   мне   хотелось   бы   отметить   в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ Древние египтяне были очень религиозны и   считали,   что   душу   умершего   в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении,   которое   придавали   древние этому   способу   выполнения     умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).  Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго 5 множителя. Остальные   пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке. Пример:  8 ∙ 9 = 72 Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000. Движение пальца  – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим   цифрой   2,   затем   3,   4…   до   десятого   пальца,   который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то   для   этого,   не   двигая   рук   со   стола,   надо   приподнять   вверх   тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда   число   пальцев,   лежащих   налево   от   поднятого   пальца, определяет   число   десятков,   а число пальцев, лежащих справа от   обозначает поднятого   пальца, число   единиц   полученного произведения   (убедитесь   в   этом самостоятельно). СОВРЕМЕННЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ 1) Умножение и деление числа на 4, 8, 16  6 Чтобы умножить число на 4, 8, 16  нужно его дважды умножить на 2.      Например: 26∙4=(26∙2)∙2=52∙2=104; 417∙8=(417∙2)∙4=(834∙2)∙2=1668∙2=3336. Чтобы   разделить   число   на   4,   нужно   его дважды разделить на 2. Например: 324:4=(324:2):2=162:2=81. 2) Умножение и деление числа на 5. Чтобы   умножить   число   на   5,   нужно   его   умножить   на   10   и разделить на 2.Например:       236∙5=(236∙10):2=2360:2=1180. Чтобы разделить число на 5, нужно умножить 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру. Например: 236:5=(236∙2):10=472:10=47,2. 3) Умножение числа на 1,5, 15 Чтобы   умножить   число   на   1,5,   нужно   к   исходному   числу прибавить его половину.  Например: 34∙1,5=34+17=51; 146∙15=1460+730=2190. 7 4) Умножение числа на 9.  Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать  0 и отнять исходное число.  Например: 72∙9=720­72=648. 5) Умножение на 25 числа, делящегося на 4. Чтобы   умножить   на   25   число,   делящееся   на   4,   нужно   его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100.   Например: 124∙25=(124:4)∙100=31∙100=3100. 6) Умножение двузначного числа на 11, 22, 33, …99 При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц   и   цифрой   десятков   вписать   сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре).  Например: 23∙11=253, т.к. 2+3=5, поэтому между 2 и 3 ставим 5; цифру     57∙11=627, т.к. 5+7=12, цифру 2 ставим между 5 и 7, а к 5 прибавляем 1, вместо 5 пишем 6.  «Краешки   сложи,   в   серединку   положи»   ­   эти   слова   помогут   легко запомнить данный способ умножения на 11. Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел. 8 Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между  ними  сумму  этих цифр,  а затем  к  первой  цифре  прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения: 94 ×11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034; 59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649. Чтобы   двузначное   число   умножить   на   22,   33.   …99,   надо последнее   число   представить   в   виде   произведения   однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е. 44= 4 × 11; 55 = 5×11 и т. д.  Затем произведение первых чисел умножить на 11. 48 × 22 =48 × 2 × (22 : 2) = 96 × 11 =1056; 24 × 22 = 24 × 2 × 11 = 48 × 11 = 528; 23 ×33 = 23 × 3× 11 = 69 × 11 = 759; 18 × 44 = 18 × 4 × 11 = 72 × 11 = 792; 16 × 55 = 16 × 5 × 11 = 80 × 11 = 880; 16 × 66 = 16 × 6 × 11 = 96 × 11 = 1056; 14 × 77 = 14 × 7 × 11 = 98 × 11 = 1078; 12 × 88 = 12 × 8 × 11 = 96 × 11 = 1056; 8 × 99 = 8 × 9 × 11 = 72 × 11 = 792. 9 7) Умножение  на 111, 1111 Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111.  и т.  д. число, сумма цифр которого меньше 10. Примеры: 24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664; 17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.   Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами 8) Умножение двузначного числа на 101. 1001 Для   того,   чтобы   число   умножить   на   101,   на   1001нужно   приписать данное число к самому себе. Например:34∙101 = 3434.  Поясним, 34∙101 = 34∙100+34∙1=3400+34=3434. 9) Возведение   в   квадрат   двузначного   числа, оканчивающегося на 5.  Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число   25. 10 Например: 352=1225, т.е. 3∙4=12 и к 12 приписываем 25, получаем  1225.   10) Возведение   в   квадрат   двузначного   числа, начинающегося на 5. Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат   второй   цифры,   причем   если   квадрат   второй   цифры   – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0. Например: 522= 2704,  т.к. 25+2=28 и 22=04; 582= 3364,  т.к. 25+8=33 и 82=64. 11) Возведение в квадрат  многозначных чисел  Схема возведения в квадрат представлена на примерах. 67 * 67 = 4489 Рис.1 Возведение числа "67" в квадрат по новому методу В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку. Например, на рис. 1 для числа 67 это ­ 36 и 49. Следующая строка представляет   собой   удвоенное   произведение   цифр   числа,   в   данном примере цифр 6 и 7. Эта двойка (2) фигурирует во всех последующих 11 примерах и специально выделена. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат. Если какая­то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное   произведение   каких­либо   цифр   является   однозначным числом,   то   в   ячейке,   отведенной   для   записи   данного   результата   в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц ­ получившееся число, как в следующем примере: 381 * 381 = 145161 12)  Умножение на число, оканчивающееся на 5 Чтобы   четное   двузначное   число   умножить   на   число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей   увеличить   в   несколько   раз,   а   другой   – уменьшить  во столько же раз, произведение не изменится. 44 × 5 = (44 : 2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220; 28 × 15 = (28 : 2) × 15 × 2 = 14 × 30 = 420; 32 × 25 = (32 : 2) × 25 × 2 = 16 × 50 = 800; 26 × 35 = (26 : 2) × 35 × 2 = 13 × 70 = 910; 12 36 × 45 = (36 : 2) × 45 × 2 = 18 × 90 = 1625; 34 × 55 = (34 : 2) × 55 × 2 = 17 × 110 = 1870; 18 × 65 = (18 : 2) × 65 × 2 = 9 × 130 = 1170; 12 × 75 = (12 : 2) × 75 × 2 = 6 × 150 = 900; 14 × 85 = (14 : 2) × 85 × 2 = 7 × 170 = 1190; При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в   пределах   второго   десятка.   В   противном   случае   вычисления усложнятся. 13)  Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500 Для того, чтобы устно научится умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4. На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние   цифры числа выражают число, делящееся на 4. Например: 124 делится на 4, так как 24 делится на 4; 1716 делится на 4, так как 16 делится на 4; 1800 делится на 4, так как 00 делится на 4 Чтобы   число   умножить   на   25,   надо   это   число     разделить на  4 и умножить на 100. Примеры: 13 484 × 25 = (484 : 4) × 25 × 4 = 121 × 100 = 12100 124 × 25 = 124 : 4 × 100 = 3100 Чтобы   число   разделить   на   25,   надо   это   число     разделить на  100 и умножить на 4. Примеры: 12100 : 25 = 12100 : 100 × 4 = 484 31100 : 25 = 31100 :100 × 4 = 1244 Чтобы   число   умножить   на   75,   надо   это   число     разделить на  4 и умножить на 300. Примеры: 32 × 75 = (32 :4) × 75 × 4 = 8 × 300 = 2400 48 × 75 = 48 : 4 × 300 = 3600 Чтобы   число   разделить   на   75,   надо   это   число     разделить на  300 и умножить на 4. Примеры: 2400 : 75 = 2400 : 300 × 4 = 32 3600 : 75 = 3600 : 300 × 4 = 48 Чтобы   число   умножить   на   50,   надо   это   число     разделить на  2 и умножить на 100. Примеры: 14 432× 50 = 432 :2 × 50 × 2 = 216 × 100 = 21600 848 × 50 = 848 : 2 × 100 = 42400 Чтобы   число   разделить   на   50,   надо   это   число     разделить на  100 и умножить на 2. Примеры: 21600 : 50 = 21600 : 100 × 2 = 432 42400 : 50 = 42400 : 100 × 2 = 848 Чтобы   число   умножить   на   500,   надо   это   число     разделить на  2 и умножить на 1000. Примеры: 428 × 500 = (428 :2) × 500 × 2 = 214 × 1000 = 214000 2436 × 500 = 2436 : 2 × 1000 = 1218000 Чтобы   число   разделить   на   500,   надо   это   число     разделить на  1000 и умножить на 2. Примеры: 214000 : 500 = 214000 : 1000 × 2 = 428 1218000 : 500 = 1218000 : 1000 × 2 = 2436 Прежде чем научиться умножать и делить на 125. надо хорошо  знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8. 15 Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три  последние цифры выражают число, делящееся на 8. Примеры: 3168 делится на 8, так как 168 делится на 8; 5248 делится на 8, так как 248 делится на 8; 12328 делится на 8, так как 324 делится на 8. Чтобы   узнать,   делится   ли   трехзначное   число,   оканчивающееся  цифрами 2, 4, 6. 8.   на 8, нужно к числу   десятков прибавить  половину   цифр   единиц.   Если   полученный результат будет делиться   на   8,   то   исходное число  делится на 8. Примеры: 632 : 8, так как  т.е. 64 : 8; 63(  2 2 ,8:) 712 : 8, так как   304 : 8, так как   376 : 8, так как    т.е. 72 : 8;  т.е. 32 : 8;  т.е. 40 : 8; 71(  30(  37(  2 2 4 2 6 2 ,8:) ,8:) ,8:) 16 208 : 8, так как    т.е. 24 : 8. 20(  8 2 ,8:) Чтобы   число     умножить   на   125,   надо   это   число     разделить на  8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на  125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8. Примеры: 32 × 125 = (32 : 8) × 125 × 8 = 4 × 1000 = 4000; 72 × 125 = 72 : 8 × 1000 = 9000; 4000 : 125 = 4000 : 1000 × 8 = 32;  Чтобы число умножить на 250, надо это число  разделить на  4 и умножить на 1000. Примеры: 36 × 250 = (36 : 4) × 250 × 4 = 9 × 1000 = 9000; 44 × 250 = 44 : 4 × 1000 = 11000. Чтобы   число   разделить   на   250,   надо   это   число     разделить на  1000 и умножить на 4. Примеры: 9000 : 250 = 9000 : 1000 ×4 = 36; 11000 : 250 = 11000 : 1000 ×4 = 44 17 14)  Умножение и деление на 37 Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо   хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости   на три, который изучается в школьном курсе.  Чтобы умножить число на 37, надо это число  разделить на  3 и умножить на 111. Примеры: 24 × 37 = (24 : 3) × 37 × 3 = 8 × 111 = 888; 27 × 37 = (27 : 3) × 111 = 999. Чтобы   число   разделить   на   37,   надо   это   число     разделить на  111 и умножить на 3 Примеры: 999 : 37 = 999 :111 × 3 = 27; 15) Умножение двух рядом стоящих чисел Примеры:  1) 12 ×13 = ?     1 × 1 = 1     1 × (2+3) = 5      2 × 3 = 6               156 2) 23 × 24 = ?       2 × 2 = 4 Проверка:     ×12      13      36    12_    156 Проверка:     × 23       24       92     46_ 18 552 Проверка:      × 32        33        96      96_    1056 Проверка:       × 75         76       450     525_     5700     2 × (3+4) = 14       3 × 4 = 12                  552 3) 32 × 33 = ?      3 × 3 = 9      3 × (2+3) = 15        2 × 3 = 6                1056 4) 75 × 76 = ?       7 × 7 = 49      7 × (5+6) = 77        5 × 6 = 30                5700 При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала  перемножить   цифры   десятков,   затем   цифру   десятков   умножить   на   сумму   цифр   единиц   и,   наконец,   надо   перемножить цифры единиц.  16)   Умножение   пары   чисел,   у   которых   цифры   десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10 19 Пример: 24 × 26 = (24 – 4) × (26 + 4) + 4 × 6 = 20 × 30 + 24 = 624. Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число   сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц. 18 × 12 = 2 × 1 сот. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216; 16 × 14 = 2 × 1 × 100 + 6 × 4 = 200 + 24 = 224; 23 × 27 = 2 × 3 × 100 + 3 × 7 = 621; 34 × 36 = 3 × 4 сот. + 4 × 6 = 1224; 71 × 79 = 7 × 8 сот. + 1 × 9 = 5609; 82 × 88 = 8 × 9 сот. + 2 × 8 = 7216. Можно решать устно и более сложные примеры: 108 × 102 = 10 × 11 сот. + 8 × 2 = 11016; 204 × 206 = 20 × 21 сот. +4 × 6 = 42024; 802 × 808 = 80 × 81 сот. +2 × 8 = 648016.    20 21