Сборник практических задач" Мир практических задач"

Государственное общеобразовательное учреждение Луганской Народной Республики «Брянковская специализированная школа  № 23» Предисловие Пособие   предназначено   для   школьников   5­х   –   9­х   классов,       учителей математики   и   для   тех,   кому   интересна   данная   тема.   Пособие   поможет выпускникам  школы при подготовке к экзаменам.      Данное пособие содержит основные способы решения задач на проценты, на движение, на смеси и сплавы, жизненные задачи, часто встречающиеся в различных   жизненных   ситуациях,   и   их   решение,   небольшую   историческую справку,   интересные факты. В каждом разделе предлагаются   задачи для самостоятельного решения, в конце пособия имеются ответы. Авторы: (учащиеся 8 класса) Шеститко Е., Чулакчи Э., Егурнов А., Парыгина В., Мироновская П., Урманов А.,   Морозова   А.,  Боркунова   А.,   Крецу   А.,  Иванюк   В.,   Печенежская   Т., Бирюкова   А.,  Осауленко   Е.,  Печенежская   Т.,   Карпова   В.,   Булгакова   М., Нежданов Ю., Серый Д. Учитель­консультант: Скорикова Мария Андреевна, учитель математики. Год издания ­2018 Содержание 1.Введение..........................................................................................................4 2 2.Памятка «Как работать над задачей».......................................................... 5 3.История возникновения процентов ............................................................. 6 4.Основные способы решения задач на проценты ...................................  7­21 4.1.Задачи на нахождения  процента от числа и число по его проценту......... ........................................................................................................................7­11 4.2. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы........................................ 12­15 4.3 Задачи на процентное содержание компонентов  в различных  веществах ......................................................................................................................16­18 4.4 Задачи на проценты в ЖКХ и на различные виды услуг...................19­21 5.Задачи на движение.................................................................................22­35 5.1. Задачи на движение в одном направлении и вдогонку.....................23­26 5.2. Задачи на встречное движение_.........................................................27­29 5.3. Задачи на противоположное движение..............................................30­32 5.4. Задачи на движение по реке................................................................33­35 6. Жизненные задачи..................................................................................36­40 7. Задачи из сборника  заданий ГИА.........................................................41­47 8. Задачи от Григория Остера...................................................................48­51 9. Авторские задачи....................................................................................52­53 10.Ответы к задачам...................................................................................54­55 Введение 3 Проблема   реализации   практической   направленности   задач   в   процессе обучения математике школьников неоднократно рассматривалась в различных научных исследованиях. Теоретическое обоснование она получила в работах В.А.   Гусева,   Ю.М.   Колягина,   Г.Л.   Луканкина,   В.Л.   Матросова,   И.М. Смирновой и др. В  повседневной   жизни   люди   постоянно   сталкиваются   с  решением   тех   или иных   ситуаций.   Зачастую     приходится   прилагать   много   усилий   для разрешения возникших трудностей реальной жизни: люди   не знают с чего начать, как действовать, какое решение лучше предпринять. Для того чтобы в реальной жизни каждый человек мог не бояться встретившихся на его пути проблем,   необходимо   в   школьном   курсе   разбирать   такие   задачи,   которые будут   отражать   реальную   действительность   и   которые   можно   с  легкостью решить математическими методами. Практические   задачи   являются   средством   и   условием формирования способностей детей применять полученные на уроках по математике знания в повседневной жизни. Задачи   практического   содержания   –   это   наша   повседневная   жизнь,   наши профессии, успешная сдача учащимися ГИА и ЕГЭ. Разбор   задач   практического   содержания   на   уроках   помогает   повысить практическую   значимость   изучения   математики   в   школе;   научить необходимым   навыкам   решения   таких   задач   и   умениям   рассчитывать величины и их примерное значение; усилить интерес, мотивацию к обучению математике;   увеличить   результативность   обучения   школьного   курса математики.   4 Памятка работы над задачей 1.Прочитай задачу 3 раза, представь себе о то, о чем в ней говориться. 2.Докажи, что это задача (выдели условие и вопрос задачи карандашом). 3.Определи, какая задача по составу (простая или сложная). 4.Запиши задачу кратко или выполни чертеж. 5.Если   задача   составная,   определи,   что   нужно   узнать сначала, а что ­ потом. 6.Составь план решения задачи. 7.Запиши и прочти решение задачи. Проверь его. 8.Запиши и прочти вопрос на ответ задачи. 5 История возникновения процентов. Процент   ­   имеет   латинское   происхождение:   «pro   centum»   ­   это   «на   сто». Процентом называется сотая часть числа. Проценты были известны в Индии ещё в V в. С давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Также проценты   были   распространены   в   Древнем   Риме.   Римляне   называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Они   брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг).От римлян   проценты   перешли   к   другим   народам   в   Европе.   В   средние   века   в Европе в связи с развитием торговли особо обращали внимание на умение вычислять проценты. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Это произошло в 1584 году.  Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Проценты применялись только в торговых и денежных сделках.   В Италии слово cento (сто), писалось сокращенно cto. Путем   дальнейшего   упрощения   из   буквы   t   в   наклонную   черту   произошел современный   символ   для   обозначения   процента   ­   /.Есть     другая   версия возникновения знака «%». Предполагается, что знак произошёл в результате опечатки,   которую   совершил   наборщик.   В   1685   году   в   Париже   была опубликована   книга   «Руководство   по   коммерческой   арифметике»,   где   по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. 6 Задачи на проценты (основные способы решения) Чтобы найти процент от числа, нужно:  1.Перевести проценты в  десятичную дробь . 2 Данное  число умножить на полученную дробь . Задача 1. В классе 28 учеников .75%из них занимаются спортом .Сколько учеников в классе занимаются спортом?    : Так как 75 % =0,75 ,то умножая число 28 на дробь 0,75 получаем :  Решение   0,75*28 =21  Ответ :21 человек занимается спортом . 7 Задача 2.Вода составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 35 кг картофеля?  . Вода составляет 76% от 35 кг. По правилу нахождения процентов     Решение   от данного числа (чтобы найти проценты от данного числа нужно обратить  проценты в десятичную или обыкновенную дробь, а затем умножить данное  число на эту дробь) получаем 0,76∙35=26,6 кг.  Ответ: в 35 кг картофеля содержится 26,6 кг воды.  Задача 3.В классе 20 человек. Контрольную работу по математике 25% учащихся написали на «5», 35 % написали на «4», 10% всех учащихся получили «2». Сколько пятерок, четверок, троек и двоек получил класс? Решение. Количество пятерок составляет 25% от 20. По правилу нахождения процентов от данного числа это 0,25∙20=5 учащихся. Четверки получили 35%  от 20. Это 0,35∙20=7 учащихся. Двоек 10%. Это 1/10 часть от 20 учащихся,  т.е. 2 человека. Остальные учащиеся получили оценку «3». Их 20­5­7­2=6  человек.  Ответ: оценку «5» получило 5 учащихся; оценку «4» получили 7 учащихся;  оценку «3» получило 6 учащихся и оценку «2» получили 2 ученика. Чтобы найти число по его процентам, нужно: 1. Перевести проценты в  десятичную дробь . 2. Известное число в задаче разделить на  эту дробь Задача 1.В школе на родительском собрании отсутствовало 12 человек, что составляет 7,5% от общего числа родителей .Сколько всего родителей должно было присутствовать на собрании ? 8 Заменим 7,5 % десятичной дробью .Это будет 0,075 . Значит 12  Решение :   человек ,отсутствовавших на собрании , составляют 0,075 от общего числа  родителей .Таким образом ,в этой задаче нужно 12: 0,075 =160 .  Ответ :на родительском собрании было 160 родителей . Задача 2. В школьной библиотеке 5780 учебников, что составляет 85% всех книг, имеющихся в библиотеке. Сколько всего книг в школьной библиотеке?  Решение. Потребуется найти число по его процентам. Применяем правило  нахождения числа по его процентам (чтобы найти число по его процентам  нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное  число на эту дробь). 1) 85%=0,85; 2) 5780:0,85=578000:85=6800 книг.  Ответ: всего в библиотеке 6800 книг. Задача 3.Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На  какую сумму нужно выполнить заказ, чтобы заработать 2000 рублей?  Решение  . 2000 рублей – это 5% от заказа. Число (все его 100%) по его    процентам мы найдем по правилу нахождения числа по его процентам.  Обращаем 5% в десятичную дробь и делим 2000 на эту дробь. 1) 5%=0,05; 2)  2000:0,05=200000:5=40000.  Ответ: заказ должен быть на сумму 40000 рублей. Чтобы найти процентное отношение двух чисел ,нужно:    1. Найти отношение данных чисел.  2.Результат умножить на 100. Задача 1.Завод должен был за месяц изготовить 1200 изделий , а изготовил 2300 изделий. На сколько процентов завод перевыполнил план ? 9 1200 изделий –это план завода ,или 100% плана . 2300­ Решение :   1200=1100изделий­на столько изделий завод перевыполнил план . Найдём   1100 от 1200. 1100 :1200 * 100 = 91 ,7%. Ответ: 91 ,7%. Задача 2. За 1 час станок­автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции этого станка он стал изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько процентов повысилась производительность станка?  . Производительность станка повысилась на 288­240=48 деталей в   Решение   час. Нужно узнать, сколько процентов от 240 деталей составляют 48 деталей.  Для того чтобы узнать, сколько процентов число 48 составляет от числа 240  нужно число 48 разделить на 240 и результат умножить на 100%.  Ответ: производительность станка повысилась на 20%. Задачи для самостоятельного решения Задача 1.Зонт стоил 360 рублей. В ноябре цена зонта была снижена   на   15%,   а   в   декабре   еще   на   10%.   Какой   стала стоимость зонта в декабре? 10 Задача 2.Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%? Задача 3.Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода? Задача   4.  В   школе   400   учащихся,   52%   этого   числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?  Задача  5.Цена   на   электрический   чайник   была   повышена   на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? Задача   6.За   зиму   медведь   Вини   Пух   съел   16   горшочков   меда.   Сколько горшочков   меда   заготовил   Вини   Пух,   если   у   него   осталось   20%   всех   его запасов? Задача 7.У Лены в аквариуме 8 меченосцев, что составляет 40% всех ее рыбок. Сколько всего рыбок у Лены в аквариуме? Задача   8.Из   25   килограммов     свежих   яблок   получили   4 килограмма   сушёных.  Насколько   процентов   уменьшилась масса яблок при сушке? 11 Задача   9.Футболка   стоила 1200   рублей.   После   снижения цены она стала стоить 972 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку?  Задача 10. Для приготовления компота купили 2 кг чернослива, 1кг изюма, 4 кг кураги, 5 кг сушёных яблок, 3 кг сушёных груш. Сколько процентов всего компота составляют груши?  Задачи на концентрацию, смеси и сплавы. (основные способы решения) 12 Задача 1. Сколько килограммов соли в 10       килограммах соленой воды, если процентное   содержание соли составляет 15%? Решение:10 ∙ 0,15 = 1,5 (кг) соли.  Ответ: 1,5 кг.  Задача  2. Сплав содержит 10 кг олова и   15 кг  цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Решение:  Процентное   содержание   вещества   в   сплаве  –   это   часть, которую составляет  вес данного вещества от веса всего сплава. 1) 10 + 15 = 25 (кг) – сплав; 2) 10:25 ∙ 100% = 40% – процентное содержание олова в сплаве; 3) 15:25 ∙ 100% = 60% – процентное содержание цинка в сплаве.  Ответ: 40%, 60%.     Задача  3. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка. Решение: Определим процентное содержание золота в обоих слитках.  1) 230+20=250(г) ­ масса 1 слитка, 2) 230:250=0,92 (92%) ­ процентное содержание золота в 1 слитке. 3) 240+60=300(г) ­ масса 2 слитка,  4) 240:300=0,8 (80%)­ процентное содержание золота во 2 слитке.  Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300­х)­ масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение:                                  0,92х+0,8(300­х)=0,84∙300                                   0,92х+240­0,8х=252                                   0,12х=12                                   х=10   Ответ: 100 г. 13 Задача 4.Смешали некоторое количество 15­процентного раствора некоторого   вещества   с   таким   же   количеством   19­   процентного раствора   этого   же   вещества.   Сколько   процентов   составляет концентрация получившегося раствора? Решение:    Пусть масса первого раствора х г, он содержит 0,15х г чистого вещества. Масса   второго  раствора   тоже   х  г,  он   содержит 0,19х   г  чистого   вещества. Масса нового раствора равна х + х = 2х г и он содержит 0,15х + 0,19х = 0,34х г   чистого   вещества.   Тогда   концентрация   нового   раствора   равна   (   0,34х): (2х)×100% = 17%. Ответ: 17. 14 Задачи для самостоятельного решения Задача   1.Садовник   для   поливки   роз   смешивает   удобрение «Росток» с 30%­ым содержанием калия и удобрение «Розочка» с 10%­ым содержанием калия и получает  600 граммов  15%­ ого раствора. Сколько граммов   каждого удобрения было взято?  Задача 2.Смешали 4 литра 15%­ого водного раствора некоторого вещества с 6 литрами  25%­ого водного раствора того же вещества. Ск олько процентов составляет концентрация полученного раствора?  Задача 3.Смешав 30%­ый  и 60%­ый растворы кислоты и,  добавив   10 кг   чистой   воды,   получили   36%­ый     раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%­ого раствора той же кислоты, то получили бы 41%­ый  раствор кислоты. Сколько килограммов 30%­ого  раствора использовали для получения смеси?  Задача   4.Первый   сплав   содержит   10%   меди,   второй   –   40%   меди.   Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий   сплав,   содержащий   30%   меди.   Найдите массу   третьего   сплава.   Ответ   дайте   в килограммах.  15 Задача 5.Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий   25%   никеля.   На   сколько   килограммов   масса   первого   сплава меньше массы второго?  Задача 6.Хозяйке для засолки огурцов необходимо получить 6%­ый раствор   уксусной   кислоты,   используя   70%­ый   раствор   уксусной кислоты   и   воду.   Сколько   необходимо   взять   70%­ого   раствора   и воды, чтобы получить 700 г раствора необходимой концентрации?   Задача 7.Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5 % ­ ный раствор? Задача   8.Имеются   два   сплава.   Первый   сплав   содержит   10% никеля,  второй 30% никеля.  Из этих двух  сплавов получили третий   сплав   массой   200   кг,   содержащий   25   %   никеля. Насколько кг масса первого сплава меньше массы второго? Задача 9. Смешали 4 литра 15­процентного раствора некоторого вещества с 6 литрами   25­процентного   водного   раствора   этого   же   вещества.   Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 16 Задача 10.В сосуд, содержащий 5 литров 12­процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Задачи на процентное содержание компонентов в различных веществах. (основные способы решения) Задача 1. Виноград содержит 90%  влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов  изюма?  Внимание!   Если   вам   встретилась   задача   «о продуктах»,   то есть   такая,   где из винограда   получается   изюм,   из абрикосов   урюк,   из хлеба   сухари   или из молока   творог —   знайте,   что   на самом   деле   это   задача   на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое   вещество».   У «сухого   вещества»   сложный   химический   состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм  получается, когда  из винограда испаряется  вода.  При этом   количество   «сухого   вещества»   остается   постоянным.   В винограде содержалось 90%   воды,   значит,   «сухого   вещества»   было 10%.   В изюме 5% 17 воды   и 95%   «сухого   вещества».   Пусть   из х кг винограда   получилось 20 кг изюма. Тогда 10%  от х равно 95%  от 20 Составим уравнение:         0,1х=0,95∙20 0,1х=19         х=19:0,1         х=190 Ответ: 190 кг.     Задача  2. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?                Решение: 1) 22 ∙ 0,1 = 2,2 (кг) ­ грибов по массе в свежих грибах;       2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) ­ сухих грибов, получаемых из свежих.                                          Ответ: 2,5 кг. Задача 3. Сколько килограммов  белых грибов надо собрать для получения 1 килограмма   сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных  грибов? Решение: 1 кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.  10 кг : 0,05 = 20  Ответ: 20 кг.        Задача  4. Свежие груши содержали 72% воды, а сухие ­ 20%.  Сколько   сухих   фруктов   получится   из  20  кг   свежих груш? Решение: В свежих грушах сухой остаток составляет 100% 72% = 28%. В 20 кг свежих груш сухой остаток составляет 20∙0,28 = 5,6 (кг). В сухих грушах сухой остаток составляет 100% ­ 20% = 80%. 5,6 кг сухого остатка будет в 5,6:0,8 = 7 кг сухих фруктов.            Ответ: 7 кг. ­ 18 Задача 5. Хранили 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание   воды   в   ягодах   уменьшилось   до   98%.   Сколько   крыжовника получилось в результате?  Решение:  На первый взгляд, кажется, что вес ягод мало изменился, но это только  на первый  взгляд!  Вес  сухого  «вещества» в  ягодах  составлял  100­ 99=1(%), или 20∙0,01=0,2(кг). После сушки его вес составляет 100­98=2(%) от нового веса ягод. Найдём новый вес ягод: 0,2:0,02=10(кг).    Ответ: после сушки вес ягод уменьшился в два раза.       Задачи для самостоятельного решения   Задача  1.Из   25   килограммов     свежих   яблок   получили   4 килограмма   сушёных.   На   сколько   процентов   уменьшилась масса яблок при сушке?  Задача   2.Фасоль содержит 23% белка, 55% крахмала и 1,8% жиров. Сколько килограммов белка, крахмала и жиров содержится в 15 килограммах фасоли? 19 Задача  3.Влажность свежих грибов  99%, сушеных – 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания?   Задача 4.Из молока получается 10% творога. Сколько творога получают из 40 кг молока?  Задача  5.  Арбуз   массой   20   кг   содержал   99%   воды.   Когда   он   немного   усох,   содержание   воды   в   нем уменьшилось до 98%.  Какова теперь масса арбуза?   Задачи на проценты в ЖКХ и на различные виды услуг.  )   (основные способы решения    Задача 1.  В газете сообщается, что с 1 октября согласно новым тарифам стоимость 1 кубического метра газа составит 3   рубля   вместо   2   рублей   81   копейки.   На   сколько   процентов выросла цена на газ? Решение: Разность тарифов составляет 0,19 руб., а ее отношение к старому тарифу примерно равно 0,068.  Выразив это отношение в процентах, получим примерно 6,8 %. 20 Ответ: на 6,8%. Задача   2.  В   газете   сообщается,   что   с   10   июня   согласно   новым   тарифам стоимость   отправления   почтовой   открытки   составит   3   рубля   15   копеек вместо 2 рублей   27 копеек. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%? Решение: Разность тарифов составляет 0,4 рубля, а ее отношение к старому тарифу примерно  равно 0,145. Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5%. Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если эта услуга сейчас оценивается в 5 рублей 50 копеек? Решение:  Цена услуги увеличивается на 14,5%, т.е. станет 5,5∙1,145  рубля. Ответ: да, соответствует; 6,3 рубля.  6,3≈ Задача 3.  Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают   в   сбербанке,   внося   ежемесячно   250   рублей. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере   4%   от   суммы   оплаты   занятий   за   один   месяц.   Сколько   придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?  :  Так как 4% от 250 рублей составляют 10 рублей, то за каждый Решение   просроченный день сумма оплаты на день   им придется заплатить 250+10 = 260 рублей, на неделю 250+ 10 ∙7 = 320 рублей. Ответ: 320 рублей. Задача  4.   Стоимость   проезда   в   городском   автобусе составляла 1 рубль 60 копеек. В связи с инфляцией возросла на 150%. Во сколько раз возросла стоимость проезда в автобусе? Решение   150%; 2) 4 : 1,6 = 2,5. Ответ: в 2,5 раза.  : 1) 1,60+1,60 ∙1,5= 4(руб.) – стоимость проезда после повышения на она 21 Задача 5. У Миши на счете сотового телефона было 10 рублей. Он заплатил за пользование телефоном 120 рублей. Оплачивал он в банкомате, комиссия в котором составляет 5%. Сколько денег оказалось на телефоне у Миши? Решение: Примем 120 руб. за 100%. Определим комиссию 5% от 120 руб. 120 руб. – 100% х руб. – 5% х= 120∙5:100 = 6(руб.) На счет телефона поступит 120 – 6 = 114 руб. Так как у Миши было 10 руб., то всего на счете будет 114+10 = 124 руб. Ответ: на счете будет 124 рубля. Задачи для самостоятельного решения 22 Задача   1.В   начале   года   тариф   на   электроэнергию   составлял   40 копеек за 1 кВт∙ч. В  середине года он увеличился на 50%, а в конце года ­ еще на 50%. Каков стал тариф в конце года?  Задача 2.Стоимость проезда в городском автобусе составляла рублей. В связи с инфляцией она  возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость  проезда в автобусе?  5 Задача 3.Ежемесячная плата за квартиру увеличится на 6% и семье придётся платить 1484 рубля. На сколько рублей увеличится плата за квартиру? Задача 4.В декабре цены на жильё упали на 4%, а в марте выросли на 6%.  На сколько рублей   увеличилась стоимость 1   квадратного   метра     жилья,   если   его   первоначальная стоимость 60000 рублей? Задача 5.Первоначальная стоимость коммунальных услуг была 200 рублей, через   год   она   увеличилась   на 30%,  а  еще   через    полгода     еще     на    20%. Сколько  стоят  новые  коммунальные услуги? Задачи на движение в математике 23 Задачи на движение имеют важное практическое значение: это единственный вид учебных задач, в процессе решения которых   необходимо использовать сразу   несколько   различных   информационных   и   математических   моделей: графические (чертеж, схема, граф), реляционные (таблица) и алгебраические (алгебраические   выражения,   уравнения,   неравенства,   системы   уравнений   и неравенств).   Графическая   модель   позволяет   лучше   понять   взаимосвязи   и отношения,   описанные   в   условии   задачи,   табличная   модель   –   определить наиболее удобный способ решения, математическая модель строится с целью получения   ответа   на   поставленный   вопрос.   Таким   образом,   задачи   на движение   могут   с   успехом   использоваться,   в   том   числе,   и   при   обучении моделированию. Одной   из   особенностей   задач   на   движение   является   то,   что   всякая   такая задача требует обязательного анализа. Без предварительного анализа трудно определить, какой метод, и какая соответствующая математическая модель являются   наиболее   подходящими   для   решения   данной   задачи.   Процессы реальной жизни характеризуются величинами, между которыми существуют определенные зависимости. 24 Задачи на движение Задачи на движение в одном направлении и вдогонку (основные способы решения) Задача 1 Бабочка ­ капустница пролетела 47   со скоростью 4 м/с, а когда подул  попутный   ветер,   скорость   бабочки   увеличилась   на   6   м/с,   и   она пролетела   ещё   некоторое   количество   метров.   Какое   расстояние   бабочка пролетела при попутном ветре, если всего она пролетела 688 м? Решение: 1. 47­4=188 (м) пролетела бабочка 47 с. 2. 4+6 =10 (м/с) скорость бабочки при попутном ветре. 3. 688­188=500 (м) пролетела при  попутном ветре. Ответ: 500 метров.   2.   Задача Велосипедист проехал   64   км   со скоростью 16 км/ч и еще 51 км со скоростью 17 км/ч. Какое время он затратил на всю дорогу? Решение: 1. 64:16=4(ч) ­время первого пути. 2. 51:17=3(ч) ­ время второго пути. 3. 4+3=7(ч) ­ затратил на всю дорогу. Ответ: 7часов. Задача 3.Автомобилист проехал за два дня 770км. В первый день он ехал 4ч со скоростью 80км/ч, во второй день он ехал со скоростью 90км/ч. Сколько часов был в пути автомобилист во второй день? 25 Решение:          1)80*4=320(км)­1день.          2)770­320­450(км) ­ разница           3)450:90=5(ч). Ответ: 5часов. Задача   4.Расстояние   между   двумя   станциями   40   км.   Из   этих   станций одновременно в одном направлении вышли скорый и товарный поезда, причем товарный   поезд   едет   впереди.   Через   сколько   часов   скорый   поезд   догонит товарный, если его скорость равна 80 км/ч, а скорость товарного поезда — 60 км/ч? Решение: 1) 80­60=20 (км/ч) скорость сближения поездов 2) 40:20=2 (ч) через такое время скорый поезд догонит товарный. Ответ: через 2 ч. Задача   3.Расстояние   между   пунктами   равно   50   км.   Из   этих   пунктов одновременно в одном направлении выезжают велосипедист и мотоциклист, причем велосипедист едет впереди. Скорость велосипедиста равна 13 км/ч, скорость мотоциклиста — 38 км/ч. На каком расстоянии от пункта своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста? Решение: 1) 38­13=25 (км/ч) скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста 2) 50:25=2 (ч) через столько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста 3) 38∙2=76 (км) на таком расстоянии от пункта своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста. Ответ: 76 км. 26 Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый? Задача 2. Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого? Задача   3.Санки   съехали   с   горки   за   10сек.,   со   скоростью 2м/сек, а потом по ровной дороге проделали путь в два раза больший. Сколько всего метров проехали санки? 27 Задача   4.Часть   пути   до   школы   школьник   шёл   со   скоростью   50 м/мин в течение 4мин. Остальную часть пути он шёл со скоростью 80м/мин. На весь путь до школы он затратил 10мин. Чему равно расстояние до школы? Задача 5.  От дома до леса лыжник шёл 2ч со скоростью 8км/ч. По лесу он шёл со скоростью 7км/ч. Сколько времени шёл по лесу, если всего прошёл 37км? он Задача   6. Пассажирский   поезд   отправился   во   Владивосток.   Когда   от станции отправления он отошёл на расстояние 342 км, от того же вокзала в том же направлении вышел скорый поезд. С какой скоростью шёл скорый поезд, если скорость пассажирского 50 км/ч, и скорый догнал его через 9 часов? Задача 7. Из города А выехал мотоциклист, а из города Б одновременно с ним   выехал   велосипедист.   Скорость   мотоциклиста   80   км/ч,   а   скорость велосипедиста – 12 км/ч. Через 3 ч мотоциклист догнал велосипедиста. На каком расстоянии друг от друга находятся города А и Б? 28 Задачи на встречное движение (основные способы решения) Задача 1.Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли 2 поезда. Скорость первого 90 км/ч, и он проехал до встречи 360 км. Второй поезд проехал до встречи 280 км. Какова его скорость? Решение: 1) 360:90=4(ч)­время движения поезда. 2) 280:4=70(км/ч)­скорость второго поезда.  Ответ: 70 км/ч. Задача 2.Ехали две машины на встречу друг к другу одна из Ангарска другая из Байкальска. Скорость первой машины 35км/ч, а другой 32км/ч. Найдите расстояние между Ангарском и Байкальском если они встретились через два часа? Решение: 29 1)  35­2­70(км/ч)­  первая   машина   доедет   до   места  встречи  за   два часа. 2)32∙2­64(км/ч)­ вторая машина доедет до места встречи за два часа.  3) 70+64=434(км) ­расстояние между Ангарском и Байкальском. Ответ: расстояние равно 134км. Задача 3.Две машины едут навстречу друг другу. Первая едет со скоростью 115 км/ч. скорость другой на 25 км/ч меньше скорости первой. Расстояние между городами 615 км. Через сколько часов машины встретятся? Решение:                1)115­ 25 ­ 90 (км/ч)­ скорость первой машины. 2.115 +90 = 205(км/ч) ­ скорость сближения. 3)615   :   205   =   3   (ч)­   время   через   которое   машины встретятся. Ответ: 3 часа. Задачи для самостоятельного решения Задача 1.Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через какое время они встретятся? Задача   2.   Винни­Пух   собирается   пойти   навстречу   своему другу Пятачку, который тоже собирается идти к нему в гости. Расстояние между их домами 840 метров. Винни­ Пух идет со скоростью   42   м/мин,   а   Пятачок   –   63   м/мин.   а)   Через   сколько   минут   они встретятся, если выйдут одновременно? б) Через сколько минут после выхода из дома Винни­Пух встретит Пятачка, если Винни ­Пух выйдет на 5 минут 30