Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе
Оценка 4.9

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Оценка 4.9
Разработки курсов
docx
математика
10 кл
18.01.2017
Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе
Сборник заданий составлен по темам, изучаемым на элективном курсе по математике в 10 классе. В нем содержится теория и практика по темам: "Методы решения рациональных уравнений и неравенств", "Неравенства с модулями", "Иррациональные уравнения и неравенства", "Метод декомпозиции" и другие темы.
Сборник заданий для элективного курса в 10 классе.docx
Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 4» Составитель Мехонцева М. Г. Сборник задач для элективного курса «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» Учебно-методическое пособие для учителей математики 1 Шадринск, 2015 Методы решения рациональных уравнений и неравенств ­ Вынесение общего множителя 1. Разложение многочлена на множители  ­ Применение формул сокращенного умножения ­ Выделение полного квадрата 2 ­ Группировка ­ Метод неопределенных коэффициентов 3 ­ Деление на двучлен Метод введения параметра 4 Решение уравнений 5 6 7 Симметрические и возвратные уравнения 8 9 10 11 Рациональные неравенства Теоретическая справка Блок 1. Метод интервалов Неравенство   называется   рациональным,   если   левая   и   правая   его   части являются   суммами   отношений   многочленов.   Одним   из   самых   мощных методов решения неравенств.  Для этого неравенство приводится к виду  (x−x1)p1(x−x2)p2…(x−xk)pk (x−xk+1)pk+1…(x−xm)pm ≥0 ,  где  pm  – кратность корня  xm. При   этом   важно,   чтобы   разность   имела   вид   x−xm ¿ ),   а   не   (xm−x) . Задача 1. Решить неравенство  Задача 2. Решить неравенства 4 −3(x−2) 3x−1 8 −1> 5−3x 2 . 3 x2+4 2.1  ≥ 2x x2+4                  2.2  2 5x−4 ≤ 3 5x−4 . Задача 3. Решить неравенства 5 4x2−9 3.1   >0                      3.2    9x2−1 2x2+5 ≤0      3x2+11 16−x2 ≥0                    3.4   4 x2−25 ≥ 3 25−x2 . 3.3   12 Задача 4. Решить неравенства x2−x−6 2x2+9 4.1  ≥0                    4.2  2 x2−2x−24 < 3 x2−2x−24 Задача 5. Решить неравенства 2x2 3x+7 5.1  ≥0                    5.2  (x−3)2 x2−16 ≤0       16−x2 (x+5)2 >0                    5.4   5.3   Задача 6. Решить неравенство  Задача 7. Решить неравенство  x3−9x2+20x x−4 ≤0 . (x3−27)(x2−6x+9) x2+x−2 ≥0 . x2 x2+2x+1 ≥ −x x2−2x−3 . Домашнее задание Задача 1.  Решить неравенства 2 x2+5 1.1  ≤ 5x x2+5                      1.2  3x2+1 3−2x<0       2x2 5x−4 > −3 5x−4                   1.4   x2+3 4x+5 ≤ 2 4x+5 1.3  Задача 2. Решить неравенства 3 25x2−4 2.1   ≤0                        2.2    4x2−1 2x2+3 >0      2 x2−81 2.3   ≤ 5 x2−81                   2.4   4x2 36x2−49 < −9 36x2−49 Задача 3.  Решить неравенства x−2 x2−6x−40 3.1   ≤0                   3.2  x2−5x+4 x2−2 >0     13 5x−x2+10 x2+5x+10 3.3   <0                   3.4  x2+2x−3 x2−6x+5 ≤0 Задача 4. Решить неравенства 4.1    2x2 2x+5 ≤0                           4.2   (x+7)2 x2−36 ≤0     25−x2 (x−4)2≥0                         4.4   (x−1)(x+2)(x−3)2 (x+4)2(x−5)3 ≤0 . 4.3   Задача 5. Решить неравенства x2+2x−2 x−3 5.1   ≥1                      5.2   x2+3x−3 x+2 ≤3        5.3     x−2 x+2 ≥2x−3 4x−1                      5.4  2 x2−x+1 − 1 x+1 ≥2x−1 x3+1 Уравнения и неравенства с модулем Теоретическая справка −а,еслиа≤0. Блок 2. Модуль величины и его свойства Определение. |а|={ а,еслиа≥0, Блок 3. Самые простые схемы |f(x)|≤A⬄(f(x)−A)(f(x)+A)≤0 Примеры. 1. |5|=5. |f(x)|≥A⬄[ f(x)≥A 2. |-10|=10. f(x)≤−A 3. |π-3|=π-3. Свойства модуля величины 1. |а|≥0. |f(x)|=A⬄[ f(x)=A 2. |-а|=|а|. f(x)=−A 3. |а|=0 <=> а=0. |а|2=а2. 4. Примеры. √а2=|а| . 5. 1. |3x+5|≥4 [ 3x+5≥4 3x+5≤−4  [3x≥−1 Ответ. x∊(−∞;−3]∪[ −1 3x≤−9  [x≥−1 ;+∞). 3 x≤−3 3 14 2. |x2−2x−7|=4 [ x2−2x−7=4 x2−2x−7=−4 ⬄[x2−2x−11=0 ⬄[ x=1±2√3 Блок 4. Неравенства вида |f(x)|g(x). |f(x)|g(x) ⬄ [ f(x)>g(x) f(x)<−g(x). f(x)>−g(x) Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения 1.1|x2−x−5|=11.2|x2+5x+6|=2   1.3||x|−2|=2                      1.4 x2−|x|−2=0 . Задача 2. Используя блок 3, решить неравенства 2.1  |x−1|<3          2.2  |x2+5x|<6          2.3  | x+1 2x−1|≤1. Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства 3.1  |x2−2x|>1       3.2   | x+3 2x−3|≥1 . Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства 15 4.1  ¿x2−4∨¿3x                4.2  x2−5x+9>¿x−6∨¿ 4.3  |3x−2|>2x+1        4.4   x+5≤∨x2−3x∨¿ . x2−4 |≤1. Задача 5. Решить неравенство  |x2−5x+4   Домашнее задание Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения |x2−3x−4|=21.2|x2−x−1|=1 1.1 1.3||x|−3|=21.4(x+2)2=2|x+2|+3.   Задача 2. Используя блок 3. Решить неравенства 2.1  |2x+5|<4        2.2  ¿x2−2x−3∨≤4         2.3  |x2−3x+2 x2+3x+2|<1. Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства 3.1  |x+5|>6         3.2  |3x+1 x−5|≥1                        3.3  |2x−1 x2−3|≥3. Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства 4.1|x−1|>1,5−2x             4.2  |x2−2x−3|<3x−3 4.3|x2−3|+2x+1≥0       4.4  |x2+3x|. Домножим обе части неравенства |f(x)|−¿g(x)∨∨0 на положительное выражение |f(x)|+¿g(x)∨¿ , тогда (|f(x)|−|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)∨0 ⬄ f(x)2−g(x)2∨0 ⬄ Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения |x+3|=2(3−x)1.2|x+3|=x2+x−6 1.1 17 1.3|x−1|=x2−3x−21.4|x2+x−3|=x   1.5|x2+x−1|=2x−1.   Задача 2. Используя блок 6, решить уравнения 2.1   |2x+1|x−3x−4=0       2.2   x|x|+8x−5=0 2.3   x2−5x|x−3| x−3 −14=0         2.4   |x2−3|x|+1|=1. Задача 3. Используя блок 6, решить уравнения 3.1   |x|−2|x+2|=6                 3.2  |x+2|−|x−4|=4 3.3 | x2−4 |­| x2−9 |=5             3.4  |x2−3x+2|+|x2−5x+6|=2 . Задача 4. Используя блок 6, решить неравенства 4.1   |3x−2|x<1                         4.2   x2−5|x|+6>0 4.3   |x−1|+¿x+1∨≤4 . Домашнее задание Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения |x2−1|+x+1=01.2|2x+x2−3|=−(1−x)(3+x) 1.1 1.3|x2−2x|=3−2x1.4|3x2−x|=8+x   1.5|x−3|=−x2+4x−31.6x2+|x2+3x−4|=−3x+4.   Задача2. Используя блок 6, решить уравнения  2.1|x−2|x−6x+8=0                 ¿x−1∨ ¿ x−1=0 2.2x2+2x+3¿ 18 ¿x−2∨¿=2. 2.3 x2+5x−6 ¿   Задача3. Используя блок 6,  решить уравнения 3.1|x−1|+|x+2|−2x=1         3.2|x−3|+2|x+1|=4 3.3|x+5|+|x−8|=13                3.4  |x|+|x−2|+|2x−1|=4x−1 3.5|x2−x|+|x2−3x+2|=2           3.6 |x+1|−1 2|x−4|+x−8 =1. Задача4. Используя блок 6, решить неравенства 4.1  2x2−3|x|+1≤0                          4.2   |1+2x|−|x+2|<2 |x+3|−1 2|x+4|−4 4.3   ≤1                                         4.4   2|x+1|−|x−1|>3 ¿x+3∨ 4.5   >2. x2+5x+6 ¿ ¿ Задача 5. Используя блок 7, решить неравенства 5.1  |3x−2|>¿2x+1∨¿                           5.2  ¿x+4−x2∨≤∨x2−5x+4∨¿ 5.3  |2x2+x−1|>|x+1| . Задача 6. Решить неравенство  ¿x2−5∨x∨+4∨≥|2x2−3|x|+1|. Иррациональные уравнения и неравенства Блок 8. Уравнения вида √f(x)=g(x) √f(x)=g(x){f(x)=g2(x) g(x)≥0. Теоретическая справка Пример. Решить уравнение √12−x=x. Решение. {12−x=x2 x≥0 ⬄{x2+x−12=0 x≥0 ⬄{[x=−4 x=3 x≥0 19 . f(x)≥0 g(x)≥0 ⬄{f(x)=g(x) Блок 9. Уравнение вида √f(x)=√g(x) √f(x)=√g(x)⬄{f(x)=g(x) Решаем ту эквивалентную систему, которая ПРОЩЕ! Пример. Решить уравнение √x+2=√2x−5 Решение. {x+2=2x−5 ⬄{ x=7 x+2≥0 x≥−2 Пример. Решить неравенство √x+70 {x+72√4−x2 3.3  √(x−6)(x−12)2x+1 4.3  √2x−x2>4−x 4.4  √x2−5x−24≥x+2. Задача 1. Используя блок 8, решить уравнения Домашнее задание 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 √5x−1=x+1 √35−5x+2x=9 √8x2−7=3x−4 √2x2+8x+7−2=x √1+x√x2+42=x+1. Задача 2. Используя блок 9, решить уравнения 2.1  √x2−5x+1=√x−4 2.2  √8−5x=√x2−16 2.3  √6x2+2x−10=√x2−x−2. Задача 3. Используя блок 10, решить неравенства 21 3.1  √7+3x<1−x 3.2  √6x+4≤3x−2 3.3  √x2−x−1≤2x+3 3.4  √4x−x2<4−x 5−¿x+1∨¿≤2+x √¿ . 3.5  Задача 4. Используя блок 11, решить неравенства 4.1   √2x−x2+1≥2x−3 4.2  √x2−3x+2−3−x>0 4.3  x+4<√−x2−8x−12 4.4  √2x2+5x−6>2−x 4.5  √x2−4x>x−3. Иррациональные уравнения и неравенства Теоретическая справка f(x)≤g(x) Блок 12. Неравенства вида √f(x)≤√g(x),√f(x)<√g(x) √f(x)≤√g(x)⬄{ f(x)≥0 Блок 13. Метод расщепления √f(x)<√g(x)⬄{ f(x)≥0 f(x)0 f(x)>0 g(x)−определена Пример. Решить неравенство √x2−3x+1≥√3x−4 . ⬄{(x−5)(x−1)≥0 x≥4 22 3 ⬄x≥5. g(x)−определена Блок 14. Две основных теоремы   f1(x)=g1(x)иf2(x)=g2(x) называются Определение.  Два   уравнения равносильными на множестве  M, если совпадают множества их корней, принадлежащие  M. Определение. Если множество корней уравнения  f2(x)=g2(x) множество корней уравнения   f1(x)=g1(x) называется следствием уравнения  f1(x)=g1(x) Теорема1.  Уравнение   уравнения  f(x)=g(x).  содержит , то уравнение   f2(x)=g2(x) .  (f(x))2n=(g(x))2n ,   n∊N ,   является   следствием Задача 1. Используя блок 12, решить неравенства 1.1 1.2 1.3 √x+2>√8−x2 √3x+1<√x+3 √4x2−4x+2≥√1+x−2x2. Задача2. Используя блок 13, решить уравнения 2.1(2x−3)√2x2−5x+2=0   2.2√3x+4(9x2+21x+10)=0.   Задача3. Используя блок 13, решить неравенства 3.1 (3x+10)√x−4≤0 3.2 (x+2)√(4−x)(5−x)≥0 (x+8)√x2−5x+4>0 (x2−9)√25−x2<0. 3.3  3.4  Задача 4. Используя блок 13, решить неравенства 23 √8−2x−x2 x+10 ≤√8−2x−x2 2x+9 4.1  √2−x−x2 x−4 ≥√2−x−x2 2x+11 . 4.2  Задача 5. Используя блок 14, решить неравенства 5.1  √x+3+√3x−2≤7 5.2  3√x−√x+3>1 5.3  √x+3+√x+2−√3x+7>0 . Задача 1. Используя блок 12, решить неравенства Домашнее задание 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 √2x−1≥√x+4 √x+1>√x−1 √2x2+6x+3≥√−x2−4x √ 8−x x−10≤√ 2 2−x √2−√3+x<√x+4. Задача 2. Используя блок 13, решить уравнения (x−3)√x2−5x+4=2x−6 (x+1)√16x+17=(x+1)(8x−23) (x+4)√2x−4=(x+4)(x−1). 2.1  2.2  2.3  Задача 3. Используя блок 13, решить неравенства (x+2)√(4−x)(5−x)≥0 3.1  24 x−3 (x−12) √¿≤0¿ (x+2)2(x−1)2√x−7≥0 √2x2+15x−17 10−x ≥0 . 3.2  3.3  3.4  Задача 4. Используя блок 13, решить неравенства √12−x−x2 2x−7 ≤√12−x−x2 x−5 4.1  √6+x−x2 2x+5 ≥√6+x−x2 x+4 . 4.2  Задача 5. Используя блок 14, решить неравенства 5.1  √x+3+√x+15<6 5.2  √x−6−√10−x≥1 5.3  √x+3+√x+2−√3x+7>0. Смешанные уравнения и неравенства Задача 1. Решить уравнение  4−7x∨x+2∨¿=3x+2. √¿ Задача 2. Решить неравенство  √x2+|x−4|−18>x−4. Задача 3. Решить неравенство  √x−3≤3−|x−6|. Задача 4. Решить неравенство  3√|x+1|−3≥√x2−2x−3. Задача 5. Решить неравенство  |x−2√x+2|+¿2√x+3−x∨≤7. Домашнее задание 25 Задача 1. Решить уравнение  3√x+4=5−2|x+2|. Задача 2. Решить уравнение  √2−x2=|x|−1. Задача 3. Решить неравенство  √x2+x+4≤2x+|3x−2|. Задача 4. Решить неравенство  √|1−8x|−2≤x+1. Задача 5. Решить неравенство  √x2−5+3>|x−1|. Задача 6. Решить неравенство  2√x2−x−2≥|x+1|−2. Задача 7. Решить неравенство  |x−2√x−3|+|x−√x−2|>6. Теоретическая справка Метод декомпозиции Блок 15. Метод декомпозиции. Введем два важных понятия: базовая функция и её эквивалент. Базовая функция-это такое выражение, при замене которого на эквивалент, множество решений неравенства не изменится. Ниже приведен список базовых функций и их эквивалентов. Впоследствии мы его значительно расширим. Базовая функция 1. ¿t∨¿ 2. |t1|−¿t2∨¿ 3. at2+bt+c 4. √t1−√t2 5. |t1|−√t2 6. at2+bt+c Основная идея метода декомпозиции Если левая часть неравенства представляет собой выражение вида Эквивалент 1. t2 2. t1 3. a, при D<0 4. t1−t2 , при t1≥0,t2≥0 5. t1 6. t2−(at2+bt+c)2,приD<0. 2 2−t2 2−t2,приt2≥0 |t|−¿ ) 26 Задача 1. Решить неравенство  Задача 2. Решить неравенство  x2−7|x|+10 x2−6x+9 <0. |x+2|−¿x∨ ¿ √4−x3 ¿ >0. Задача 3. Решить неравенство  (√3x+5−√x+3)(|x−4|−x2−2)<0. Задача 4. Решить неравенство  Задача 5. Решить неравенство √8−x−¿x−2∨¿≥1. √x+2−¿x−2∨¿ ¿ ¿ (x+ 7 x)(√x2−10x+25−1 √10−x−1 )2 ≥8(√x2−10x+25−1 √10−x−1 )2 . Задача 1. Решить неравенство  Домашнее задание x2−7|x|+12 x2−10x+25 <0. Задача 2. Решить неравенство  (√3x+4−√x+1)(|8x−5|−|3x+2|)<0. Задача 3. Решить неравенство  |x+3|−√x2−2x−3≥0. Задача 4. Решить неравенство  Задача 5. Решить неравенство  √3x+2−√2x+1 √4−x >0. √2x2−3x−5 √x−2 <√x+1 27 Задача 6. Решить неравенство  |x+2|−√2x+12 |x+3|−√12+4x ≥0. Задача 7. Решить неравенство (x+ 9 x)(√x2−8x+16−1 √13−x−1 )2 ≥10(√x2−8x+16−1 √13−x−1 )2 . Дополнительные задачи Задача1.(x−1)(x+2)(x−3)2 (x+4)2(x−5)2 ≤0.   Задача2. x2−5x+4 x2−2 >0.   Задача3.(x3−27)(x2−6x+9) x2+x−2 ≥0.   Задача4. x2+2x−2 x−3 ≥1.   Задача5. x2−2x+3 x2−4x+3 ≥−3.   Задача6. x−2 x+2 ≥2x−3 4x−1.   Задача 7.  (x−5)(x+4)(x2+6x+9)≥0. Задача 8.  (x2−10x+21)(x2−6x−7) (x2+5x+6)(x2−4) ≤0. Задача 9.  1 x<1. Задача 10.  5x+8 4−x <2. Задача 11.  2x x2−9 ≤ 1 x+2 . 28 Задача 12.  7 (x−2)(x−3) + 9 x−3 +1<0. Задача 13.  2x2+2x+1− 15 x2+x+1 <0. Задача 14.  |2x−3|=7. Задача 15.  ||x|+2|=2. Задача 16.  ¿x2−x−2∨ ¿ x+1=3. ¿ Задача 17.  |x2+x−3|=x. Задача 18.  |5x+2|=3−3x. Задача 19.  |x−|x−|x−1|||=1 2 . Задача 20.  |x|−|x−2|=2. Задача 21.  |x|+|3x+2|+|2x−1|=5. Задача 22.  x2+¿x−5∨¿=1. |x2−4x|+3 ¿ Задача 23.  |2x−1|<3. Задача 24.  |x2+3x|2. Задача 32.   |2−|x||<2|x|. Задача 33.  ¿x2−5∨x∨+4∨≥|2x2−3|x|+1|. Задача 34.  √2x−9=√6−x. Задача 35.  √x2−4x+5=√x−1. Задача 36.  √2x2−7x+5=1−x. Задача 37.  √5x−1=1−x. Задача 38.  √3+√5−x=√x. Задача 39.  1+√1+x√x2−34=x. Задача 40.  (x+1)√x2+x−2=2x+2. Задача 41.  (x−1)√x2−x−6=6x−6. Задача 42.  √2x−4−√x+5=1. Задача 43.  √3x+1+√16−3x=5. Задача 44.  √4x+8−√3x−2=2. Задача 45.  2√x−1−√x+2−√5x−10=0. Задача 46.  √ 2x−3 4x−1≥√ x−2 x+2 . 30 Задача 47.  x+4≤√x+46. Задача 48.  x−3<√x+27. Задача 49.  √x2−x−2≤x−1 . Задача 50.  √x2−3x−18<4−x. Задача 51.  √x2+3x+3<2x+1. Задача 52.  √3−2x−x2 x+8 ≤√3−2x−x2 2x+1 . Задача 53.  (x−1)√x2−x−2≥0. Задача 54.  (x2+3x−10)√2x2+5x+2≥0. Задача 55.  3√x+2≤6−|x−2|. Задача 56.  √x2+2√x2−1+√x2−2√x2−1≤2. Задача 57.  √x3+x2−4x+1≥|x−2|. 2 4 x3+37 (x+4)3≥1+ (x+4)2 ≤(3x+1)2 1 Задача 58. {(x−1)2+4(x+1)2 Задача 59.  {(x2−5,6x+7,84)(x−2,5)≤0 Задача 60.  { Задача 61.  { 1 x−2− 6 √x2+34≥6 25x2−3|3−5x|<30x−9 1 x−2 + 1 3−x≤5 2x2−2x+1 2x−1 ≤1 x−1+ 2 x−3≥0 31 Задача 62.  ( 1 x2−7x+12 3−x)√6x−x2≤0 +x−4 Занятие 1.  Задачи. 1.  x∊(1,6;+∞).   2.1  x∊(−∞;1,5].   2.2  x∊(−∞;0,8)∪(0,8;+∞). Ответы. −1 3 x∊¿ 3.1  x∊(−∞;−1,5)∪(1,5;+∞).   3.2  1 3 ¿ .    3.3  3.4   x∊(−∞;−5)∪(5;+∞).   4.1  x∊(−∞;−2]∪[3;+∞).    4.2   x∊(−∞;−4)∪(6;+∞).   5.1  x∊(−7 −4 x∊¿ ; 4¿ . ;+∞).   5.2  −4 x∊¿ ; 4¿ .  3 ; −4 x∊¿ ; 4¿ . 5.4  x∊[0;4)∪(4;5].   6.  x∊(−2;1)∪¿.   5.3  7.  x∊(−∞;−1)∪(−1;0]∪(3;+∞). Домашнее задание. 1.1  x∊[0,4;+∞).  1.2  x∊(1,5;+∞).  1.3  x∊(0,8;+∞). 1.4x∊(−∞;−1,25).    2.1  x∊(−0,4;0,4) .  2.2  x∊(−∞;−0,5)∪(0,5;+∞).    2.3  x∊(−∞;−9)∪(9;+∞).   2.4  x∊(−7 6).   3.1  x∊(−∞;−4)∪¿. ;7 )∪( 5+√65 3.2  x∊(−∞;−√2)∪(1;√2)∪(4;+∞).  3.3  x∊(−∞;5−√65    4.1x∊(−∞;−2,5).   4.2x∊(−6;6) 3.4  x∊[−3;1)∪(1:5) 4.3x∊[−5;−4)∪(−4;5].   4.4  x∊(−∞;−4)∪(−4;−2)∪¿. 5.1  x∊(3;+∞).   5.2  x∊(−∞;−3]∪(−2;3].   5.3  x∊(−∞;−2)∪(0,25;1]∪[4;+∞).   5.4 x∊(−∞;−1)∪(−1;2] 2 ;+∞). .   6 2 . 2 .   1.2  x=−1,x=−4. Занятие 2.  Задачи. 1.1  x=−2,x=3,x=1±√17 1.4x=±2. 3.1  x∊(−∞;1−√2)∪(1+√2;+∞).  3.2  x∊[0;1,5)∪(1,5;6]. 4.1  x∊(1;4).   4.2  x∊(−∞;1)∪(3;+∞).   4.3  x∊(−∞;0,2)∪(3;+∞).   x∊(−∞;−1)∪(5;+∞).  5.  x∊[0;1,6]∪[2,5;+∞).    2.1   x∊(−2;4).   2.2  x∊(−6;−3)∪(−2;1).  2.3  x∊(0;0,5)∪(0,5;2).   1.3   x=±4,x=0.    4.4 32 2 2 ,x=3±√17    2.1  x∊(−4,5;−0,5) .  1.2  x=±1,x=0,x=3. Домашнее задание. 1.1  x= 3±√33    1.4  x=1,x=−5. 1.3x=±1,x=±5. 2.2  x∊(1−2√2;1+2√2).  2.3  x∊(−2;−1)∪(0;+∞).   3.1  x∊(−∞;−11)∪(1;+∞).   3.2 x∊(−∞;−3]∪[1;5)∪(5;+∞). 3.3 x∊[ −1+√31 ;−√3)∪(−√3;−4 3 x∊(2;5).   4.3  x∊(−∞;−1−√3]∪[1−√5;+∞).   4.4 x∊(−1−√5;−2)∪ (−2;−1+√5).   4.5  x∊(−0,75;1).   4.6  x∊R.  4.7   x∊(−∞;−1]∪[0;+∞).   5.  x∊[1;2)∪(3;4]. ;√3)∪(√3;2].   4.1  x∊(0,5;+∞).   3]∪[ −1+√31  4.2 3    1.3  x=−1,x=2+√5.  1.4  x=1,x=√3.  2.2  x=−4+√21 2.3  x=2,x=±7.    2.4 4.1  x∊(−∞;1).   4.2   1.2  x∊(−∞;−3]∪[1;+∞).   1.3  x=1,  1.6  x∊[−4;1].  2.1  x=4+2√2   x=−√3. Занятие 3.  Задачи. 1.1  x=1. 1.5  x=1,x=√17−3 x=0,x=±1,x=±2,x=±3.    1.2  x=±3. .   2      2.1  x=2.  3.1  x∊⊘ . 3.2  x=3.   x=1,x=3.   3.4  x∊(−∞;−3]∪[3;+∞).   −7±√98 3.3  x∊(−∞;−3)∪(−2;0].  4.3  x∊[−2;2].    Домашнее задание.  1.1  x=−1. 1.4  x=2,x=−4 .  1.5  x=2,x=3. 3 x=−2±2√3.  2.2  x=−3.   2.3  x= 3.3  x∊[−5;8].    3.4  x=1. x∊[−1;−0,5]∪[0,5;1].  4.2  x∊(−5 4.4  x∊(−∞;−6)∪( 2 ∊(−∞;0]∪[2;3].   5.3  x∊(−∞;−1)∪(−1;0)∪(0;+∞).    6.  x∊[ −5 3]. ;5 3 3   33 2  3.5  x=0,x=2. .   3.1  x∊[1;+∞).  3.2  x=−1.   3.6  x=8.   ;3).   4.3  x∊(−∞;−8]∪(−6;−2)∪(−2;+∞).   ;+∞).   4.5  x∊(−2;−1,5).      5.1  x∊(−∞;0,2)∪(3;+∞).   3  4.1  5.2 16   1.4  x=2+√5.   2.1  x=10.  2.2  x∊⊘ . ;6]∪[12;+∞).  4.1  1.2  x=1.  1.3  x=3. 13).  3.2  x∊[−2;−1,6)∪(0;2].  3.3  x∊( 71 Занятие 4.  Задачи. 1.1  x=3. 3.1  x∊(−∞;−2]∪[5;74 x∊(−∞;3].   4.2  x∊(−∞;0).   4.3  x∊⊘ . 4.4  x∊(−∞;−3].   1.3  x=23. Домашнее задание. 1.1  x=1,x=2. 1.5  x=0,x=9,5.   2.3   x=−1,6. 3.2  x∊[2;+∞).    3.3  x∊[−1;1−√5 2 ;+∞).    3.4  x∊[0;2).    3.5  x∊[0;4]. 4.1  x∊[1−√2;2].  4.2  x∊(−∞;−7 4.4  x∊(−∞;−10)∪(1;+∞).  4.5  x∊¿∪(4,5;+∞).    2.2  x=−8. 2 ]∪[ 1+√5 9).   4.3  x∊[−6;−4+√2].     1.4  x=−1.    3.1  x∊[ −7   2.1  x=5. ;−1).    1.2  x=2.         3 Занятие 5.  2 3 3 x=2,x=0,5. ;1).   ,x=−2 3 ;6].   5.2  x∊(1;+∞).  5.3   x∊(−2;+∞). Задачи.  1.1  x∊[ −1  2.2  x=−4 3  1.2  x∊(2;2√2].   1.3  x∊[ −1 .   3.1  x=4. 3]∪[ 1 ;1   3.2  x∊[−2;4]∪[5;+∞). 3.3  x∊(−8;1]∪[4;+∞).  3.4  x∊(−3;3).  4.1  x∊[−4;1]∪{2}.  4.2  x=1, 5.1  x∊[ 2 Домашнее задание. 1.1  x∊[5;+∞).  1.2  x∊[1;+∞).  1.3  x∊[−4;−3]∪[ −1 x∊⊘ . 1.5  x∊(−3−√5 2.3  x∊⊘ .  3.1  x∊[−2;4]∪[5;+∞).   3.2   x∊[3;12].   3.3  x∊[7;+∞).   3.4  x∊(−∞;−8,5]∪[1;10).   4.1  x∊[2;3]∪{−4}.   4.2  x∊[−2;−1]∪{3}.   5.1  x∊[−3;1].   5.2  x∊[ 16+√7 2 ;10].   5.3  x∊(−2;+∞). ;1].   2.1  x=0,x=5.   2.2  x=−1,x=4. 2   ;1].   2.1 2   x=−2. ;0].   1.4 3 Занятие 6.  Задачи. 1.  x=0.   2.  x∊(−∞;1−√57 2 ]∪( 38 9 ;+∞). 3.  x∊{3}∪[6;7].   34 2 ].  5.  x∊[0;6+2√5]. 4.  x∊[3;11+√61 Домашнее задание. 1.  x=−3,75,x=−3,x=1,75.   2.  x=±1+√3 2 . 3.  x∊(−∞;0]∪[0,875;+∞).   4.  x∊[−5+√23;−0,125]∪[0,375;3−√5]∪ [3+√5;+∞).      5.  x∊(−∞;−2,25)∪(√5;+∞).   6.  x∊(−∞;−1]∪[ 1+√28 x∊(0,25;1)∪( 53+3√97 ;+∞). 8 3 ;+∞).      7. Занятие 7.  Задачи. 1.  x∊(−5;−2)∪(2;3)∪(3;5).   2.  x∊(−1;3√4).  3.  x∊¿∪ (1;+∞).   4.  x∊[−2;−1)∪[3;4).   5.  x∊(0;1)∪{4}∪{6}∪[7;9)∪(9;10]. Домашнее задание. 1.  x∊[−4;−3]∪[3;4].   2.  x∊[−1; 3 11]∪[1,4;+∞). 3.  x∊[−1,5;−1]∪[3;+∞).    4.  x∊[−0,5;4).   5.  x∊[2,5;3).  6.  x∊(−3;1)∪ [2;+∞).   7.  x∊(0;1]∪{3}∪{5}∪[0;12)∪(12;13].  6.  4.  x∊(3;+∞).   5.  x∊(−∞;1)∪[1,5;2]∪[3;+∞).   Дополнительные задачи. 1.  x∊(−∞;−4)∪(−4;−2]∪[1;5).   2.  x∊(−∞;−√2)∪(1;√2)∪(4;+∞).   x∊(−2;1)∪[3;+∞).   3. ∊(−∞;−2)∪(0,25;1]∪[4;+∞).     7.  x∊(−∞;−4]∪[5;+∞).    8.  x∊(−3;−2)∪(−2;−1]∪(2;3]∪{7}.   9.  x∊(−∞;0)∪(1;+∞). 10.  x∊(−∞;0)∪(4;+∞).    11.    x∊(−∞;−3)∪(−2;3).    12.  x∊(−5;1)∪(2;3).      13. x∊(−2;1).    14.    x=−2,x=5.    17.  x=1,x=√3.    18.   19.  x=1 x=−2,5,x=0,125. 6 20.  x∊[2;+∞).   21.  x=−1,x=2 3 24.  x∊(−1−√5;−2)∪(−2;−1+√5).   25.  x∊( 11−√57 27.  x∊(−∞;−2 ;11+√57 3]∪[0,5;+∞).    28.  x∊(−∞;0).   29.  x∊[ −5  23.  x∊(−1;2). ).   26.  x∊R. 3]∪[ 6 ;2   15.  x=0. ,x=0,5,x=1,5.   .   22.  x=−2 3    16.  x=5. ,x=0,5,x=2. ;4]. 7 4 4 3 35 3  49.    x∊[2;3].     50.  x∊(−∞;−3].   3)∪   35.  x=2,x=3.   36.  x=1. 37.  x=0. 3]. 34.   x=5. ;5 ;+∞).   33.  x∊[ −5 3   39.  x=9,5.    40.  x=−3,x=2. 30.  x∊(−∞;−4]∪[−1;+∞).    31.  x∊(4;6)∪(6;8).   32.  x∊(−∞;−2 ( 2 38.  x=4. 43.  x=0,x=5. x∊[−27;9).   x∊{−3}∪(−0,5;1]∪[4;5].   53.  x∊{−1}∪[2;+∞).     54.  x∊¿∪ {−2}∪{−0,5}∪[2;+∞).    55.  x∊[−2;−1]∪{2}.   56.  x∊[−√2;−1]∪[1;√2]. 57.  x∊[3√3;+∞).   44.  x=2,x=34.    45.  x=2.    46.  x∊[2;4]. 47.  x∊[−46;3]. 48. ;+∞).   52.   41.  x=−6,x=7.  42.  x=20.  51.  x∊( 2 3 Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ­2015  по математике. Решение задач на сложные проценты Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования   денег   при   условии,   что   сумма   начисленного   простого   процента   не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход. Сложные проценты ­ это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента ­ это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.  х  (1+ 0,01а)n  ­ периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов. х(1+ 0,01а)n,  где х ­ начальный вклад, сумма. а – процент(ы) годовых n­ время размещения вклада в банке Но,  мы  можем  и уменьшать  цену,  поэтому  эту  формулу  можно  записать  и по­ другому: х(1­ 0,01а)n ­ периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов. Пример: Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.  Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб. Ваша прибыль ­ 1000 рублей.  Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.  36 Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб. Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3­й год прибыль за 2­й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее. Этот эффект и получил название сложный процент. Когда   вся   прибыль   прибавляется   к   основной   сумме   и   в   дальнейшем   уже   сама производит новую прибыль.  Задача 1 Вкладчик  открыл счет в банке, внеся 2000  рублей  на вклад, годовой доход  по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет? Решим эту задачу по формуле сложных процентов х (1 + 0,01а)n,  где х – первоначальный вклад. а – процент годовых. n ­ время размещения вклада в банке. Применим эту формулу к нашей задаче  первоначальный вклад – 2000 процент годовых ­ 12 n – 6 лет, значит  2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65 ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп. Задача 2 (ЕГЭ 2006год)  После   двух  последовательных   снижений   цен  на   одно   и  то   же  число  процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз? Решим эту задачу по формуле сложных процентов – х (1­0,01а)n Получим: 400*(1­0,01а)2=324  20(1 – 0,01а) = 18 1 – 0,01а = 0,9 а = 10 ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10% Задача 3 (ЕГЭ 2006год) По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого года   эти   проценты   капитализируются,   то   есть   начисленная   сумма   присоединяется   к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока? 37 Решение: Эту задачу можно решить двумя способами: 1)по действиям  2)по формуле сложных процентов Решение: 1)узнаем доход за первый год  80000*0.12=9600руб. 2)найдем сумму на счете после первого года 80000+ 9600= 89600руб. 3)определим доход за второй год 89600* 0,12= 10752 руб. 4)узнаем конечную сумму на счете 10752 + 89600= 100352руб. 5)найдем доход после двух лет 100352­ 80000= 20352 руб. ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 20352 руб. Эту же задачу решим по формуле банковских процентов: х(1 + 0,01а)n Пусть: х – 80000 – начальный вклад а – 12% годовых n – 2 года, получим: 80000(1+ 0,12)2 = 80000 * 1,122 = 100 352 руб. Этим узнали конечную сумму на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой доход был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.  100352 – 80000 = 20 352руб. ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 29 352 руб. Задача 4 (ЕГЭ 2006год) Банк   предлагает   клиентам   два   вида   вкладов.   Первый   «До   востребования»   со следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет увеличивается на 10%   от   суммы,   имеющиеся   на   счету   клиента   в   момент   начисления.   Второй   вклад «номерной» с ежегодным начислением процентов по вкладу. Сколько процентов годовых должен начислять банк по второму вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом на каждые из указанных счетов, через два года оказались снова равными?  Решение: Решим эту задачу уравнением, применяя форму банковских процентов. Пусть: х – начальный вклад; тогда через 6 месяцев сумма на счете будет равна х*х+0,1=х(1+0,1); через год сумма будет  х(1+0,1)+х(1+0,1)*0,1= х(1+0,1)2; Тогда через два года сумма будет равна х(1+0,1)4  Сумма вклада «Номерной» через два года, после двух начислений равна х(1+0,01х)2 Получим уравнение:  х(1+0,01х)2 = х(1+0,1)4  1+0,01х=(1+0,1)2  100+    х = 110   2 38 100       100 100+х = 12100                100 100+х=121 Х=21% ОТВЕТ: банк должен начислять 21% годовых, по «номерному» вкладу. Вывод: решила задачу, применив свойство сложных процентов. Задача 5 (ЕГЭ 2006год) Для   определения   оптимального   режима   снижения   цен   социологи   предложили фирме с первого января снижать цены на товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 20%, в другом через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (первого июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько   процентов   надо   снижать   ценны   товара   через   каждые   два   месяца   во   втором магазине?  Решение: Решим эту задачу с помощью формулы сложных процентов: х(1+0,01а)n  Пусть: х – начальная цена, тогда, через месяц, после первого понижения, в первом магазине, цена на товар будет равна х(1­0,2) после второго понижения х(1­0,2)2;  Тогда, через полгода (после шести понижений) цена будет равна х(1­0,2)4 Цена товара, во втором магазине после трех понижений на а% будет равна  х(1­0,01а)2 Получаем уравнение:  х(1­0,01а)2= х(1­0,2)4 1 – а = (100­ 20)  2 100         1002 100 – а = 80 100 1002 100 – а = 64 а = 36% ОТВЕТ: на 36% надо снижать цены во втором магазине.   Задача 6 (ЕГЭ 2006 год) В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако с связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько % фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы первого января следующего года зарплата сотрудника была   равна   той,   которую   он   получил   бы   в   режиме   повышения,   предусмотренной договором?  Решение: Для решения составим таблицу:   Через повышается какое   время на сколько % повышается Какая зарплата будет 39 Через каждые 3 месяца Через каждые полгода 2% а%  х(1+0,02)4  х(1+0,01а)2 По таблице составим уравнение: х(1+0,02)4 = х(1+0,01а)2 (1+0,02)2 = (1+0,01а) 102  1002    100 а = 4,04% ОТВЕТ: через каждый полгода зарплату сотрудникам надо поднимать на 4,04%.  2 = 100+    а  Задача 7. Нахождение количества лет выплаты кредита. Максим хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз   в   год   равными   платежами   (кроме,   может   быть,   последней)   после   начисления процентов. Процентная ставка­ 10%   годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей? Решение. 1)В конце первого года долг составит:  1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб) 2) В конце второго  года долг составит:  1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб) 3)В конце третьего  года долг составит:  1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб) 4)В конце четвертого  года долг составит:  838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб) 5)В конце пятого  года долг составит:  571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб) 6) В конце шестого  года долг составит:  278900 ∙ 1,1 =306878 (руб) Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет. Ответ: 6 лет Задача 8. Вычисление процентной ставки по кредиту. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию? 40 Решение. Пусть а ­ процентная ставка по кредиту. 1)В конце первого года долг составит:  1000000 ∙ (1 + 0,01∙ а) – 660000 = 340000 + 10000∙а 2)  В конце второго  года  долг составит:  (340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000. По условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем уравнение: (340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0; а2  + 134∙а – 1440 = 0 Решая уравнение, получаем, что  а = 10. Ответ: 10% Задача 9. Нахождение суммы кредита. 31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет   проценты   на   оставшуюся   сумму   долга,   затем   Михаил   переводит   в   банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года? Решение. Пусть S – сумма кредита. 1)В конце первого года долг составит:  (1,1х – 2928200) рублей 2)  В конце второго  года  долг (в рублях) составит:  (1,1х – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х – 6149220 3)  В конце третьего  года  долг (в рублях) составит:  (1,21х – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 =  =1,331х – 9692342 4)  В конце четвертого  года  долг (в рублях) составит 2928200 рублей: (1,331х – 9692342)∙1,1 = 2928200; 1,4641х – 10661576 = 2928200; 1,4641х = 13589776; х = 9281999,8. Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.   Ответ: 9282000 руб Задача 10. Нахождение ежегодного транша. 31 декабря 2014 года  Роман взял в банке 8599000 рублей  в кредит под 14% годовых. Схема   выплаты   кредита   следующая   –   31   декабря   каждого   следующего   года   банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)? Решение. 1)В конце первого года долг составит:   8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х  41 2)  В конце второго  года  долг составит:  (9802860 ­ Х)∙1,14 – Х=11175260 – 2,14∙Х  3)  В конце третьего  года  долг (в рублях) составит: (11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12739796 – 3,4396∙Х. Составим уравнение: 12739796 – 3,4396∙Х= 0 Х=3703860 рублей Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей. Дополнительные задачи на проценты Задача 1 (ЕГЭ 2006) Вследствие   инфляции   цены   выросли   на   150%.   Дума   потребовала   от   правительства возвращение   цен   к   прежнему   уровню.   Для   этого   цены   должны   быть   уменьшены   (на сколько процентов)? Решение: Решим эту задачу с помощью пропорций.  Пусть: х – первоначальная цена у – цена после повышения цен на 150% х– 100% у = 250   х; у = 2,5х (новая цена) у– 250%      100 2,5х – 100% 100* х­ ?% 40%   ­   составила   первоначальная   цена   от   инфляции,   поэтому   цены   должны   быть уменьшены на 60% 1 ОТВЕТ: цены должны быть уменьшены на 60%. 100% ­ 40% = 60%    х = 40% 2,5х Задача 2 Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на 650 рублей, после понижения на 15%? Решение: Решим эту задачу пропорцией и по действиям. Пусть: х – на сколько рублей понизилась цена тетрадей. 40 – 100% х = 40*0,15 = 6 (рублей) х – 15%             100 1) 40 – 6 = 34 (руб.) стала стоить тетрадь 2) 650 * 34 = 19 (тетрадей) можно купить на 650 рублей ОТВЕТ: 19 тетрадей можно купить на 650 рублей  Задача 3 42 Сколько   граммов   воды   надо   добавить   к   50г   раствора,   содержащего   8%   соли,   чтобы получить 5% раствор? Решение: Решим эту задачу уравнением. Пусть: х ­ количество воды, которое надо добавить  (50+х) – новое количество раствора 50* 0,08 – количество соли в исходном растворе  0,05(50+х) количество соли в новом растворе Так   как   количество   соли   от   добавления   не   изменилось,   то   оно   одинаково   в   обоих растворах – и в исходном, и в новом. Получаем уравнение: 50*0,08 = 0,05(50+х) 50*8 = 5*(50+х) 400= 250+5х ­5х= ­150 х = 30 (г.) ОТВЕТ: 30 граммов воды надо добавить, чтобы получить 5% раствор.  Вывод: решила задачу с помощью уравнения. Задача 4. Свежие грибы по массе содержат 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих? Решение: решим задачу с помощью таблицы и уравнения. %воды Масса (кг) %   содержания   сухого вещества 10% 88% свежие 90% 22 х 12% сухие Из таблицы видно, что: 0,88х = 2,2 х = 2,2 = 2,5кг     0,88 Ответ: 2,5 кг сухих грибов.  сухого   Масса вещества 22*0,1=2,2 0,88х Тригонометрические уравнения 43 44 45 46 Ответы 47 Список использованной литературы 1.   А.Г.Мерзляк,   В.Б.Полонский,   М.С.Якир.   Алгебраический   тренажер.   Москва,   издательство «Илекса», 2001.  2. В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. МЦНМО, 2001 3. С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И. Пасиченко. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Москва, издательство «Дрофа», 2001.  4. В.П.Моденов. Математика. Москва, издательство «Новая волна», 2002.  5. Математика. Сборник задач с решениями для поступающих в ВУЗы. Под редакцией В.М.Говорова, Н.В.Мирошина. Москва, издательство «Астель», 2002.  6. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И. Сканави. Москва, издательство «Оникс 21 век», 2003. 48

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе

Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
18.01.2017