Школьная олимпиада по математике для учащихся 5-7 классов

1

Презентация для учащихся
5-7 математических классов



Нажмите клавишу F5, потом нажимайте пробел или стрелку.

Дорогие друзья!
Наш урок посвящён олимпиадным задачам и способам их решения.

Мой путь в профессию начался с олимпиады по математике в небольшом шахтёрском городе Нелидово.
До олимпиады и после неё я не посещал математических кружков, но успех в олимпиаде дал мне веру в свои силы.
Поэтому в начале нашего занятия я призываю вас решайте олимпиадные задачи, пробуйте свои силы… и у вас получится.

2

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников ABO и CDO равны.
Скорее всего, формулу площади треугольника вы ещё не изучали, оставим эту задачу на будущее. Разберём идею решения на более простой задаче.
Площади прямоугольника и квадратаравны. Докажите, что площади закрашенных частей этих фигур равны.

3

4

5

Решаем простую задачу.


Рыба весит 3 кг и еще полрыбы. Сколько весит рыба?

6

Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили обруч на 1 м. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор?








Радиус земного шара по экватору 6378,8 км.

/7

Совет 1. Если в задаче есть громоздкие числовые данные, то попробуйте заменить их буквами.
Пусть r — радиус земного шара (в см).
Тогда длина обруча равна 2𝝅𝝅r.
Новая длина обруча равна 2𝝅𝝅r + 100.
Пусть R – новый радиус обруча.
Тогда новая длина обруча равна 2𝝅𝝅R, т. е.
2𝝅𝝅R = 2𝝅𝝅r + 100,
2𝝅𝝅R — 2𝝅𝝅r = 100,
2𝝅𝝅(R — r) = 100,
R — r = 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝝅 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝝅 𝟐𝟐𝝅𝝅 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝝅 ≈ 15,9…
Совет 2. Не бойтесь вводить лишние буквы!

/8

Пять винтиков, два шпунтика и три гаечки весят столько же, сколько весят один винтик, семь шпунтиков и четыре гаечки. Что тяжелее: винтик или шпунтик?
Пусть в, ш, г — массы винтика, шпунтика и гаечки соответственно. Запишем условия задачи:
5в + 2ш + 3г = в + 7ш + 4г,
4в + 2ш + 3г = 7ш + 4г,
4в + 3г = 5ш + 4г,
4в = 5ш + г.
4в > 5ш, но 5ш > 4ш, значит, 4в > 4ш, в > ш.
Какой совет помог решить задачу?
Совет 3. Не бойтесь вводить лишние буквы!

/9

Мальчик Пат и собачонкаВесят два пустых бочонка. Собачонка без мальчишкиВесит две больших коврижки. А с коврижкой поросенокВесит — видите — бочонок.Сколько весит мальчик ПатЧёрно-пегих поросят?
Пусть мальчик Пат, собачонка, коврижка, поросёнок и бочонок весят м, с, к, п и б соответственно (в кг). Тогда верны равенства

/10

1) м + с = 2б, 2) с = 2к, 3) п + к = б.
м + 2к = 2б,
м + 2к = 2(п + к),
м + 2к = 2п + 2к,
м = 2п.
С помощью равенств 2) и 3) мы переписалиравенство 1) в виде м + 2к = 2п + 2к, откуда следует, что м = 2п, то есть мальчик Пат весит как два поросёнка.
Ответ. 2 поросёнка.
Понравилась задача в стихах?

/11

По тропинке вдоль кустов Шло одиннадцать хвостов. Сосчитать я так же смог, Что шагало тридцать ног. Это вместе шли куда-то Петухи и поросята. А теперь вопрос таков Сколько было петухов? 
Если бы было 11 поросят (11 хвостов), то у них было бы 44 ноги.
А в условии задачи 30 ног. Заменим 1 поросёнка на 1 петуха. Сколько таких замен надо сделать?

/12

Солдат построили прямоугольником — не по росту, но с чётким разделением на ряды и колонки. В каждом ряду выбрали самого высокого, а в каждой колонке — самого низкого. Кто выше ростом самый высокий из низких или самый низкий из высоких?

13

Совет 4. Сложную задачу надо стараться разбить на части и и рассмотреть их отдельно.
1) Если СНВ стоит в одном ряду с СВН, то СНВ больше, чем СВН, так как в ряду выбирали самого высокого, им оказался СНВ.
2) Если СНВ стоит в одной колонке с СВН, то СНВ больше, чем СВН, так как в колонке выбирали самого высокого, им оказался СВН.
3) Если СНВ и СВН стоят в разных рядах и колонках, то надо вести сравнение с третьим солдатом, стоящим в одном ряду с СНВ и в одной колонке с СВН. И опять СНВ больше, чем СВН.

14

Решаем простую задачу.
У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 𝟏 𝟔 𝟏𝟏 𝟏 𝟔 𝟔𝟔 𝟏 𝟔 пирога, второму — 𝟏 𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟓 𝟏 𝟓 остатка, третьему — 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 того, что осталось, четвёртому — 𝟏 𝟑 𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟑 нового остатка. Последний кусок Саша разделил с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?

15

16

17

Соседка Покупатель Продавец
25 р. 25 р. Ш
25 р. 15 р. + 10 р. Ш
25 р. 15 р. + Ш 10 р.
25 р. 15 р. + Ш 25 р.

Совет 4. Запутанные действия полезно записать подробно!

18

19

Аня сказала: «Это Маша». Маша — ? Света — ?
Правду сказала только одна девочка, она и разбила чашку.

— Могла ли Аня сказать правду?
— Нет. Если она сказала правду, то она и разбила чашку, тогда и Маша, и Аня разбили чашку — противоречие с условием задачи.
— Следовательно, Аня сказала неправду, но тогда ни Аня, ни Маша не разбивали чашку…
— Тогда чашку разбила Света.

20

У шахматной доски отпилили два противоположных угла. Можно ли покрыть эту доску костями домино, если одна кость покрывает ровно две соседние клетки доски?

Если доску можно покрыть костями домино, то покажите, как. Если нельзя, то объясните, почему.

21

Когда-то я увлекался головоломкой пентамино — там 12-ю фигурками надо заполнить прямоугольник 6х10. Считают, что головоломка имеет 2239 решений.
Вот одно из них.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

http://www.shevkin.ru/shkoly-stat-i/resheniya-pentamino-ishhut-pyatiklassniki/

22

Я составил задачу попроще.
Саша составил задачу: из пяти различных фигур тетрамино требуется сложить прямоугольник 4х5. Да вот беда! Саша сам никак не может решить свою задачу. Можно ли осуществить требуемое? Если да, то покажите как; если нет, то объясните, почему.

Несколько лет тому назад мой ученик Чуйков Сергей составил задачу.
Существует ли на клетчатой бумаге прямоугольник, составленный из клеток-квадратов, в котором количество внешних клеток равно количеству внутренних клеток?
Я придумал «взрослое» решение, которое мои шестиклассники не поняли. На уроке мне пришла идея, которую я высказал вслух: «Можно попробовать раскрашивать пары клеток – внешние и внутренние». На следующей перемене Дима Григорьев принёс решение этой задачи.

Сначала закрасим поровну внешних и внутренних клеток, прилежащих к верхнему и нижнему основаниям прямоугольника. Потом – к боковым сторонам.






В углах останется 8 незакрашенных клеток – все они внешние.
Следовательно, внутри должно оставаться 8 клеток. Сколько существует таких четырёхугольников?

Остаётся добавить, что многие из разобранных задач уже вошли или войдут в новые издания учебников серии «МГУ - школе» (Просвещение, С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин).








avshevkin@mail.ru www.shevkin.ru