Системы счисления родственные двоичной
Оценка 4.9

Системы счисления родственные двоичной

Оценка 4.9
docx
16.11.2021
Системы счисления родственные двоичной
Л2-001527.docx

Системы счисления родственные двоичной.

 

Введение.

На ранних этапах развития вычислительной техники программы писали в  машинных кодах, то есть без использования языков программирования. Для обозначение кодов операций машина оперирует с довольно длинными двоичными числами. Программисту трудно было работать с таким количеством знаков. Поэтому стали использовать системы счисления, которые с одной стороны относительно малозначны. А с другой обеспечивают легкий перевод чисел в двоичную систему и обратно.  Такими системами являются системы, родственные двоичной.

Система называется родственной двоичной, если ее основание является степенью числа 2. К таким системам относятся четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Мы рассмотрим восьмеричную и шестнадцатиричную системы.

 

 

Восьмеричная система.

Основание р=8. База — цифры от 0 до 7.

Посчитаем в восьмеричной системе и сравним ее с десятичной.

10-я

8-я

10-я

8-я

10-я

8-я

10-я

8-я

0

0

5

5

10

12

15

17

1

1

6

6

11

13

16

20

2

2

7

7

12

14

17

21

3

3

8

10

13

15

18

22

4

4

9

11

14

16

19

23

 

Поскольку двоичная и восьмеричная системы являются родственными, каждая цифра восьмеричной системы может быть переведена в двоичную систему независимо от остальных цифр. Для этого нужно составить таблицу соответствия цифр восьмеричной системы двоичным числам, только двоичные числа должны быть представлены  в виде триад, то есть совокупности из трех цифр.

 

2-а

8-я

2-я

8-я

000

0

100

4

001

1

101

5

010

2

110

6

011

3

111

7

 

Для восьмеричного числа перевода в двоичную систему нужно каждую цифру представить ее двоичным эквивалентом согласно таблице.

Пример: 567,238=101 110 111, 010 0112.

 

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему необходимо разделить число по триадам от запятой вправо и влево и каждую триаду представить восьмеричной цифрой согласно таблице. При необходимости слева до запятой и справа после запятой можно дописывать незначащие нули.

Пример: 1110100,1111012=001 110 100 111 1012=164,758.

 

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную необходимо выполнить последовательное деление на 8 до тех пор, пока результат не станет меньше 8. Последний результат и остатки, взятые в обратном порядке дадут восьмеричное число.

Пример: 98610=17328.

 

Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 8-ю СС нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 8. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 8-ой системе счисления.

 

Для перевода восьмеричного числа в десятичную систему необходимо разложить его по степеням основания системы 8 и выполнить сложение.

Пример:

 

Шестнадцатеричная  система.

Основание р=16. База — цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F.

Посчитаем в этой системе

10-я

16-я

10-я

16-я

10-я

16-я

10-я

16-я

0

0

9

9

18

12

27

1B

1

1

10

A

19

13

28

1C

2

2

11

B

20

14

29

1D

3

3

12

C

21

15

30

1E

4

4

13

D

22

16

31

1F

5

5

14

E

23

17

32

20

6

6

15

F

24

18

33

21

7

7

16

10

25

19

34

22

8

8

17

11

26

1A

35

23

 

Каждая цифра шестнадцатеричной системы может быть переведена в двоичную систему  независимо от остальных цифр. Для этого нужно составить таблицу соответствия цифр шестнадцатеричной системы двоичным числам только двоичные числа должны быть представлены  в виде тетрад, то есть совокупности из четырёх цифр.

 

2-а

8-я

2-я

8-я

0000

0

1000

8

0001

1

1001

9

0010

2

1010

A

0011

3

1011

B

0100

4

1100

C

0101

5

1101

D

0110

6

1110

E

0111

7

1111

F

 

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему нужно каждую цифру представить ее двоичным эквивалентом согласно таблице.

Пример: 56,А816=101 0110, 1010 10002.

 

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему необходимо разделить число по тетрадам от запятой вправо и влево и каждую тетраду представить шестнадцатеричной  цифрой согласно таблице. При необходимости слева до запятой и справа после запятой можно дописывать незначащие нули.

Пример: 111 0100 1110 0111, 11012=74E7,D16.

 

Для перевода целого десятичного числа в шестнадцатеричную систему необходимо выполнить последовательное деление на 16 до тех пор, пока результат не станет меньше 16. Последний результат и остатки, взятые в обратном порядке дадут шестнадцатеричное число.

Пример: 98610=3DA16.

 

Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 16-ю СС нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 16. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 16-ой системе счисления.

 

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичную систему необходимо разложить его по степеням основания системы 16 и выполнить сложение.

Пример:

 

Арифметические действия с восьмеричными

и шестнадцатеричными числами.

Арифметические действия выполняются аналогично десятичной системе, но с учетом цифр, используемых в системе. Научиться проще всего на  примере. Попробуем сложить:

7568+4528=14308

1А516+С3516=DDA16

7458+3638=13308

1F416+91116=B0516.


 

Системы счисления родственные двоичной

Системы счисления родственные двоичной

Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 8-ю

Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 8-ю

Пример: 986 10 =3 DA 16 . Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 16-ю

Пример: 986 10 =3 DA 16 . Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 16-ю
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.