9 класс Тема: « Векторы» 18.10.2018 год.
Урок: «Сложение и вычитание векторов»
1. Сумма двух векторов, правило треугольника
На предыдущем уроке мы определили понятие вектора, сказали, какие векторы называются равными, коллинеарными, сонаправленными и противоположно направленными.
Теперь пусть задано два вектора – вектора 
и 
. Найдем сумму
этих двух векторов 
. Для этого отложим
из некоторой точки А вектор 
. Из точки В отложим вектор 
. Тогда вектор 
называют
суммой заданных векторов: 
(см. Рис. 1).
Рис. 1
Данное определение можно объяснить так: пусть был
задан груз, и сначала на него подействовала сила 
– он переместился
из точки А в точку В, после этого подействовала сила 
– груз переместился
из точки В в точку С. Но в результате действия двух этих сил груз переместился
из точки А в точку С.
Таким образом, мы получили определение суммы двух векторов – правило треугольника.
Правило треугольника
Для того чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.
Можно провести аналогию с числами. Мы ввели понятие числа, научились складывать числа, определили законы сложения и так далее. Теперь мы ввели понятие вектора, научились находить равные вектора, складывать вектора. Теперь нужно определить законы сложения.
2. Законы сложения векторов, правило параллелограмма
Законы сложения векторов
Для любых векторов 
, 
и 
справедливы следующие равенства:
– переместительный закон.
Доказательство: отложим из точки сначала вектор 
, получаем
точку В, из нее откладываем вектор 
, получаем точку С и вектор
.
Теперь отложим из точки А сначала вектор 
получим
точку В, из нее отложим вектор
, получим точку С и вектор 
.
Чтобы доказать равенство полученных векторов, выполним оба построения из одной точки и получим таким образом правило параллелограмма (см. Рис. 2).
Рис. 2
Откладываем из точки А вектор 
и вектор 
. Из точки В
откладываем вектор 
, вектора 
и 
равны, а
значит, стороны ВС и АВ1 четырехугольника АВСВ1 параллельны.
Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом,
мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма. 
, таким образом,
мы доказали переместительный
Рис. 3
закон сложения векторов и получили правило параллелограмма (см. Рис. 3).
Правило параллелограмма
Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти два вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, и будет суммой заданных векторов.
– сочетательный закон;
Из произвольной точки А отложим вектор 
, прибавим к
нему вектор 
, получим их
сумму 
. К этой сумме
прибавим вектор 
, получим результат 
(см.
Рис. 4).
Рис. 4
В правой части выражения мы сначала получили сумму
векторов 
, после прибавили
ее к вектору 
и получили
результат: 
(см.
Рис. 5).
Таким образом, мы доказали сочетательный закон сложения векторов.
Рис. 5
3. Правило сложения нескольких векторов
Правило многоугольника
Чтобы сложить несколько векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее; когда все векторы отложены, соединив начальную точку с концом последнего вектора, получим сумму нескольких векторов (см. Рис. 6).
Рис. 6
По аналогии с действительными числами после того, как мы научились их складывать, нужна обратная операция – вычитание.
4. Правило вычитания векторов
Пусть задано два вектора – векторы 
и 
. Найдем разность
этих двух векторов 
.
Определение
Разностью двух векторов 
и 
называют
такой третий вектор, сумма которого с вектором 
равна вектору 
.
Если задан вектор 
, то можно построить противоположный
ему вектор 
, который
будет равен по длине, но противонаправлен. Сумма противоположных векторов
всегда есть нулевой вектор: 
. Таким образом, 
.
Отложим из произвольной точки вектор 
, из его конца
отложим вектор 
, получим в
результате вектор 
(см.
Рис. 7).
Рис. 7
Рассмотрим вычитание векторов на параллелограмме.
Из точки А отложим векторы 
и 
. Из точек В и D отложим векторв 
и 
соответственно.
Диагональ АС – это сумма векторов 
и 
: 
. Но в параллелограмме есть еще вторая
диагональ – BD. Прибавим к вектору 
вектор 
, получим
вектор 
(см.
Рис. 8).
Рис. 8
Итак, на данном уроке мы вывели правила сложения и вычитания векторов при помощи треугольника и параллелограмма, сформулировали законы сложения векторов.
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Домашнее задание:
Задание 1: дан треугольник 
, найдите
сумму векторов: 
и 
; 
и 
; 
и 
; 
и 
.
Задание 2: турист прошел 20
км на восток из города А в город В, а потом 30
км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы 
и 
Равны ли
векторы 
и 
?
Задание 3: начертите попарно неколлинеарные векторы 
, 
и 
и постройте
векторы 
, 
, 
.
Скачано с www.znanio.ru
Тема: « Векторы» 18
Рис. 2 Откладываем из точки
Рис. 5 3. Правило сложения нескольких векторов
Рис. 7 Рассмотрим вычитание векторов на параллелограмме
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
